Nhìn vào nhiệt kế...

2

NHÌN VÀO NHIỆT KẾ…

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M. I. KAGANOV

Một buổi sáng, tôi cảm thấy tứ phân lạnh hơn bình thường. Nhìn vào nhiệt kế, tôi thấy: trên thực tế, thay vì 20°C như thường lệ, nó là 19°C. Sau khi phàn nàn về sự bất ổn của các dịch vụ công, anh ấy đã sẵn sàng và đi làm. Trên tàu điện ngầm, tâm trí tôi quay sang việc đọc nhiệt kế, và nảy sinh một lỗi là có gì đó không ổn ở đây…

Nhiệt độ là thước đo chuyển động nhiệt của các phân tử. Năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt của các phân tử (giả sử, một chất khí trong không khí lấp đầy một căn phòng) bằng $\frac{3}{2} kT$, trong đó $k \approx 1,4 \times 10^{-16}$ erg/deg là hằng số Boltzmann, và tuy nhiên, nhiệt độ phải thay đổi không phải theo độ C mà ở thang đo tuyệt đối - thang Kelvin, chênh lệch so với thang đo C là $-273,16^\circ$. Nói cách khác, nhiệt độ trong phần tư của tôi là khoảng 300 K. Và tôi cảm thấy nhiệt độ thay đổi $\Delta T$ theo thứ tự $\frac{1}{300} T$, tức là tôi đã nhầm rằng năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử thay đổi 0,3%! Hơn nữa, không cần bất kỳ dụng cụ phức tạp nào, sử dụng một nhiệt kế thực đơn giản, tôi đã kiểm tra lỗi của mình - tôi đã đo được sự thay đổi 0,3% năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử… Tôi thậm chí còn có một suy nghĩ đáng tự hào về sự tiến hóa, tạo ra sự va chạm của các cơ chế cảm giác về lỗi nhiệt độ. Người ta biết rằng nhiệt độ là một thông số quan trọng đối với các sinh vật sống: nhiệt độ cơ thể con người thay đổi 1 độ là dấu hiệu của bệnh tật và phạm vi thay đổi nhiệt độ cơ thể cho phép là dưới 10 độ. Đương nhiên, một sinh vật sống cần phải hiểu sai nhiệt độ rất chính xác… Nhưng bằng cách nào?

Chiếc nhiệt kế thực sự đó chính là manh mối cho tôi. Vì vậy, hãy giải quyết nó trước. Làm thế nào để chúng ta có thể thay đổi nhiệt độ thay đổi thêm 1 độ? và bằng nhiệt kế y tế - 0,1 độ? Đồng hồ đo đóng vai trò thay đổi thể tích chất lỏng (để xác định - thủy ngân). Khi nhiệt độ tăng hoặc giảm, thể tích $V$ của nó thay đổi thành $\Delta V$ và

$$\frac{\Delta V}{V} = \alpha \cdot \Delta T.$$

Hệ số $\alpha$ được gọi là hệ số giãn nở nhiệt. Theo thứ tự độ lớn thì nó là $10^{-3} - 10^{-4} K^{-1}$. Bạn chỉ có thể “nhìn thấy” $\Delta V/V \sim 10^{-4}$ với sự trợ giúp của một kỹ thuật đơn giản - “đẩy” thủy ngân vào một mao quản mỏng. Khi đó $\Delta V = s \cdot \Delta l$, trong đó $s$ là diện tích giây của mao quản và $\Delta l = \frac{V}{s} \alpha \cdot \Delta T$ là sự thay đổi độ cao của cột thủy ngân. Bằng cách làm cho $s$ đủ nhỏ, bạn có thể đạt được độ phân giải cần thiết. Các mao mạch đóng vai trò như một bộ khuếch đại. Nếu $V \sim 1$ cm$^3$, thì để đạt được $\Delta l \sim 1$ mm=0,1 cm tại $\alpha \cdot \Delta T \sim 10^{-4}$, bạn phải có một mao quản phẳng

3

phần $s=10^{-3}$ cm$^2$. Một thành công rất đơn giản!

Sau khi xử lý nhiệt kế, hãy chuyển sang một sinh vật sống. Điều gì khiến anh ấy thành công? Vai trò quyết định của nhiệt độ đối với thời gian tồn tại của các quá trình quan trọng là do tốc độ $W$ của hầu hết các phản ứng hóa học (nếu không có tốc độ này thì không thể tồn tại) phụ thuộc rất mạnh vào nhiệt độ - theo định luật hàm mũ:

$$W \sim e^{-U/kT}.$$

Giá trị $U$, được gọi là năng lượng kích hoạt, khác nhau đối với mỗi phản ứng, nhưng theo quy luật, $U$ vượt quá đáng kể $kT$. Không đi sâu và không nhìn vào sách tham khảo, tôi lý luận như thế này. Phản ứng hóa học luôn là sự sắp xếp lại các trạng thái điện tử. Ví dụ, sự kết hợp giữa các nguyên tử Na và Cl thành phân tử NaCl xảy ra như sau: nguyên tử Na tách một electron khỏi nguyên tử Cl. Các ion Na$^+$ và Cl$^-$ hút nhau và tạo ra phân tử NaCl, nhưng các electron trong phân tử NaCl được phân bố xung quanh hạt nhân khác với phân tử Na và Cl. Để thay đổi năng lượng của các electron trong nguyên tử, một thang năng lượng đặc biệt đã được tạo ra - electron-volt và 1 eV = 1,6·10$^{-12}$ erg. Vì vậy, giá trị đặc trưng của năng lượng kích hoạt $U$ là khoảng 1 eV.

Sự thay đổi tương đối về tốc độ phản ứng hóa học $\Delta W/W$ khi nhiệt độ $T$ thay đổi theo giá trị $\Delta T$ là$^*$):

$$\frac{\Delta W}{W} \approx \frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}.$$

Ở $\Delta T/T \approx 1/300$ sự thay đổi tương đối về tốc độ của phản ứng hóa học là $\Delta W/W \approx 1/10$, tức là khá đáng chú ý.

*) $W(T+\Delta T)$ tỷ lệ thuận

$$e^{-\frac{U}{k(T+\Delta T)}} = e^{-\frac{U}{kT(1+\Delta T/T)}} \approx e^{-\frac{U}{kT}} \left(1-\frac{\Delta T}{T}\right),$$

tư thế

$$W(T+\Delta T) = W(T) \cdot e^{\frac{U}{kT} \Delta T/T} \approx W(T) \left(1+\frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}\right),$$

nếu $U \cdot \Delta T/kT^2 \ll 1$. Bằng cách viết ra các đẳng thức gần đúng, tôi cho rằng giáo viên có khả năng xử lý các số lượng nhỏ.

1*

4

1 độ trong phòng cách nhiệt tốt có kích thước 4 m×5 m×5 m = 100 m³. Việc tính toán gần đúng rất đơn giản. năng lượng khí

$$E = \frac{3}{2} NkT,$$

trong đó $N$ là số lượng hạt khí và độ biến thiên năng lượng là

$$\Delta E = \frac{3}{2} Nk \cdot \Delta T.$$

Số lượng hạt khí trong phòng được xác định bởi một số yếu tố. Mỗi mol khí ở điều kiện thường chiếm thể tích $V_0 = 22,4$ l = 22,4×10⁻³ m³; điều này có nghĩa là căn phòng chứa 100/(22,4·10⁻³)≈5×10³ nốt ruồi. Và số lượng phân tử trong mỗi mol (số Avogadro) là $N_A \approx 6 \cdot 10^{23}$ mol⁻¹. Điều này có nghĩa là có $N \approx 3 \cdot 10^{27}$ phân tử trong phòng và $\Delta E \approx 6 \times 10^{11}$ erg. Bây giờ hãy tính khối lượng cần thiết bằng công thức $\Delta E = Mgh:M \approx 6 \times 10^6$ g hoặc 6 tấn(!). Đáp số khiến tôi phải kiểm tra lại phép tính. Tin vào sự đúng đắn của đáp số, tôi nhớ đến lời giải thích không ảnh hưởng đến ý thức về việc nhận biết việc chăm sóc cơ thể từ màn hình tivi, và tuyên bố gần đây được nghe trong bộ phim khoa học nổi tiếng “Sự sống trên Trái đất” rằng động vật máu nóng dành phần lớn thức ăn chúng tiêu thụ để duy trì nhiệt độ ổn định trong cơ thể. Sự ấm áp là một sự tiện lợi đắt tiền!

Ghi chú

Những gì bạn đã đọc đến thời điểm này có thể coi là dòng ý thức sau đây khi viết: Tôi đã nghĩ, tôi hình dung, hầu như mọi tính toán đều do Vume thực hiện. Sau khi viết đi đọc lại, tôi nghĩ: đối với tôi, có vẻ như học sinh thường sợ hãi vật lý bởi cảm giác rằng nó (vật lý) là một tập hợp nhiều sự kiện, đại lượng và sự tương ứng khác nhau, thoạt nhìn, không liên quan đến nhau. Và tôi đã “đổ” thêm một ít vào chúng. Và theo tôi, tôi muốn mang đến cho người đọc một ý tưởng quan trọng khác.

Vật lý hiện đại đã thâm nhập sâu vào bản chất của sự vật đến mức nó có thể ước tính, và trong nhiều trường hợp tính toán chính xác, về cơ bản là vô số các thông số, hằng số khác nhau của mọi thứ được đưa vào khoa học ở các giai đoạn phát triển khác nhau của nó (thường ở dạng số lượng được thêm vào từ kinh nghiệm). Trong trường hợp này, để tính toán là đủ

5

chỉ sử dụng một vài giá trị của đại lượng vật lý, mang danh cao cấp là các hằng số thế giới. Đây là đơn vị điện tích $e \approx 1,6 \cdot 10^{-10}$. điện tích của SGSE, khối lượng của electron và proton $m_e \approx 10^{-27}$ g và $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-24}$ g, hằng số Planck $h \approx 6,6 \times 10^{-27}$ erg·s (các nhà vật lý, theo quy luật, gọi hằng số Planck là các giá trị ​​$\hbar = h/2\pi \approx 10^{-27}$ erg·s), tốc độ ánh sáng $c \approx 3 \cdot 10^{10}$ cm/s. Hãy nghĩ mà xem: tất cả các đại lượng có thể đo được trong khi thực hiện vật lý vĩ mô*), về nguyên tắc, có thể được biểu thị dưới dạng năm hằng số thế giới! Những phép tính như vậy thậm chí còn nhận được một cái tên đặc biệt - tính toán từ những nguyên tắc đầu tiên. Tất nhiên, lý thuyết không phải lúc nào cũng nằm trong cột, và lý thuyết không phải lúc nào cũng nằm trong cột.

*) Sự hạn chế bởi vật lý macrosopper không phải là ngẫu nhiên. Ví dụ, chúng ta vẫn chưa biết cách tính khối lượng của các hạt elematrine - nhiều phương pháp khác nhau, hadron, v.v. (xem cuốn sách của L.V. Okun “αβγ…Z”, do nhà xuất bản “Nauka” xuất bản năm 1985 trong bộ truyện “Viblotechka «Kvant»”).

6

Nó đã được phát triển chi tiết rằng việc tính toán như vậy có thể được hoàn thành với độ chính xác cần thiết (chúng tôi nói là “về nguyên tắc”). Nhưng hoàn toàn rõ ràng rằng việc tính toán là có thể thực hiện được và không có lý do gì để mong đợi rằng chúng ta đang phải đối mặt với một vấn đề về cơ bản là không thể giải quyết được.

Tất cả các đại lượng vật lý được đề cập trong ghi chú này, các giá trị mà tác giả sao chép hoặc lấy từ sách tham khảo, có thể thu được bằng cách tính toán từ các nguyên tắc đầu tiên. Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra điều này bằng ví dụ về hai đại lượng: năng lượng kích hoạt $U$ và hệ số giãn nở nhiệt $a$. Đồng thời, chúng ta sẽ không đi đến những điều cơ bản, vì kích thước của nguyên tử $a$ phụ thuộc có thể được biểu thị thông qua các hằng số thế giới được liệt kê ở trên. Ví dụ: kích thước của nguyên tử hydro là $-a_H = \hbar^2/m_e e^2$. Bạn có thể đọc về điều này trong bất kỳ cuốn sách phổ biến nào mô tả cơ học lượng tử.

Hãy bắt đầu với năng lượng kích hoạt $U$. Vì chúng tôi không có ý định xây dựng lý thuyết về tốc độ phản ứng hóa học mà chỉ muốn chứng minh mức độ mà chúng tôi quan tâm được biểu thị như thế nào thông qua các hằng số thế giới, nên chúng tôi sẽ hạn chế tính năng lượng cảm ứng của một nguyên tử hydro $U_{нон}$, tức là chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi phải tiêu tốn bao nhiêu năng lượng để xé một electron ra khỏi một proton.

Năng lượng electron trong nguyên tử hydro -

$$E = m_e v^2 / 2 - e^2 / a,$$

Nhưng

$$m_e v^2 / a = e^2 / a^2,$$

và do đó

$$E = -e^2 / 2a$$

(Tôi hy vọng những sự bình đẳng này là rõ ràng?). Thay giá trị $a = a_H$, ta được:

$$U_{нон} = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2} \approx 13,6 \text{ эВ.}$$

Theo quy luật, năng lượng phải tiêu tốn để sắp xếp lại các trạng thái điện tử nhỏ hơn $U_{нон}$. Do đó, khi đánh giá sự thay đổi tương đối về tốc độ phản ứng hóa học $U \sim 1$ eV.

Việc tính hệ số giãn nở nhiệt khó khăn hơn. Nó đòi hỏi kiến ​​thức về cấu trúc của cơ thể đang trải qua quá trình giãn nở. Chúng ta sẽ phải giới hạn mình ở cách tiếp cận đơn giản nhất, có tính đến điều chính - sự giãn nở ấm là kết quả của sự phụ thuộc của khoảng cách cân bằng trung bình giữa các hạt vào nhiệt độ.

Vì vậy, hai hạt trong một vật thể nằm cách nhau một khoảng $d + x(t)$ và $d$ là khoảng cách giữa chúng khi các hạt này đứng yên (ở nhiệt độ không tuyệt đối) và $x(t)$ là độ lệch tức thời (tại thời điểm $t$) của hạt so với vị trí cân bằng. Lực $F$ tác dụng lên hạt giống như lực đàn hồi tác dụng lên một vật nặng gắn vào một vòng tròn - nó tỉ lệ với độ lệch của hạt so với vị trí cân bằng: $F = -\chi \cdot x(t)$. Nhưng lực trung bình $F$ (trong một khoảng thời gian đủ lớn) phải bằng 0 $^*$). Và điều này có nghĩa là $x(t) = 0$, tức là khoảng cách trung bình giữa các hạt là $d$ và không phụ thuộc vào số lượng nguyên tử và do đó, phụ thuộc vào nhiệt độ. Kết quả này trong thuật ngữ khoa học nghe có vẻ như thế này: sự gần đúng điều hòa không thể mô tả sự giãn nở ấm áp của các vật thể.

Chúng tôi đã đưa cấu trúc này đi phê duyệt về mặt khoa học để từ “xấp xỉ” xuất hiện. Thực tế là biểu thức lực mà chúng ta sử dụng chỉ là gần đúng. Chúng ta hãy cố gắng làm rõ nó - tính đến các thuật ngữ phi tuyến tính khi trộn $x(t)$:

$$F = -\chi \cdot x(t) + \beta \cdot x^2(t) + \dots$$

Lý thuyết dựa trên công thức này hoặc các công thức tương tự được gọi là anharmonic, và hệ số $\beta$ được gọi là hệ số anharmonic. Từ công thức này suy ra $\bar{x} = \frac{\beta}{\chi} \bar{x}^2$, tức là

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{(d + \bar{x})^3 - d^3}{d^3} \approx \frac{3\bar{x}}{d} = \frac{3\beta}{d\chi} \bar{x}^2$$

*) Nếu lực trung bình $F$ khác 0, thì các hạt của vật thể sẽ phải trộn lẫn ở đâu đó dưới tác động của nó.

7

(hệ số 3 xuất hiện do vật thể có thể giãn nở theo các hướng đó). Trong công thức này, $V$ là thể tích của vật ở $T=0$ K. Vì vậy, để hoàn thành phép tính, chúng ta phải tính được các đại lượng $\beta$, $x$ và $x^2(t)$. Hãy bắt đầu với cái cuối cùng. Vì số hạng anharmonic $\beta x^2$ là một hiệu chỉnh nhỏ (nó phải được đưa vào biểu thức của lực chỉ vì nếu không có nó đáp số hóa ra bằng 0), chúng ta có thể giả sử rằng thế năng của chuyển động là $x \cdot x^2(t)/2$, và tổng năng lượng bằng

$$E = \frac{M(x')^2}{2} + \frac{xx^2}{2}.$$

Nhưng trung bình, động năng $(M(x')^2/2)$ và thế năng $(xx^2/2)$ bằng nhau. Đó là lý do tại sao

$$\bar{x}^2 = \frac{1}{\alpha} \bar{E}.$$

Và năng lượng trung bình của chuyển động cộng tác là $kT^*$). Vì thế,

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3\beta}{dx^2} kT.$$

Tất cả những gì còn lại là học cách tính tập hợp $3\beta/x^2$. Tất nhiên, đây là phần khó nhất của bài toán. Nhưng chúng tôi sẽ đơn giản hóa nó một cách cực kỳ (mặc dù ngay cả với phương pháp trình bày này, bạn sẽ phải tin tác giả ở một điểm nào đó).

Chúng ta hãy giải quyết các pon có điện tích là $+e$ và $-e$ và khoảng cách giữa chúng là $r$. Giữa các cầu có một lực hút điện bằng $e^2/r^2$. Nhưng lực này không thể là lực duy nhất - dưới tác dụng của lực như vậy, các ion sẽ rơi vào nhau. Khi chúng đến quá gần nhau, chúng vang vọng và định luật về tiếng vang có thể được làm rõ bằng phương trình cơ học lượng tử.

Và ở đây chúng ta đến chỗ mà người đọc sẽ phải tin tưởng vào tác giả về năng lượng $^3/2kT$ đối với một hạt trong chất khí: hạt đó là tự do, tức là thế năng của nó bằng 0, do đó, đối với mỗi bậc tự do thì có “tính đến” $^4/2kT$ chứ không phải $kT$. Có ba bậc tự do. Nhưng chúng ta đã tính đến ba bậc tự do.

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{A}{r^{10}}.$$

Tại $r=d$ lực phải bằng không. Do đó $A=d^8e^2$, và cuối cùng

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{e^2d^8}{r^{10}}.$$

Thay thế $r=d+x$ ở đây, chúng tôi mở rộng $F$ theo lũy thừa của $x$, giới hạn bản thân trong hai số hạng đầu tiên. Hệ số tại $x$ cho chúng ta giá trị $x$ và tại $x^2$ giá trị $\beta$. Hãy tự mình thực hiện những tính toán này và bạn sẽ bị thuyết phục rằng

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kdT}{e^2},$$

tức là $\alpha = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kd}{e^2}$.

Khoảng cách giữa các nguyên tử $d$ xấp xỉ bằng kích thước của nguyên tử—a $d \approx a \approx 3 \cdot 10^{-8}$ cm = 3 Å—và thay thế các giá trị $k$, $e$ và $d$, ta được

$$\alpha \approx 5 \cdot 10^{-5} \text{ град}^{-1}.$$

Sau khi giảm bớt, bạn sẽ tin chắc rằng đánh giá mà chúng tôi nhận được (theo cách xem xét đơn giản hóa) không tệ chút nào.

Thôi, làm ơn chỉ vậy thôi. Chúng tôi chỉ lưu ý rằng chúng tôi có thể đoán được bậc độ lớn của hệ số giãn nở nhiệt $a$. Hãy xem công thức cuối cùng cho $\Delta V/V$. Nó cho thấy tỷ lệ không thứ nguyên $\Delta V/V$ xấp xỉ bằng tỷ lệ năng lượng nhiệt (trên mỗi hạt) $kT$ với năng lượng liên kết giữa các hạt (ở đây $\sim e^2/d$). Do đó kết luận: các phân tử trong cơ thể càng liên kết chặt chẽ thì hệ số giãn nở nhiệt của chúng càng thấp. Mẫu này có thể dễ hiểu từ bảng, biểu thị nhiệt độ nóng chảy của chất rắn hoặc nhiệt độ sôi của chất lỏng có giá trị $a$. Nhưng tất nhiên, tuyên bố như vậy không phải là quy luật tự nhiên. Có thể có những ngoại lệ cho điều này…