[Giới thiệu về một tổ hợp bài toán]

58

Ví dụ: điểm $Q$ cũng nằm trên đường tròn này. Hình tam giác $T_1SQ$ và $CQA$ giống nhau. Vì vậy $\frac{ST_1}{AC} = \frac{T_1Q}{QA}$, nhưng $AC = QA$ (xem câu 8). Vì vậy $ST_1 = T_1Q = r$.

Bài tập 2. Chứng minh các khẳng định sau:

17. Điểm $K$ (xem hình 3) là trực kế của tam giác $CPQ$.
18. Các đường $PS$, $RQ$ và $CH$ cắt nhau tại điểm $K$.
19. $RT = KS = SQ$; $RP = RK = TS$.
20. $RS = CT$.
21. Điểm $A, R, S, B$ nằm trên cùng một đường tròn; điểm $A, P, T, C$ nằm trên cùng một đường tròn. Các điểm $B, Q, T, C$ cũng nằm trên cùng một đường tròn.

Một vài trận đấu nữa

22. $AT_1 \cdot BT_1 = S_{ABC}$.

đầu ra

Nhiều độc giả đã quen thuộc với công thức cổ điển về số tổ hợp của các phần tử $n$ được lấy bởi $k$:

$$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Đặc biệt, có $C_k^n$ cách chọn $k$ các số khác nhau từ tập hợp $(1, 2, 3, ..., n)$. L. I. Plyukfelder từ Novokuznets đã đặt câu hỏi: có bao nhiêu cách chọn $k$ số từ tập pa (1, 2, 3, …, $n$) sao cho hiệu tuyệt đối của hai số được chọn bất kỳ không nhỏ hơn $p$?

Hãy biểu thị số này bằng $C_k^n(p)$. Công thức do L. I. Plyukfelder tìm ra có dạng:

$$C_k^n(p) = \frac{(n+k-pk+p-1)!}{k!(n-pk+p-1)!}$$

(nếu đối với một số $n, k, p$ một số âm xuất hiện ở mẫu số thì phép tính được yêu cầu không tồn tại).

Đối với $p=1$, công thức (2), như người ta mong đợi, chuyển thành (1) và đối với $p=0$ chuyển thành công thức:

$$C_k^n(0) = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}.$$

Số $C_k^n(0)$ đương nhiên được coi là số cách chọn $k$ không nhất thiết phải là các phần tử khác với dữ liệu $n$; đối với số này, công thức (3) cho kết quả đúng.

Chứng minh công thức (2) có thể được chứng minh bằng quy nạp; Chúng tôi khuyên bạn nên tự mình làm việc này.