Олимпиада МФТИ • 72

Квант 1972, №12 с. 66-67 Тег BNY3

Традиционная физика-математическая олимпиада Московского физического института в 1972 году проводилась по новой системе. Вместо двух туров, на каждом из которых предлагались задачи и по физике и по математике, проводились отдельно физический и математический туры.

Физический тур одновременно был и Московской городской физической олимпиадой. В олимпиаде участвовали около 1500 школьников города Москвы и Подмосковья. Премяями и грамотами олимпиады отмечено более 100 школьников, решивших не менее пяты задач. Ниже приведятся условия задач.

Задания по математике

1 (8 кл.). Дан квадрат $ABCD$ . На диагонали $AC$ взята точка $M$ . Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $E$ , а прямая, проходящая через $M$ и параллельная $BD$ — в точке $F$ . Доказать, что прямая $FC$ и прямая, проходящая через точку $E$ параллельно диагонали $AC$ , пересекаются на диагонали $BD$ .

2 (8 кл.). На плоскости даны 6 точек. Каждый две из них соединены красным или синим отрезком. Какое наименьшее число треугольников с вершинами в данных точках и стороны одного цвета может при этом быть?

3 (8 кл.). Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ . Доказать, что четырехугольник с вершинами в центрах тяжестии треугольников $ABC, ABD, ACD$ подобен данному.

4 (8 кл.). Для некоторых системы точек на плоскости известно, что для любой пары из них найдется треугольник точки системы также, что угол между отрезками, проведенными из этой точки к первоначальным, меньше 55°. Доказать, что в этой системе нет такой пары точек, расстояние между которых больше расстояния между любой другой парой точек системы.

5 (9—10 кл.). Решить в натуральных числах уравнения:

$3 \cdot 2^x + 1 = y^2.$

6 (9 кл.). Числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ удовлетворяют условия:

$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 1.$

Доказать, что

$(x_1 - x_2)^2 + (x_1 - x_3)^2 + \ldots + (x_1 - x_n)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \ldots + (x_{n-1} - x_n)^2 \leq n.$

7 (9 кл.). Дан 1972-угодник. Расматривают все треугольники с вершинами в вершинах этого многоугольника. Доказать, что каждая точка на плоскости, не лежащая на одной из сторон этих треугольников, покрыта четным числом таких треугольников.

8 (9 кл.). Дан квадрат. Две вершины равностороннего треугольника находится на противоположных сторонах квадрата. Найти геометрическое место третьих вершин таких треугольников.

9 (9 кл.). 10 рабочих должны изготовить 50 изделия. Каждый должен окрашено, а затем смонтировано. Время окраски — 10 мин, времяmontажка — 20 мин, после окраски изделие должно 5 мин. сохранить. Как разделить рабочих на маляров иMontажников, чтобы выполнить задание в кратчайшее время?

10 (10 кл.). В узлах клетчатой бумаги выбрано 5 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Доказать, что из них можно всегда найти две также, что отрезок, соединяющий эти точки, содержит еще по крайней мере один узел.

11 (10 кл.). Если у терраэдра вписанная и описанная сферы концентрины, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Доказать.

12 (10 кл.). Диаметр кругга разделен на $n$ равных частей. На окружности взята точка $M$ . Доказать, что сумма квадратов расстояния от точки $M$ до точки деления (включая и концы диаметра) не зависит от выбора точки $M$ на окружности.

13 (10 кл.). Али-Баба хочет попасть в шееру с сокровищами. Перед пешерой стоит бочка, в крышке которого имеется четырьше отверстия, образующие квадрат. Под отверстиями находится по кувшину, в каждом из которых находится селедка хвостом вверх или вниз. Если хвосты всех селедок направлены в одну сторону, то дверь в пешеру открывается. Али-Баба может просунуть руку в любые два отверстия, определять положение селедок в кувшинах, расположенных под ним, и изменить их положение по своему

Рис. 1.

желанию. После того как Али-Баба вытащит руки из отверстия, бочка быстро поворачивается и оставливается, причем Али-Баба не в состоянии определить нового положения по отношению к старому. Если хвосты сельдок оказываются направленными в одну сторону, то дверь открывается, если нет, то Али-Баба может предприятить следующее попытку. Существует ли способ действия, позволяющий Али-Бабе открыть дверь?

Задание по физике

1 (8 кл.). В системе, изображенной на рисунке 1, данные массы $M$ и $m$ . Какой величины должны быть масса $m_x$ , чтобы груз массы $m$ был неподвижен относительно точки $A$ подвеса всей системы? Треннее не учитывать, блокки и нити неевесомые.

2 (8—9 кл.). Маленький кубик массы $m$ налетает со скоростью $v$ на тело массы $M$ , стоящее на гладкой горизонтальной поверхности, и скользит по стенке тела без трения. Степка имеет форму полукругга радиуса $R$ (рис. 2). Кубик доступ точки $A$ . На эти скорости кубика и тела в этот момент.

3 (8 кл.). На черном ящике имеются три клеммы. Если к клеммам $A$ и $B$ приложить напряжение $U$ , то с клемм $B$ и $C$ приложить напряжение $U$ , то с клемм $A$ и $C$ приложение 0,75 $U$ . Предложите схему черного ящика. Какое напряжение будет на клеммах $A$ и $B$ , если к клеммам $B$ и $C$ приложить напряжение $U$ ?

4 (9 кл.). Шарик массы $m$ подвешен на нити длины $l$ . С какой скоростью $v$ нужно потянуть точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный оборот в вертикальной плоскости?

5 (9—10 кл.). Имеется очень маленькая неподвижная наклонная плоскость с углом $\alpha$ . На нее налетают горизонтальное два шарика: сначала первый, который открывает упруго, а затем второй, который открывает неупруго. При каком угле $\alpha$ шарики улетят на одинаковое расстояние?

6 (9—10 кл.). Параллельно бесконечной проводящей плоскости расположены две проводящие площадки — одна площадью $S_1$ на расстоянии $d_1$ от плоскости, вторая площадью $S_2$ на расстоянии $d_2$ от плоскости. Найти емусть между пластнами.

7 (10 кл.). Имеется схема, изображенная на рисунке 3. К точкам $A$ и $B$ приложены переменное напряжение 127 $\theta$ . Какое напряжение между точками $M$ и $N$ ?

8 (10 кл.). Имеется соленoid, по обмотке которого течение ток, созданной внутри магнитное поле индукции $B$ (рис. 4). Площадь сечения соленода $S$ . Перpendicularно к оси соленода $AE$ расположена нить $ND$ . По нити может скользить без трения маленький шарик массы $m$ , имеющий заряд $e$ . Первоначально шарик находится в покое в точке $C$ такой, что $AC \perp ND$ , $AC \perp AE$ . Расстояние $AC$ равно $r$ . Ток в солениде выключают. Какую скорость прибретает шарик после выключения тока, если его смещением во время выключения претенбреть?