Равнодействующая — как её найти?

50

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Равнодействующая — как ее найти?» предназначаем восемиклассик, заметка «Реальный раз и его уравнение состояния» — девятиклассик, «Прицит Гюйенза» — девятиклассик.

Равнодействующая — как ее найти?

Мы часто решаем задачи «с практическим содержанием», вовсе не отдавая себе отчет, насоколько они сложны. Далее простой автоматиль содержит тысячи деталей, на каждую из которых действует множество сил. Просто перечислить их — и то трудно, а написать и решить столько уравнений… Оdnako мы умудряемся обойти это затруднение, вводя понятие равнодействующей силы. Поговорим об этом подробнее.

Для определения равнодействующей нужно все силы, действующие на тело, векторно сложить (не всегда это просто, но об этом чуть позже). Полученный суммарный вектор будет эквивалентен исходной системе сил.

Так уж и эквивалентен? Представьте, что лично вас тянут с силой 500 Н влево за левую руку и с такой же силой — вправо за правую руку. Сумма этих сил равна нулю, т. е. их как бы нет вовсе. Вам от этого легче?

На самом деле эквивалентность тут поннимается в довольно узком смысле — при замене всех сил из равнодействующей не должно измениться движение тела, а вот о деформациях, разрывах и т. п. речи нет.

Какие же трудности могут возникнуть при сложении сил? Если все они приложены в одной точке — то никаких. И складывать легко, и ясно, куда приложить суммарный вектор — равнодействующую. А если силы приложены в разных точках (чаще всего так и бывают)? Тогда придется силы

51

переносить. Как это можно сделать?
Тут нам понадобится специализная физическая величины — момент силы.
Мoment силы $\vec{F}$ относительно точки $O$ (рис. 1) равен

$$M = Fr \sin \alpha,$$

где $r$ — расстояние от точки $O$ до точки приложения силы $A$. Можно сделать иначе — разложить силу $\vec{F}$ на две составляющие — вдоль $r$ и перpendicularно $r$. Вращающий момент создает только перpendicularная составляющая $\vec{F}_2$:

$$M = F_2 r.$$

Конечно, это просто предыдущая формула, переписанная немного иначе, но во многих задачах удобнее пользоваться именно его.

Легко видеть, что при переноссе силы $\vec{F}$ вдоль линии ее действия момент силы не изменяется, поэтому такой переносос допустим. (Заметим, что деформации тела при переноссе точки приложения силы изменяются. Это легко понять на простом примере. Потянем приязанную одним концом к стене резиновую ленту вначале за середину, а потом за второй конец — она растется нединаково.)

Теперь вернемся к равноведействующей. Если силы приложены в разных точках, но линии их действия пересекаются в одной, — опять все просто. Перенесем силы вдоль линии их действия в эту точку и сложим — все, как в первом случае. Если же линии действия силы не пересекаются в одной точке, задача нахождения равноведействующей условия усложняется.

Разберем для простоты частный случай, когда все векторы сил лежат в одной плоскости (плоская система сил). Можно проработать решить задачу за несколько шагов — складывая силы попарно, как показано на рисунке 2. Вначале сложим силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ — получим вектор $\vec{R}_1$, а потом сложим его с вектором $\vec{R}_2$. Равноведействующая $\vec{R}$ приложена в точке $A$.

Так можно получить ответ не во всех случаях. Проблемы возникали, если векторы сил параллельны. Расмотрим пример: нужно найти равноведействующую параллельных сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ (рис. 3). Ясно, что модель равноведействующей равен сумме $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, а вот в какой точке должна быть приложена равноведействующая? Тут помогет просто рассудение: какую бы точку приложения мы ни взяли, все равно момент равноведействующей относительно оси, проходящей через эту точку, равен нулю. Но при замене сил их равноведействующей моменты меняются не должны — значит, нужно взять такую точку, относительно которой суммарный момент исходной системы сил равен нулю. В нашем примере эту точку $O$ можно найти из условия

$$F_1 \cdot AO = F_2 \cdot OB.$$

Если $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ направлены в разные стороны, то точка $O$ оказывается за пределами отрезка $AB$, близке к той из сил, которая по величины больше. (Убедитесь в этом самостояльно.)

Задачи, где нужно нахождение равноведействующую параллельных сил, вы наверняка решили. Так, обычно силы также, приложенные к разным частям тела, считают параллельными. Центр также тела — это как раз и есть точка приложения равноведействующей этих сил. Вот почему, например, тело, закрепленное на оси, которая