Tam giác vuông

56

Tam giác vuông
L. D. KURLYANDCHIK

Những điều thú vị nào có thể được nói về một tam giác vuông? Thoạt nhìn thì không có gì - dường như mọi thứ đều được biết về anh ấy. Tuy nhiên, chúng ta đừng vội vàng. Đọc ghi chú này, bạn sẽ thấy nhiều đặc tính thú vị và không tầm thường của hình đơn giản này. có thể một số bạn sẽ khám phá ra những thuộc tính khác không được đề cập ở đây.

Mối quan hệ gần như rõ ràng

Vì vậy, cho tam giác vuông ABC, điểm H là đáy của đường cao hạ xuống từ đỉnh góc vuông C (hình 1). Như thường lệ, chúng ta giới thiệu ký hiệu
AB=c, AC=b, BC=a, AH=b’, BH=a’,
CH=h,
∠A=α, ∠B=β.

Chúng ta hãy nhớ lại những câu nói và mối quan hệ đơn giản mà bạn biết ở trường.

1. Các tam giác BCH, ACH và ABC đồng dạng từng đôi
2. a²=a’c, b²=b’c.
   Nhân tiện, từ hệ thức 2, định lý Pythagore suy ra:
   a²+b²=a’c+b’c=c(a’+b’)=c².
3. h²=a’b’, h=ab/c.
4. Gọi R là tâm của đường tròn nội tiếp và r là bán kính của nó (hình 2).

Hình 1.

57

Sau đó $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Bằng chứng. Lưu ý rằng tứ giác $RKCL$ là hình vuông và chúng ta sử dụng đẳng thức tiếp tuyến: $c = a - r + b - r$, từ đó $r = \frac{a+b-c}{2}$.

5. $\angle ARB = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle A - \frac{1}{2} \angle B = 135^\circ$.

Những phát biểu phức tạp hơn

Chúng ta hãy nội tiếp các vòng tròn theo hình tam giác $ACH$ và $BCH$ (hình 3). Đặt bán kính của chúng là $r_1$ và $r_2$ thì

6. $r + r_1 + r_2 = h$.

Bằng chứng. Chúng ta có $r = \frac{a+b-c}{2}$, $r_1 = \frac{h+b'-b}{2}$, $r_2 = \frac{h+a'-a}{2}$. Thêm các biểu thức này, chúng ta sẽ có được những gì chúng ta cần.

7. $r^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Bằng chứng. Từ sự giống nhau của các tam giác $ACH$ và $ABC$ suy ra $\frac{r_1}{r} = \frac{b}{c} = \cos \alpha$, ngoài ra, $\frac{r_2}{r} = \frac{a}{c} = \cos \beta = \sin \alpha$. Vì vậy, $r_1 = r \cos \alpha$, $r_2 = r \sin \alpha$. Vì vậy, $r_1^2 + r_2^2 = r^2$.

8. $AC = AQ$, $BC = BP$.

Bằng chứng. Đẳng thức đầu tiên xuất phát từ chuỗi đẳng thức của các góc $\angle CQA = \angle BCQ + \angle B = \frac{1}{2} \alpha + \beta = \angle ACH + \angle HCQ = \beta + \frac{1}{2} \alpha = \angle ACQ$. Đẳng thức thứ hai có thể được chứng minh theo cách tương tự.

9. Điểm $T$ (xem hình 3) là giao điểm của các đường cao (trực tâm) của tam giác $CRS$ và tâm ngoại tiếp của tam giác $CPQ$.

Hình 2.

Bằng chứng. BS và AT là các phân giác của góc B và A. Điều này có nghĩa là đường thẳng BS và AT lần lượt vuông góc với CP và CQ và chia đôi các đoạn này.

10. Trực tiếp $T_1R$ và $T_1S$ song song với BC và AC tương ứng.

Bằng chứng. Từ điểm $T_1$ chúng ta hạ đường vuông góc $T_1R_2$ xuống AC (hình 4). Gọi $R^*$ là giao điểm của $TR_2$ với AT. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $R^* = R$.

Hình tam giác $ATT_1$ và $AR^*R_2$ giống nhau. Do đó $\frac{R^*R_2}{TT_1} = \frac{AR_2}{AT_1} = \cos \alpha$, và do đó $R^*R_2 = TT_1 \cos \alpha = r \cos \alpha = r_1$, tức là điểm $R^*$ nằm trên phân giác của góc A và cách AC một khoảng $r_1$, nhưng điều này có nghĩa là $R^* = R$. Tương tự, người ta chứng minh rằng $T_1S \parallel AC$.

Bài tập 1. Hãy tự chứng minh khẳng định sau:

11. Đường thẳng PS song song với AT và đường thẳng RQ song song với BT.

12. Các tam giác ATB, BSC và ARC đồng dạng.

13. Điểm H và T_1 nằm trên đường tròn đường kính RS.

14. $ST_1 = RT_1$.

Bằng chứng. Vì $\triangle T_1RR_1$ là góc vuông và $\angle RT_1R_1 = \beta$, nên chúng ta có $T_1R \sin \beta = r_1 = r \sin \beta$, do đó $T_1R = r$. Có thể chứng minh theo cách tương tự rằng $T_1S = r$.

15. $CU = CV$.

Bằng chứng. Tam giác $ST_1R$ là tam giác vuông cân. Vì vậy $\angle TS_1R = \angle CUV = 45^\circ$. Và điều này có nghĩa là tam giác $CUV$ là tam giác đều.

16. Các điểm Q, S, T, R, P nằm trên đường tròn có tâm tại điểm $T_1$ và bán kính $r$.

Bằng chứng. Điểm S và R nằm trên đường tròn này. Hãy chứng minh