[Giới thiệu về lời giải phương trình a^2 + b^2 = c^2 ở dạng số nguyên]

55

Trong tạp chí «Kvant» (1975, số 12, trang 73) một tạp chí khác, phức tạp hơn, lời giải trong số bài toán này đã được xuất bản.

Phương pháp lời giải, dựa trên việc sử dụng thành phần chuyển đổi, có thể được sử dụng để soạn lời giải tương tự như bài toán. Giải một bài toán tổng quát hơn cái đã xét, ta thu được kết quả sau:

Nếu dựng các tam giác ABM, BCN, ACP trên các cạnh của tam giác ABC tùy ý và thỏa mãn các điều kiện sau:
a) các tam giác BCN và ACP bằng nhau và ngược chiều nhau;
b) Tam giác ABM đồng dạng đáy AB (hoặc M là trung điểm cạnh AB); tổng các góc định hướng BMA, APC và CNB (hoặc AMB, BNC và CPA) là 360°, khi đó $\angle PMN = 2\angle PAC$ và PM=MN.

Người đọc sẽ tìm thấy một bài toán tương tự khác, trong đó các hình tam giác được tạo trên các cạnh của một tam giác nhất định không giống nhau ở bên dưới (Bài tập 4).

Bài tập
4. Trên các cạnh của tam giác ABC tùy ý, các tam giác ABM, BCN và CAP được dựng bên ngoài tam giác đó sao cho $\angle BAM = \angle CAP = 15^\circ$, $\angle ABM = \angle CBN = 30^\circ$ và $\angle ACP = \angle BCN = 45^\circ$. Tìm các góc của tam giác MNP.
5. Trên các cạnh của tam giác ABC tùy ý, dựng các tam giác đều ABM, BCN và ACK bên ngoài tam giác đó. Chứng minh rằng

Từ phương trình $a^2 + b^2 = c^2$ suy ra các số $a+b$ và $c$ có ​​cùng số chẵn lẻ và $a+b>c$. Hãy đặt $a+b-c=2n$ và giới thiệu các biến: $x = a-2n$, $y = b-2n$. Khi đó $a=x+2n$, $b=y+2n$, $c=x+y+2n$ và phương trình ban đầu có thể được viết là $xy=2n^2$. Do đó, tất cả các phương trình lời giải $a^2+b^2=c^2$ có ​​thể thu được như sau: với mỗi $n$ tự nhiên, chia số $2n^2$ thành hai thừa số $x$ và $y$ rồi đặt $a=x+2n$, $b=y+2n$, $c=x+y+2n$. Ví dụ: bộ ba Pythagore (5, 12, 13) tương ứng với giá trị $n=2$, $x=1$, $y=8$.