Viện Hàng không Moscow được đặt theo tên. Sergo Ordzhonikidze

69

Viện Hàng không Moscow được đặt theo tên. Sergo Ordzhonikidze

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Tổng gót của các số hạng đầu tiên của một cấp số cộng nhỏ hơn tổng các gót của các số hạng tiếp theo bằng 50. Số hạng thứ mười của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của nó bao nhiêu?
2. Tìm điểm cực trị của hàm số
   $$f(x) = \sin 2x + 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right).$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{\lg x} + \sqrt{25 - \lg x} \leq 7.$$
4. Diện tích của một tam giác vuông là $P$ và diện tích của hình tròn nội tiếp trong đó là $Q$. Tìm diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác này.
5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2x^2 + xy = 1, \\ \frac{9x^2}{2(1-x)^4} = 1 + \frac{3xy}{2(1-x)^2}. \end{cases}$$
6. Trong lăng trụ tam giác vuông $ABCA'B'C'$, một mặt cắt được vẽ qua các điểm $B, C$ và $A'$, có diện tích là $S$ và khoảng cách từ mặt phẳng cắt đến đỉnh $B'$ là $h$. Tìm thể tích của lăng kính.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \cos^2 2x = 1 - \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right).$$

2. Tìm tỉ số của số hạng thứ ba của một cấp số nhân giảm dần với số hạng thứ mười lăm của nó nếu tổng của hai số hạng mười hai của cấp số này, bắt đầu từ số hạng thứ mười ba, bằng 40% tổng của hai số hạng đầu tiên của nó.

3. Tìm miền xác định của hàm
   $$f(x) = \sqrt{\log_{3x+1} \frac{x-2}{x-4}}.$$

4. Thể tích tối đa của một paramida tứ giác đều có cạnh bên có chiều dài 1 là bao nhiêu?

5. Tìm tất cả các hệ thống lời giải
   $$\begin{cases} 5x^2 + 8xy + 4y^2 = 4 + 4x, \\ \sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) = 0. \end{cases}$$

6. Điểm $O(0; 0), A(0; 1), B(2; 0), C(4; 0)$ được cho trên mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ $(x; y)$ của điểm $M$ sao cho góc OMA bằng góc CMB và góc MAO bằng góc MBC.

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Một sợi dây được quấn quanh hình trụ, đầu của nó được cố định vào một giá đỡ ở điểm trên cùng của mặt phẳng nghiêng (hình 1). Hệ số ma sát giữa hình trụ và mặt phẳng là $\mu$. Với giá trị lớn nhất của góc $\alpha$ thì hình trụ không lăn xuống mặt phẳng nghiêng?
2. Một quả bóng có khối lượng $m$ được treo bởi hai lò xo có độ cứng là $k_1$ và $k_2$ (hình 2). Tìm tần số dao động của quả bóng. Tần số có thay đổi nếu thay đổi các lò xo không?
3. Trong một bình chứa nước có thể tích $V_1 = 0,25$ l và nhiệt độ là $t_1 = 20^\circ\text{C}$, người ta đặt $m_2 = 50$ g chì nóng chảy có nhiệt độ $t_2 = 400^\circ\text{C}$. Nhiệt độ nào sẽ được thiết lập do sự truyền nhiệt? Phần nước còn lại trong bình là bao nhiêu? Nhiệt dung riêng của nước là $c_1 = 4,2 \cdot 10^3\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$, nhiệt độ nóng chảy của chì là $t_{\pi\pi} = 327^\circ\text{C}$, nhiệt độ riêng của nó là $\lambda = 0,226 \cdot 10^5\text{Дж/кг}$, nhiệt dung riêng của chì nóng chảy và chì rắn được coi là như nhau và bằng $c_2 = 1,3 \times 10^2\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$. Bỏ qua sự mất nhiệt.
4. Một hạt mang điện tích $q$ sẽ tăng tốc tới mức năng lượng $W$ và bay vào một tụ điện phẳng song song với các bản của nó. Điện tích của tụ điện là $Q$, điện dung của nó là $C$, khoảng cách giữa các bản tụ là $d$. Ban đầu, hạt ở cùng khoảng cách với các tấm. Mỗi tấm phải dài bao nhiêu để các hạt không rơi trên bề mặt của nó?
5. Nhiếp ảnh gia muốn chụp ảnh vạch đích của các vận động viên beta từ bên cạnh. Khoảng cách từ vật thể camera đến người chạy gần nhất là $d = 10$ m. Tiêu cự của vật thể trong máy ảnh là $F = 100$ mm. Độ mờ của đường viền hình ảnh trên phim ảnh không được vượt quá $\Delta l = 0,1$ mm. Ước tính thời gian tiếp xúc nếu vận động viên về đích với tốc độ khoảng $v = 10$ m/s.
6. Đường viền quang học màu đỏ cho một số kim loại $\lambda_{\max} = 2750\text{Å}$. Giá trị năng lượng photon tối thiểu gây ra hiện tượng quang điện là bao nhiêu?