Триумф великой идеи

4

ТРИУМФ ВЕЛИКОЙ ИДЕИ

Большинство граждан нашей великой Родины, в особенностях молодежь, с детства привыкли к тому, что они родились и живут в Советском Союзе.

Изредка мы произносим полное название нашей страны, родившееся 50 лет тому назад: Союз Советских Социалистических Республик. Не всегда мы задумываемся над глубоким смыслом этого названия и над величием самого идеи об образованнии этого Союза. Между тем идея образованния Советского Союза — это великая идея.

Автор этой идеи — Владимир Ильич Ленин.

Читатели «Кванта» знают, что в области физико-математических наук великими называются идеи, преобразующие основы науки (например, квантовая теория, теория относительности). Что же сказать о научной идее, который было существено преобразовать мир?

Ее существление привело к кардиального решения одной из самых жгучных мировых проблем, которая называется национальным вопросом.

В течение многих веков мир разделился, а капиталистический мир и понные разделяются националистическими противоречиями. Научный анализ этой проблемы, произведенный В. И. Лениным на основании мирового опыта общественного развития и опыта Великой Октябрьской Социалистической революции, показал, что для вражды между отдельными национальными нетниками глубоких принципальных принцип.

Национальная рознь — это порождание реакционного общественного строя, будь то равноведельче-кий, федеральный или капиталистический строой.

Кapitалистический строой служит питательной средой для развития ультрареакционных «теории» национальной или расовой исключительнойности. Именно эти «теории» были приняты на вооружение германским фашизмом.

Ленинская теория национального вопроса, в противовес Буржуазно-националистической идеологии, исходит из того, что нет никакой национальной или расовой исключительнойности. Великий физик XX столетия, создатель теории строения atoma Нильс Бор глубоко интересовал отсутствие национальной исключительнойности следующим примером. Если, утверждал Н. Бор, русского ребенка в грудном воздействие на постоянное житьство во Францию, то, выросший там, он по своему духовному облику, по привчкам и поведению не будет отличаться от коренного французца.

Точно так же и французский ребенок, выросший в России, не будет отличаться от коренного русского.

Национальное здесь ни при чем — все определяется общественной средой, в котором человек воспитывает.

Ленин решительно отстаивает идею равноведельности, показав одновременную, что осуществление такого рода равноведельного подхода в социальisticском обществе.

Образование Союза Советских Социалистических Республик было практическим вопросом этой идеи.

5

Попуvekовой опыт существования и развития Советского Союза — это триумф учения Ленина о национальном вопросе.

Одной из наиболее ярких иллюстраций успешного решения национального вопроса может служить развитие науки в ресурсных Советского Союза.

На месте отсталых федеральных и получаемых окраин царской России, где подавляющая часть населения была неграмотной, выросли многочисленные города, ставшие крупными научными центрами. Научные центры имеют теперь во всех союзных ресурсных. Многие научные институты в ресурсных пользовании имеют атомные реакторы. Один из лучших в мире atomных реакторов, предназначенных для физических исследований, построен в Грузинской ССР. Один из лучших в мире укорителей электронов находится в Армении.

В физических институтах Казахстана, Узбекистана проводятся важные для науки и народного хозяйства исследования.

Во всех союзных ресурсных имеются ресурсikanские академии наук, объединяющие крупных ученых.

Ряд союзных ресурсикских сил скали себе мировую slavery. Многие международные союзы учены воз-
главляют соетским учеными. По нянтоно, что все это привело к тому, что советская наука вообщее оказалась огромное влияние на развитие науки во всем мире.

Свидетельством этому служит, например, тот факт, что больше число советских научных журналов переводится на иностранные языки.

Читательям «Квантта» известно, что всесоюзные оптимизации школьников проходят в городах ряда союзных ресурсикских. Участики этих оптимизации на собственном опите осуществлены относительно себе стороны своих товаров смых разных национальнойностей.

Мы привыклили к таким положению, и мы вссприннимаем все это как должное.

Но нужно помнить, что путь к этому «должному» не был легким и простым. Советскому народу, Коммунистической партии на этом пути пришлось предложить немалые трудности, связанные с экономическим и культурнойсталостью, бороться против попытки контрреволюции использовать в своих целях наследие прежней национальной вражды. И в этой борьбе советский народ вышел победителем.

Теперь советский опыт создания многонационального социального государства получил научное признание и служит примером для борцов за социальism и национальное освобождение во всем мире.

Вот почему 50-летний юбилей Советского Союза раздуют не только наоды нашей страны, но и все прогрессивное человечество мира.

7

Б. А. Розенфельд,
А. Я. Халамайзер

— Каждай из них произведел революцию в научных идеях, — сказал английский ученый Вилым Клиффорд о Копернике и Лобачевском, — и обе эти революции имеют одно и то же значение. Это революции в нашем понимании космоса.

Неевклидова геометрия, открыта Николаем Ивановичем Лобачевским, нанесла первый удар вековчным идеям незыблемости геометрических законов, сформулированных Евклидом. Затем последовал новый удар: известный опыт Майкельсона по определению скорости света. И наконец, теория относительной Эйнштейна окончательно разрушила представления ученых об абсолютистике пространства. Нет абсолютиного пространства, одинакового для всех, сказал Эйнштейн, так же как нет и абсолютиного времени, одинакового для всех.

И как Солнечная система Коперника объявила загадку мироиздания, мучавшую астрономов, так и геометрия Лобачевского решения проблем, над которой всками были геометры.

— Задача, которую решил Лобачевский, была задачей, которую ставили на очередь математика и физика того времени, — говорил профессор А. В. Васильев, представатель Коперника физико-mатематического общества. — Чтобы устотеть эту задачу, нужно была генеральность Гаусса и Лобачевского, нужны были настоящийность и трудолюбие нашего знаменитого соотечественника. Для нас всегда остался предмет высокой патриотической гордости, что эту задачу решил ученый, живший в Казани, вдалеке от центров умственной жизни.

К 180-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского

1 декабря 1792 года у мелкого нижнегогородского чиновника Ивана Максимовича Лобачевского родился сын, «което при святом крещении нарекли Николаем». Десять лет спуста Николая вместе с братыми Алексадром и Алексеем зачислили на казенное разночинское содержание в Казанскую гимназию.

Уже в гимназии проявились незаурядные способности Николая к научкам вообще, к математике и физике в частности. Немалую роль в развитии таланта Лобачевского сыграм молодой преподаватель Г. И. Карташевский.

С 1807 года Николай — студент Казанского университета. Профессия удивляющая легкость, с которой он воспринимает научки, их порядок способности пятнадцатилетнего юноши, оригинальное его мышление. Николай становится «гордостью университета». Но мальчишка остается малчищкой: то он запускает ракеты, то едет по городскому саду верхом на корове, то на спор перерыгивает через полного и страдающего одышкой профессора Николыского. Он «является признаки безжжия». Это серверное представление обсуждается на совете университета, волновомуца собираются отдельно профессора Литтрова и Бартельса спадает талантливого юношу от солдатской шинели.

В 1811 году после блестиго окончания университета Лобачевский — магистр *), с 1814 года он — адьюнкт *), а с 1816 — профессор.

*) Магистр, адьюнкт — младшие ученые степени в Российской университетах (до 1863 года).

8

В ноября 1820 года его избрают деканом физико-математического факультета, в 1827 году — ректором университета. На этом посту Лобачевский оставался почти 20 лет.

В течение многих лет Лобачевский заведовал библиотекой университета, подбирал и закупал учебную и научную литературу. С 1822 года он был членом, а с 1825 года — председателем стройного комитета. Не довольствуясь приглашением лучших архитекторов того времени, Лобачевский сам серbezно изучал архитектуру. Под его руководством были построены и реконструированы многие учебные здания, библиотека, астрономическая обсерватория, клиника, типография.

В тяжелое время пришел Лобачевский к руководству университетом. Многие профессора прошли стоян на позициях воскресенного сотрудника мира.

— … Из свягого писания открывается, что свет солнечный есть отблеск лika бокжего. А как он распространяется, через волнение или другим образом, о том святое писание ясно не говорит. Согласнее со святьим писанием думать, что свет есть орран, через которых живущий в мире неприступном, посылает в мир подлунный духа своего… — записано в тетради одного из профессоров.

По этой тетради читались лекции студентам!

— Гипотенуза, миллию божней, — начinal лекции по геометрию профессор Никольский. Так его и произвали студенты: «Гипотенуза миллию божней».

Недавний попечитель учебного округа мраковес М. Л. Магницкий, пытавшийся (но, к счастью, не сумевший) добиться закрытия университета, составил особую инструкцию, обязывающий его должность о всякой «крамоле»; 9 передовых профессоров были изгнаны.

Лобачевский считал, что школа и университет должны давать молодым людям знания, определенные моральные устон, делать их полезными и жизниредостимыми членами общества. Уже через год после вступления в должность, 17 июля 1828 года ректор Лобачевский произносит свою значенную речь «О важнейших предметах воспитания».

— В это завершение вступили, юношество не условият пустых слов, без всякой мысли. Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что изобретено праздным умом… Спрашивайте природу! Она хранит все истинны и на вопросы ваши будет ответать непреемно и удовлетворительно.

Новому ректору удалось избавить университет от бездарных преподавателей, считавших солнечный свет отблеском лika бокжего. Вскоре был учрежден печатный орран — «Ученызаписки Казанского университета», изданнойся и по сей день. Казанский университет становится первооклассным учебным заведением.

В архивах университета сохранилось решение Л. Н. Толстого о разрешении допустить его к приемным экзаменам. Здесь учились знаменитые химики Зинин и Бутлеров. Подднец университет закончил Илья Николаевич Ульянов. А в конце XIX века студентом Казанского университета становится Владимир Ильич Ульянов—Ленин.

Жарким летом 1830 года к Казанни приближалась холера. Еще только просывал о ней, многое жители узжали из города; оставшиеся запасались продуктами и старались не выходить заворота. Но опасность была уже близка.

Первые же случаи zabолевания настояжили Лобачевского. Он распорядился:

— те и другиеворота — на запор;
— вдоль заборов — охрану;
— впускать — только с его разрешения и после okуривания хлопом;
— химикам — заготовить хлоп и хлопную изввсть.

9

Затем Лобачевский оправился на соседню улицу к губернатору, барону Пирху.

— Что, холера? — удивился барон. — Из Симбирска? Но мы жали ее, господин Лобачевский, сверху, из Нижнего Новгорода.

— Я считаю необходимым, ваше превосходительство, немедленно оценить пристани, поставить кордоны, изолировать город… — И Лобачевский развернул перед губернатром подробный план борбы с надвигающейся опасностью.

— Да вы что? — не дослушал Пирх. — Хотите, чтобы холерный бунт? Город изолировать? А подати кто собирать будет? А в солдаты набирать, воевать кто будет?

Лобачевскому оставалось только распрошаться.

Срочно собрашияся совет университета передал ректору всего полоту власти. Лобачевский объявил карантин. Все студенты, преподаватели, служащие переселились на территorio университета. И все же в первые четыре дня умерло 12 человек. По приказанию ректора группы умерших обливали хлопной извесью, одежду, постель и другие личные вещи немедленно сжигали. На пятый день заболевания прекратились. За доставкой и хлопированием воды Лобачевский наблюдал лично. И хотя в городе холера выкосила часть ли не половину населення, из 560 человек, живших на территории университета, никто больше не пострадал.

Не меняшую энергию прошил ректор и в августа 1842 года, когда в Казани свирпствовал пожар. В городе выгорели целые кварталы, от множества зданий остались груды головшек. Загорелась университетская библиотека, недавно построенная обсерватория. Лобачевский не отлучался с пожара, сам руководил спасательными работами. Обсерватория сгорел, но ценное оборудование удалось спасти; библиотеку от огня. Однако дом, принадлежащий Лобачевскому, сгорел дотла; сгорел и университетская kvартира, где жил Николай Иванович; в огне погибло имущество Лобачевских и бесценные рукописи.

Заслужги Лобачевского перед Казанским университетом трудно переоценить. Рассуждение его «о важнейших предметах воспитания» оказалось весна ценных вкладом в педагогическую науку. Но смелость сухдений и прямой, независяный характер правятся не всем. Против Лобачевского начислясь проискки.

В 1846 году Николай Иванович был назначен помошником попечителья Казанского учебного округа, а попечительем вскоре стал малообразованный казачий генерал Молоствов, который, нимало не смущаясь, заявил министру народного просвещения Носову:

— Моему помошнику совершенно нечего делать…

Отстранение от активной административной и педагогической деятельности вызвалу у Лобачевского резкий упадок сил. В 55 лет он почувствовал себя немощным и больным. Вскоре он лишился даже номинальной должности помошника Молоствова, а с него — и жалованы. Появились материальные затруднения.

Лобачевский стал слегнуть: сказались непомерныеочные бдения в молодости. Последние годы жизни Николай Иванович не мог самостоятельно перевгrizаться. Но он верил в великое будущее своего открытия не покидала его: будучи слабым и больным, почти ничего не видя, он дискотел свое научное завещание — «Пан геометрию», которая вышла из печати незадолго до его смерти.

Еще в молодости Лобачевский заинтересовался основания геометрии и подверг критике «Начала» Евклида. Особое внимание привлек так называемый V постулат:

— Всякие две прямы, которые при пересечении с третий образуют внутренние односторонние углы, дающие в сумме менше двух

10

Рис. 1.

прямых, при продолжении обязаательно пересекаются.

На протяжении многих веков геометры пытались доказать пятый постулат, как теорему. Но каждый из них неявно вводил какое-то «очевидное» свойство:

… Геометрическое место точек плоскости, равностоящих от прямой и лежащих по одному сторону от нее, есть прямая, — считал Посидоний (Рим, I век до н. э.).

… Две приближащиеся прямые обязаательно пересекаются, — утверждал Омар Хайям (Средняя Азия, XI век).

… Для всякой фигуры можно построить ей подобную, — был убежен Джон Валис (Англия, XVII век).

Алексис-Клод Клеро (Франция, XVIII век) строил теорию параллельных линей, основываясь на существовании прямогоугольника; Фаркаш Бойян (Венгрия, конец XVIII — начало XIX век) доказывал пятый постулат, исходя из того, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно проведи окружность.

Но все эти продложения оказались равносильными пятому постулату Евклида или даже более сильному постулату: через точку вне некоторой прямой можно проведи в их плоскости одну и только одну прямую, не пересекающую данной. А последнее утверждение равносиль-

Рис. 2.

но тому, что сумма углов любого треугольника составляет 180°.

Еще в 1823 году Лобачевский подготовил к печати первый составленный им курс геометрии. Пытаясь оторваться от Евклида, он построил в первой половине книги «абсолютную геометрию» — не зависящую от постулата о параллельных. Он был убежен, что геометрия, в котором верны все аксионы Евклида, кроме аксионы о параллельных, — не противоречива. Важнейшую роль в этом выводе сыграло критическое отношение Лобачевского к убежению о воскледности наших геометрических знаний: ведь из этого убежения вытекала бы единственность геометрической системы.

Ученик великого Эйлера, академик Николай Иванович Фусс, не разобрались в революционной системе ией Лобачевского, дал о работе резко отрицательный отзыв. Особенно возмутило академика … введение метра как единцы измерения длины и деление круга на 400 градусов, а не на 360.

— Сие разделение выдумано во время французской революции, — пишет Фусс в решении, — но сияновизна нигде принята не была по причине очередных неудобств.

Резценция эта ошибочная вводие: генциальность ией Лобачевского оказалась недоступной не только Фуссу, но и многим талантливым умам того времени, а метр прочно завоевал права гражданства.

11

Но разгромная резенция Николая Ивановича Фусса не испугала Николая Ивановича Лобачевского. Он продолжает развивать свои идеи и в последующие годы делает генциальный по простоте шаг: отказывается от пятого поступата, господствовавшего в умах чуть не две тысячи лет и не вызывшего никаких сомнений ни у предшественников, ни у современников.

Лобачевский предположил, что через данную вне прямой точку можно провести в их плоскости не менее двух прямых, которые не пересекутся с данной прямой $AB$.

Из этого совершенного непелого на первый взгляд допущения Лобачевский стал делать дальнейшие выводы. И не пришел ни к какому противоречию! Более того, получил строную, логичную геометрическую систему, законченное целое, которое он называл «воображаемой геометрией» — по аналогии с миниммическими, которые он тоже называл воображаемыми; если минимые числа — наиболее общие, для которых справедливы законы общей арифметики, то «воображаемая геометрия» — наиболее общая геометрическая система, в которой выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных. И как действительные числа являются частным случаем множества комплексных чисел, так и привчная геометрия Евклида является частным случаем общей геометрической системы.

«Воображаемая геометрия» существенно отличается от привчной геометрии Евклида.

Начнем с того, что сумма углов треугольника в ней всегда меньше 180°; что множество всех точек плоскости, лежащих в одной полуплоскости и равнодаленных от заданной в ней прямой — «базы», — вовсе не прямая, а особая линия, называемая эквидистантор; что через три точки, не лежащие на прямой, можно провести или окружность, или эквидистанту, или промежутную между ними линю — «орицикл».

Рис. 3. Через точку $C$, лежащую вне прямой $AB$, можно, предположил Лобачевский, проведи хотя бы две прямые $a$ и $b$, которые не пересекутся с прямой $AB$ (для наглядности «прямы» $a$ и $b$ изображены здесь в исключенном виде). Точно так же не пересекают прямую $AB$ и прямые $m$, $n$, $p$, проходящие через точку $C$.

Рис. 4. Сумма углов треугольника меньше двух прямых.

Рис. 5. Эквидистанта ortogonalна всем прямым, перpendикularным к ее базе.

Через точку, взятую внутри угла, не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Наконец, в этой геометрине не существует подобных многоугольников.

12

Рис. 6. Орицикл ortogonalен пучку паралельных прямых.

Лобачевский расматривал и геометрию пространства. Вращая окружность, орикл и эквидistantу вокруг из ортогональных им прямы, можно получить в первом случае сферу, во втором — орисферу, в третьем — эквидistantную поверхность, то есть геометрическое место точек пространства, равностоящих от плоскости. Оказалось, что геометрия на сфере совпадает с геометрией эклидовой сферы, геометрия на орисфере совпадает с геометрией эклидовой плоскости, а геометрия на каждой из двух полостей эквидistantной поверхности — того же типа, что и геометрия плоскости Лобачевского.

Лобачевский нашел тригонометрические соотношения в плоских треугольниках в открытою им геометрии. Далее, он показал, что эти соотношения могут быть получены из формул сферического тригонометрики.

Геометрия Лобачевского обладает и другими свойствами, аналогичными сферической геометрии; в частности, площадь треугольника на плоскости Лобачевского выражается через его углы (в радианной мере) по формуле; совпадающей с формулой

$$S = r^2 (A + B + C - \pi)$$

для сферических треугольников, если считать радиус сферы $r$ чисто минимым.

Евклидовый геометрию можно рассматривать как предельный случай либо сферической геометрии, либо геометрии Лобачевского при стремлении $r$ к бесконечности. Более общий характер открытою им геометрии Лобачевский подвергивал и названем «Пангеометрия» — «всеобщая геометрия», которое он дал ей в своей последней работе.

Установив основы новой геометрии и тригонометрические соотношения в треугольниках этой геометрии, Лобачевский ввел в этой геометрию координаты и решил большое число задач аналитической геометрии и задач на вычисление площадей и объемов, с помощью которых он впервые

Рис. 7. Если точка $A$ лежит по другую сторону «прямой», параллельной обеим сторонам угла, то через нее нельзя проверить прямую, пересекающую обе стороны угла.

вычислил цельряд определенных интегралов.

Лобачевский пытается установить эксperиментальное, какая геометрия имеет место в реальном мире — евклидова или «воображаемая». Для этого он вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого были две диаметрально противоположные точки земной орбиты и одна из неподвижных звезд. Найда, что отклонение этих сумм от л не выходит за пределы ошибки наблюдания, Лобачевский приSEL к выводу, что геометрию реализного мира можно считать евклидовой, однако он наделяся, что отклонение суммы углов треугольников от л можно будет обнаружить при рассмотрении космических треугольников больших размеров.

Одновременно с Лобачевским неевклидову геометрию открыли еще несколько математиков. Еще в последних годы XVIII века к идее о неевклидовой геометрии приSEL величий Гаусс, продолжавший записать этиМИ вопросами в течение нескольких десятилетий, но не опубликовавший свои результаты. Несколько позже к геометрию Лобачевского приSEL Янош Бойяи. Он изложил свое открытие в приложении к математическому соиненню отца—Фаркаша Бойяи, — опубликованному в 1832 году. Так как Гаусс не опубликовал своего открытия, а Бойяи опубликовал его позже Лобачевского, приоритет признается за Лобачевским.

13

23 февраля 1826 года на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета тридцатитрехлетний Лобачевский сделал доклад о своем открытии и просил рекомендавать изложенное на французском языке сочинение к опубликованию.

Рис. 8. На каждой из поверхностей такого гиперболона осуществляется геометрия Лобачевского, если расстояние $d$ между точками $A(x_1; y_1, z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ определяется формулой $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2$. Пространство с определенным таким образом расстоянием между точками называется псевдоевклидовым.

Присутствовавшие на заседании не смогли разобраться в работе; была назначена комиссия из трех специальов для детального ознакомления с представлением сочинением. Однако ни адьонкт Николай Дмитриевич Брашман, впоследствии крупный ученый, один из создателей Московского математического общества, ни профессор Алексадр Яковлевич Купфер, ни старый друг и однокашник Николая Ивановича, видный ученый того времени Иван Михайлович Симонов не смогли понять глубочайшего физофского значения новой геометрии. Проходил месяц за месяц, год за годом, отзыва от ученой комиссии не поступало, и бесценная работа была сделана в архив.

Лишь в 1829 году в университетском журнале «Казанский вестник» появилось первое изложение открытия Лобачевского — статья «О началх геометрии». Еще несколько статей и темуаров с изложением основных результатов Лобачевского было опубликовано в 30-х годах. В 1840 году Лобачевский издал в Берлине на немецком языке систематическое изложение своего открытия — книгу «Геометрические исследования по теории параллельных линей». Эта книга была заменена Карлом Фридрихом Гаусссом, «королем математков» того времени. Он был единственным авторитетным человеком в мире, кто мог оценить гениальную открытий Лобачевского — и оценил их — по достоинству.

— Как мне сказал, — пишет Гауссс в 1841 году одному из своих ученников, — труды Казанского университета, написанные на русском языке, содержат массу его сочинений… Много овладело железное прочесть побольшие сочинения этого остроимного математика.

В возрасте 63 лет «король математков» начинает изучать русский язык.

— Я начинаю читать по-русски с некоторой беглостью и извлекаю из этого большее удобствие, — пишет Гауссс.

14

Рис. 9. Интерпретацию Бельтрами—Клейна можно получить, проектируя сферу минимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве из ее центра на касательную к ней плоскость.

По инцициативе Гаусса Лобачевский избран членом-корреспондентом Геттигенского Королевского общества. В Дипломе, присланном в Казань, его называют «одним из превосходнейших математических русского государства». Оdnako и «король математиков» не выступил в печати с публичным признанием заслуг Лобачевского, либо он боялся быть непонятным современниками. При жизни Лобачевского лишь один из его коллег — профессор Казанского университета П. И. Котельников — публично обьявил о большом научном и познавательном значении его открытия.

Признание пришло лишь через несколько лет после смерти Николая Ивановича, благодаря работам Эудженино Бельтрами (Италия) и позднее, Феликса Клейна (Германия) и Анира Пуанкаре (Франция).

В нашем «привычном» евклидовом пространстве Бельтрами нашел так называемые псевдоферические поверхности. На обложке нашего журнала изображена часть такой поверхности. На них осуществляется геометрия Лобачевского и имеет место установленные им зависимость между сторонами и углами геодезического *) треугольника, между радиусом круга и его площадью и т. п.

*) Линия, соединишая две точки некоторой поверхности, называется на ней геодезический, если она представляется собой краток.

Рис. 10. В интерпретации Бельтрами — Клейна всегда плоскость Лобачевского изображается внутриней области круга; прямы изображаются хордами этого круга.

Рис. 11. Интерпретацию Пуанкаре можно получить, проектируя сферу минимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве из одного ее полока на экваторialную плоскость.

чайшее расстояние (по поверхности) между любыми двумя достаточно близкими ее точками.

15

Рис. 12. В интерпретации Пуанкаре всегда плоскость Лобачевского изображается внутриенной области круга; прямые изображаются двумя окружностями, ortogonalными к окружности круга. Все углы сохраняют натуральную величины.

Лобачевский был автором ряда работ в других областях математики. Одни работы были связаны с его геометрией, — например, работа о вычислении определенных интервалов, работа о веряной оценке наблюдаемой при измерении суммы углов треугольника с очень большими сторонами. Другие работы относятся к алгебре и анализу: «Алгебра или исчисление конечных» (1834 г.), «О исчезании тригонометрических строк» (1834 г.), «О сходимости бесконечных рядов» (1841 г.) и др. Лобачевский один из первых дал общее определение функции, формулировал понятие непрерывности и дифференцируемости функции и установил различие между этим понятиями, которые до него часто смешвали.

Но основной заслугой Лобачевского, ценнейшим вкладом в сокровищницу мировой науки является предполнение привченных и интуитивно неопровержимых представлений — отказ от пятого постулата и создание обобщенной геометрии, в котором геометрия Евклида является лишь предельным частным случаем. Тот путь, на котором впервые стал Лобачевский, в значительной степени

Рис. 13. Треугольник в интерпретации Пуанкаре. Ясно видно, что сумма его углов меньше 180°,

определенл лицо современной математики.

— Идеи нашего генциального соотечественника, которые сто лет назад казались недопустимым парадоком, — говорит видный советский геометр профес. П. К. Рашевский, — теперь, широко развиты и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки.

Литература

1. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. М., 1950.
2. Каган В. Ф. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науки. М. — Л., 1948.
3. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М., 1953.
4. Широков П. А. Краткий очер основ геометрии Лобачевского. М., 1955.
5. Яглом И. М. Геометрические преобразования, т. П, М., 1956.
6. Заботин И. П. Лобачевский. М., 1956.
7. Ливанова А. Три судьбы. Постяжение мира. М., 1969.
8. Колесников М. С. Лобачевский. Серия ЖЗЛ. М., 1965.
9. Тарджеманов Д. А. Юность Лобачевского. Казань, 1968.
10. Каган В. Ф., Рыбкин Г. Ф., Лобачевский. Статья в БСЭ, т. 25.
11. Александров А. Д. Геометрия Лобачевского. Статья в БСЭ, т. 25.