Làm thế nào để chạy trốn khỏi cơn mưa?

22

LÀM THẾ NÀO ĐỂ TRÁNH MƯA?
(Một nghiên cứu rất nghiêm túc)
I. F. AKULICH

Giới thiệu
Hãy tưởng tượng rằng bạn đang đi bộ trên đường trong thời tiết nhiều mây, không có ô, áo mưa hay áo choàng… Đột nhiên, bất ngờ, một trận mưa lớn ập đến với bạn và kèm theo gió.
Phải làm gì?
Phần lớn các công cụ (bao gồm cả tác giả) sẽ trả lời theo cách này: chạy ngay lập tức theo ukracy gần nhất và càng nhanh thì càng tốt. Sự thật dường như không thể phủ nhận. Tuy nhiên, cũng có người lại lý luận như sau: “Tất nhiên là phải theo ukracy, nhưng không cần thiết phải chạy càng nhanh càng tốt”.

22

23

Hình 1.

nghĩa là: nếu tôi chạy nhanh, tất nhiên, tôi sẽ thay đổi thời gian tôi ở trong tình trạng kẹt xe, và do đó, sẽ có ít giọt rơi vào tôi từ trên cao hơn. Nhưng chính tôi sẽ dùng thân mình đánh đổ những giọt nước lớn hơn đang ở trước mặt mình. Nếu tôi bị ướt ở phần trên thì tôi sẽ bị ướt nhiều hơn ở phía trước. Vậy làm cách nào để hưởng lợi từ phiên bản beta nhanh? Không." Và những người như vậy bình tĩnh đi đến ùn tắc, không gây ngạc nhiên cho những người xung quanh.

Làm thế nào để giải thích lý luận như vậy? Ảo tưởng là như thế nào? Vui lòng. Nhưng… điều gì sẽ xảy ra nếu đây không phải là ảo tưởng mà ngược lại, trực giác và những người lý luận theo cách này đều đúng?

Đây là một thông điệp có lợi cho họ. Hãy tưởng tượng rằng gió đang thổi theo hướng từ bạn đến nơi trú ẩn và mạnh đến mức djed nằm ngang thực tế hơn. Sau đó, tốt nhất là chạy khỏi jedya với tốc độ gió: tất cả các giọt sẽ di chuyển song song với bạn và không một giọt nào rơi vào bạn. Di chuyển chậm hơn không có lợi nhưng di chuyển nhanh hơn cũng bất lợi: bạn sẽ bị ướt nhiều hơn! Tất nhiên, không dễ để di chuyển với tốc độ gió mạnh (sau đây gọi là đuôi), nhưng lý do này vẫn khuyến khích chúng ta đi sâu vào bài toán.

Sản xuất bài toán
và sự đơn giản hóa cần thiết

Chúng ta hãy xây dựng các điều kiện bài toán:

Một người đàn ông đang đứng trên đường phố. Đột nhiên trời bắt đầu mưa. Người đó đi đến nơi trú ẩn gần nhất, cách anh ta một khoảng l. Anh ta nên đánh ở tốc độ nào để bị ướt ít nhất có thể?

Hình 2.

Nhiệm vụ đã được đặt ra nhưng ở dạng này xin mời chúng tôi không thể giải quyết được. Quả thực, con người là một sinh vật có hình dạng phức tạp, khi di chuyển cũng liên tục thay đổi hình dạng (sắp xếp lại chân, vẫy tay…). Vì vậy, việc tính toán chính xác là bài toán vô cùng khó khăn. Do đó, không còn gì ngoài việc giải quyết phép tính gần đúng của nó và do đó chúng tôi định dạng lại bài toán:

Một vật thể song song phù hợp có diện tích mặt là $S_B$, $S_B$ và $S_J$ (từ các từ “bên”, “trên cùng” và “phía trước”) di chuyển với tốc độ và vuông góc với mặt $S_J$. Cùng lúc đó trời đang mưa, mỗi giọt mưa có vận tốc v (hình 1) (vectơ v không nhất thiết hướng thẳng đứng xuống dưới - mưa cũng có thể xiên). Số hạt mưa trên một đơn vị thể tích là k. Câu hỏi đặt ra là: có bao nhiêu giọt N rơi xuống vật song song trong thời gian nó di chuyển một quãng đường l, và với giá trị nào của tốc độ i thì giá trị N này sẽ nhỏ nhất?

Hãy đến lời giải

Hãy giới thiệu hệ tọa độ $Oxyz$ trong không gian: trục $Oz$ hướng thẳng đứng xuống dưới, trục $Ox$ hướng theo vectơ $\bar{u}$ và trục $Oy$ vuông góc với mặt phẳng $Oxz$ nên hình chiếu của vectơ vận tốc của hạt mưa rơi v lên trục $Oy$ là không âm (hình 2). Vì vectơ v đã cho nên chúng ta có thể giả sử rằng hình chiếu của vectơ v trên các trục tọa độ đã biết. Hãy gọi chúng là $v_x$, $v_y$ và $v_z$. Có thể nói gì về những dự đoán này? Tất nhiên là $v_y \geq 0$ (đây là cách tôi chọn

24

tới trục $Oy$). Ngoài ra, $v_z > 0$ (chỉ nên đi từ trên xuống dưới). Nhưng giá trị $v_x$ có ​​thể là dương (thu nhập vượt qua) hoặc âm (thu nhập đối ứng) hoặc thậm chí bằng 0.

Chúng ta sẽ giải bài toán trong hệ quy chiếu liên kết với song song, tức là chúng ta sẽ coi song song là bất động: khi đó chúng ta phải 计 trên hệ quy chiếu này chúng sẽ nhận được tốc độ $\bar{w} = \bar{v} - \bar{u}$. Hình chiếu của vectơ vận tốc $\bar{w}$ lên các trục tọa độ sẽ là $w_x = v_x - u, w_y = v_y, w_z = v_z$ (u là độ dài của vectơ $\bar{u}$). Cần phải xác định xem có bao nhiêu giọt $N$ sẽ rơi trên song song trong thời gian $\tau = l/u$ và ở mức nào $u$ thì giá trị $N$ sẽ là tối thiểu.

Rõ ràng là theo thời gian $\tau$ tất cả các giọt sẽ rơi xuống hình bình hành, từ đây tính từ các cạnh của hình bình hành đến một khoảng cách không lớn hơn $\tau \cdot |\bar{w}|$, theo hướng ngược lại với vectơ $\bar{w}$, tức là tất cả các giọt nằm bên trong thể tích của vật được vạch ra bằng các đường màu đỏ trên hình 3. Làm thế nào để tìm thể tích của vật này? Dễ dàng nhận thấy rằng vật thể này bao gồm ba lăng kính, diện tích các đáy lần lượt là $S_\pi, S_B$ và $S_B$, còn chiều cao lần lượt là giá trị abscille của hình chiếu của vectơ $\tau \cdot \bar{w}$ trên trục $Ox, Oy$ và $Oz$. Do đó thể tích của vật này bằng

$$\tau(|w_x|S_\pi + |w_y|S_B + |w_z|S_B) = \tau(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B),$$

Hình 3.

Hình 4.

và số giọt yêu cầu $N$ bằng $\tau k(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B)$.

Xét rằng $\tau = l/u$, chúng ta thu được sự phụ thuộc của $N$ vào $u$:

$$N = kl \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm $u > 0$ mà $N$ là tối thiểu.

Hãy tiếp tục lời giải

Vì đại lượng $k$ và $l$ không đổi nên để thuận tiện, chúng ta sẽ tính toán với các đại lượng

$$\psi = \frac{N}{kl} = \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Hãy xem xét hai trường hợp:

1. $v_x \leq 0$ (cái chết sắp xảy ra).

Trong trường hợp này, $v_x - u < 0$ và hàm $\psi$ có dạng:

$$\psi = \frac{(u - v_x)S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u} = S_\pi + \frac{-v_x S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Vì $v_x \leq 0$, tử số của phân số là dương và hàm $\psi(u)$ sẽ kết thúc trong khoảng $(0; +\infty)$. Biểu đồ của hàm $\psi$ so với $u$ được hiển thị trong hình 4. Chúng ta thấy rằng mặc dù $\psi$ tiêu diệt khi $u$ tăng, nhưng nó vẫn luôn là $\psi > S_\pi$ và $\psi \rightarrow S_\pi$ ở $u \rightarrow \infty$. Vì vậy, trong trường hợp có một cú đánh sắp xảy ra, những người ủng hộ lý thuyết “không do dự” dường như đã nhầm lẫn: bạn chạy càng nhanh thì bạn càng ít bị ướt. Odana-

25

Nhưng sau đó, một sự thật khác, thoạt nhìn khá bất ngờ, được tiết lộ: vì $\psi > S_{\pi}$ với mọi $u$, $N = kl\psi$ luôn lớn hơn $klS_{\pi}$. Điều này có nghĩa là dù bạn có chạy nhanh đến đâu (thậm chí bay với tốc độ của một viên đạn), “liều tối thiểu” vẫn phải bằng $klS_{\pi}$, được đảm bảo. Vì vậy, dường như có logic nào đó trong cách lập luận của những người không thích vội vàng.

2. $v_x > 0$ (mưa đi qua).

Có hai khoảng thời gian cần xem xét ở đây:

1. $0 < u \leq v_x$. Sau đó $|v_x - u| = v_x - u$ và

$$\psi = \frac{v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} - S_{\pi}.$$

Hàm này tắt trong khoảng $(0; v_x]$ và đạt mức tối thiểu ở $u = v_x$:

$$\psi |_{u = v_x} = \frac{v_y S_B + v_z S_B}{v_x}.$$

2. $u > v_x$. Sau đó $|v_x - u| = u - v_x$ và

$$\psi = \frac{-v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} + S_{\pi}.$$

Ở đây không còn có thể nói ngay $\psi$ hoạt động như thế nào khi $u$ tăng lên. Nó phụ thuộc vào tử số của phân số $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Nếu $A > 0$ thì $\psi(u)$ là hàm tiêu diệt trên đoạn $(v_x; +\infty)$, nếu $A < 0$ tăng trong khoảng này và nếu $A = 0$ thì $\psi = S_{\pi}$ là const trên khoảng này.

Đồ thị phụ thuộc $\psi(u)$ cho tất cả $u \in (0; +\infty)$ được hiển thị trên hình 5. Có thể thấy rằng trong phần từ 0 đến $v_x$ các đường cong có hình dạng giống nhau cho cả ba trường hợp $(A > 0, A = 0$ và $A < 0)$, và sau khi ngắt ở $u = v_x$ chúng sẽ khác nhau.

Điều gì tiếp theo từ điều này? Và thực tế là lập luận của những người ủng hộ lý thuyết được coi là không đúng sự thật về việc “đi chậm” với một tấm bảng chuyền bóng hóa ra lại mạnh mẽ và có ý nghĩa đến không ngờ trong một số trường hợp, nhưng hãy nói thêm về điều này bên dưới.

Kết luận

Sau khi phân tích kết quả tính toán và đồ thị ở Hình 4 và 5, chúng ta có thể trả lời cặn kẽ câu hỏi làm thế nào để chạy khỏi bảng.

Vì vậy, nếu bảng là phản, thì bạn cần phải chạy đến cướp càng nhanh càng tốt. Nếu bảng hướng gió, thì trước tiên bạn cần ước tính trong đầu các giá trị của $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Nếu thành ra $A > 0$, thì trong trường hợp này bạn nên nhanh lên. Nếu $A = 0$, bạn có thể di chuyển với tốc độ bất kỳ vượt quá $v_x$, bạn cũng sẽ bị ướt như nhau. Chà, nếu $A < 0$ - bạn cần chạy đúng tốc độ bằng $v_x$ - thì bạn sẽ ít bị ướt nhất.

Ví dụ, nếu $v_y = 0$ (trường hợp gió thuận), thì bất đẳng thức $A < 0$ tương đương với bất đẳng thức $v_x S_{\pi} > v_z S_B$. Vì đối với một người cao, gầy $S_{\pi}$ lớn hơn đáng kể so với $S_B$, sự bất bình đẳng này có thể đúng đối với “người đi bộ” tương đối nhỏ $v_x$. Một người như vậy, nếu anh ta chuyển sang hành vi trộm cắp sao cho quỹ đạo của những giọt nước đối với anh ta có vẻ thẳng đứng, thì nhìn chung có cơ hội giữ được khô ráo. Điều này được gọi là “trượt giữa các giọt nước”.

Ban biên tập, tập biên tập và ban biên tập «Kvant» với sự chuyển thể sâu sắc thông báo với độc giả rằng ngày 3/1/1989, thọ 81 tuổi, một thành viên ban biên tập, viện sĩ Sergei Lvovich Sobolev, đã qua đời.