Иррациональные неравенства

49

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Е. М. Гершунов

На вступительных экзаменах вузы все чаще предлагаются примеры или задачи, основным или составным элементом которых является неравенство, содержащое неизвестную величины под знаком радикала (ирациональное неравенство). Практика показывает, что у большинства абитриентов решения irrationalных неравенств вызывает затруднения. Причина этого, по-видимому, состоит в том, что школьные программы и учебники по математике не содержат данной темы.

Эта статья не представляет целый осветить все вопросы, относящиеся к решению irrationalных неравенств. Основное внимание здесь уделено решение irrationalных неравенств, содержащих радикалы второй степени.

Предварительно докажем следующую теорему, играющую основную роль при решении irrationalных неравенств.

Теорема. Если $f(x) \geq 0$ и $\partial(x) \geq 0$, то неравенства $f(x) \geq g(x)$ и $[f(x)]^2 \geq [g(x)]^2$ равносильны.

Доказательство. Надо определить знак разности

$$[f(x)]^2 - [g(x)]^2.$$ (1)

Разложим (1) на множители:

$$[f(x)]^2 - [g(x)]^2 = [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)].$$ (2)

Первый множитель в правой части по условию неотрицательен. Если он положитель, то знак разности (1) совпадает со знаком второго множителя в (2), а если $f(x) + g(x) = 0$, то $f(x) = 0$ и $g(x) = 0$, и опять неравенства равносильны.

Легко доказать, что эта теорема остается справедливой, если все знаки нестрогого неравенства $\geq$ заме-

нить на знаки строго неравенства $>$ (проведите доказательство самостояльно).

Пример 1. Решить неравенство

$$\sqrt{4 + 3x - x^2} < 2.$$

Решение. Сначала определим ОД3: $-1 \leq x \leq 4$. Левая часть неравенства неотрицательна, а правая положительная, поэтому возведем обе части в квадрат. Получим равносильную систему неравенств

$$\begin{cases} -1 \leq x \leq 4, \\ 3x - x^2 < 0, \\ -1 \leq x \leq 4, \\ x > 3, x < 0. \end{cases}$$

Ответ: $3 < x \leq 4$, $-1 \leq x < 0$.

Пример 2. Решить неравенство

$$\sqrt{4 + 3x - x^2} > -2.$$

Решение. ОД3 то же самое: $-1 \leq x \leq 4$. Заметим, что в ОД3 левая часть неравенства неотрицательна, а правая — отрицательна, поэтому доказанную теорему нельзя. Но в этом и нет необходимости. Действительно, радикал имеет арифметическое значение, следовательно, любое его значение в ОД3 удовлетворяет данному неравенству. Поэтому ответом является $-1 \leq x \leq 4$.

Пример 3. Решить неравенство

$$\sqrt{x^2 - 5x + 4} < x - 3.$$

Решение. ОД3: $x \geq 4$, $x \leq 1$. Так как правая часть содержит неизвестную величины, то последовательно по рассмотрим два случая:

1. $x - 3 > 0$, $2) x - 3 \leq 0$.

В первом случае воспользуемся

50

доказанной теоремой и получим равноносильную систему
$$\begin{cases} x \geq 4, & x \leq 1, \\ x - 3 > 0, \\ x^2 - 5x + 4 < (x - 3)^2, \end{cases}$$

откуда $4 \leq x < 5$.

Во втором случае исходное неравенство решений не имеет, так как арифметическое значение корня не может быть меньше неположительного числа.

Ответ: $4 \leq x < 5$.

Пример 4. Решить неравенство
$$\sqrt{x^2 - 5x - 24} > x - 2.$$

Решение. ОДЗ: $x \geq 8, x \leq -3$. Расмотрим два случая: 1) $x - 2 \geq 0$, 2) $x - 2 < 0$.

В первом случае правая часть неотрицательна, и, воспользовавшись теоремой, мы получаем систему неравенств
$$\begin{cases} x \geq 8, & x \leq -3, \\ x - 2 \geq 0, \\ x^2 - 5x - 24 > (x - 2)^2, \end{cases}$$

которая решений не имеет.

Во втором случае по определению радикала четной степени исходное неравенство удовлетворяется во всей области допустимых значений. Решая систему
$$\begin{cases} x - 2 < 0, \\ x \geq 8, x \leq -3, \end{cases}$$

находим ответ: $x \leq -3$.

Пример 5. Решить неравенство
$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 1} > \sqrt{x + 3}.$$

Решение. ОДЗ: $x \geq 2$. Так как обе части неравенства положительных, то воспользовавшись основной теоремой, получим равноносильную систему равенств
$$\begin{cases} x \geq 2, \\ 2 \sqrt{(x - 1)(x - 2)} > 6 - x. \end{cases}$$

Эту систему решаем, рассматривая два случая:
$$\begin{cases} x \geq 2, \\ 6 - x \geq 0, \\ 4(x^2 - 3x + 2) > (6 - x)^2, \end{cases}$$

откуда $\sqrt{\frac{28}{3}} < x \leq 6$, и
$$\begin{cases} 6 - x < 0 \\ x \geq 2 \end{cases}$$

откуда $x > 6$.

Ответ: $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$.

Пример 6. Решить неравенство
$$\frac{\sqrt{x^2 - x - 2}}{x^2 + 2x + 3} > 0.$$

Решение. ОДЗ определяется условием существования радикала: $x \geq 2, x \leq -1$. При $x > 2, x < -1$ числитель дроби принимает положительные значения, поэтому переходим к равноносильной системе
$$\begin{cases} x > 2, x < -1, \\ x^2 + 2x + 3 > 0. \end{cases}$$

Второе неравенство системы удовлетворяется при любых действительных значениях $x$, откуда получаем ответ: $x > 2, x < -1$.

Упражнения

Решить неравенства:

1. $\frac{x - 7}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}} < 0$.
2. $x < \sqrt{2 - x}$.
3. $x + 1 > \sqrt{x + 2}$.
4. $\sqrt{4 + 3x - x^2} < x - 1$.
5. $\sqrt{2x^2 - 8x + 7} < x - 2$.
6. $\sqrt{\frac{4}{x^2} - \frac{3}{4}} > \frac{2}{x} - 1$.
7. $\sqrt{2x - 6} + \sqrt{x + 4} > 5$.
8. $\sqrt{\frac{x + 1}{2 - x}} < 3$.
9. $\frac{1 - \sqrt{1 - 8x^2}}{2x} < 1$.
10. $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > 2 - x$.
11. $\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} > 1$.
12. $\frac{2x}{\sqrt{2x + 9}} < \sqrt{2x + 1} - 1$.
13. $(x - 3)\sqrt{x^2 + 4} \leq x^2 - 9$.
14. $\sqrt{x^2 - 16} / |x| - |x - 2| < 0$.