О некоторых иррациональных уравнениях

51

О некоторых irrationalных уравнений

В. М. Розентуллер

Приемы решения irrationalных уравнений подробно разбирались в статье А. М. Григорьева «Иrrationalные уравнения» («Квант» № 1, 1972). Но общий пример не всегда является наилучшим. В этой статье на трех примерах демонстрируется один метод, позволяющий быстро и «красиво» решать неокторые (на самом деле не только irrationalные) уравнения.

Пример 1. Решить уравнение:

$$\sqrt{x - 30} + \sqrt{2x + 4} = 8.$$

Решение. ОДЗ определяется системой неравенств

$$\begin{cases} x - 30 \geq 0, \\ 2x + 4 \geq 0, \end{cases}$$

откуда

$$x \geq 30.$$

Далее можно действовать так. Возведем обе части в квадрат, получим:

$$x - 30 + 2x + 4 + 2\sqrt{2x^2 - 56x - 120} = 64,$$

$$2\sqrt{2x^2 - 56x - 120} = 90 - 3x.$$

Нам снова предстоит возвести обе части этого уравнения в квадрат*):

$$8x^2 - 224x - 480 = 8100 - 540x + 9x^2,$$

$$x^2 - 316x + 8580 = 0,$$

$$x_{1,2} = 158 \pm \sqrt{158^2 - 8580} = 158 \pm \sqrt{16884} = 158 \pm 128;$$

$$x_1 = 286, x_2 = 30.$$

*) В данном случае уже из последнего уравнения видно, что $x \leq 30$, и надо проверить лишь $x = 30$, но это случайность.

Проверка показывает, что $x_1 = 286$ — построенный корень, а $x_2$ удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: $x = 30$.

Уравнение мы решили, это потребовало двукратного возвведения в квадрат и проверки корней. Нет ли более простого решения?

Мы уже определили ОДЗ: $x \geq 30$. Нельзя ли при решении данного уравнения сразу этим воспользоваться? Попробуем.

ОДЗ допускает: $x = 30$ и $x > 30$. Проверим $x = 30$. Подставим значение $x = 30$ в данное уравнение:

$$\sqrt{30 - 30} + \sqrt{60 + 4} = 8,$$

$$0 + 8 = 8,$$

$$8 = 8.$$

Получили тожество. Следовательно, $x = 30$ является корнем данного уравнения. Тепер остается проверить $x > 30$.

При $x > 30$ имеем $\sqrt{x - 30} > 0,$

$$\sqrt{2x + 4} > 8,$$

откуда

$$\sqrt{x - 30} + \sqrt{2x + 4} > 8.$$

Следовательно, любое $x > 30$ не удовлетворяет уравнению. Остается единственный ответ: $x = 30$.

Пример 2. Решить уравнение:

$$5\sqrt{2x - 24} + 3\sqrt{5x - 59} + \sqrt{x - 8} + \sqrt{3x - 20} + \sqrt{x + 13} + 2\sqrt{x + 24} = 26.$$

Решение. ОДЗ определяется

52

системой неравенств:

$$\begin{cases} x \geq 12, \\ x \geq 11,8, \\ x \geq 8, \\ x \geq 6\frac{2}{3}, \\ x \geq -13, \\ x \geq -24, \end{cases}$$

откуда $x \geq 12$.

Таким образом, ОДЗ допускает: $x=12$ и $x>12$.

Проверим $x=12$: $5\sqrt{24-24} + 3\sqrt{60-59} + \sqrt{12-8} + \sqrt{36-20} + \sqrt{12+13} + 2\sqrt{12+24} = 0 + 3 + 2 + 4 + 5 + 12 = 26$.

Получили тожество. Следовательно, $x=12$ является корнем уравнения.

Тепер проверим $x>12$:

$$5\sqrt{2x-24} > 0,$$

$$3\sqrt{5x-59} > 3,$$

$$\sqrt{x-8} > 2,$$

$$\sqrt{3x-20} > 4,$$

$$\sqrt{x+13} > 5,$$

$$2\sqrt{x+24} > 12.$$

Отсюда $5\sqrt{2x-24} + 3\sqrt{5x-59} + \sqrt{x-8} + \sqrt{3x-20} + \sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+24} > 26,$

что противоречит условию задачи. Остается единственный ответ: $x=12$.

Пример 3. Решить уравнение:

$$\sqrt{x(x+1)} = \sqrt{x+3} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}.$$

Решение. Сгруппируем члены уравнения так:

$$\sqrt{x^2+x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{x+3}.$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2+x+1 + \frac{1}{x^2} +$$

$$+ 2\sqrt{(x^2+x)\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = x+3,$$

$$2\sqrt{x^2+x+1 + \frac{1}{x}} = x+3 - x^2 - x - 1 - \frac{1}{x^2},$$

$$2\sqrt{x^2+x+1 + \frac{1}{x}} = 2 - \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right).$$

Известно, что $x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2$, но $\sqrt{x^2+x+1 + \frac{1}{x}} \geq 0$, поэтому $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$ и $\sqrt{x^2+x+1 + \frac{1}{x}} = 0$.

Первое равенство возможно, когда $x^2=1$, откуда $x_1=1; x_2=-1$, а второе $\sqrt{x^2+x+1 + \frac{1}{x}} = 0$ тогда, когда $x=-1$. Проверка показывает, что $x=-1$ является корнем уравнения.

Ответ на кроссворд (см. 4-ю стр. обложки)

По горизонтали:

8. Фарада. 9. Апогей. 10. Сдвиг. 11. Частота. 12. Гаусс. 15. Инерция. 16. Диаметр. 18. Эбонит, 19. Бор. 20. Будкер. 23. Отрезок. 25. Кельвин. 28. Квант. 29. Калория. 30. Фотон. 33. Работа. 34. Нуклон.

По вертикали:

1. Дирак. 2. Кулон. 3. Спектр. 4. Катон. 5. Ванадий. 6. Маятник. 7. Декарт. 13. Архимед. 14. Импульс. 17. Бср. 21. Токамак. 22. Мединана. 24. Тантал. 26. Изотоп. 27. Лоренц. 31. Фотон. 32. Якоби.