III математическая олимпиада МЭСИ

65

III математическая олимпиада МЭСИ

Московский экономик-statisticческий институт, отметивший в этом году свое 40-летие, в настоящее время занимает ведущие положение в стране по подготовке специальностей по математических методов в экономике. Вот почему математика играет для поступающих в МЭСИ особо важную роль.

Третий год МЭСИ проводит математическое олимпиаду для школьников.

Олимпиада проводится в 2 тура: I тур — заочный и II тур — очный.

К участию во II очном тура, который будет проводиться в МЭСИ, будет допущены школьники, успешно сравнившиеся с задачами I тура и приславшие решения не позднее 25 января 1973 года (по штемпелю почты). Каждый участник олимпиады, допущенный ко II тру, будет оповещен по указанному им адресу. Успех в олимпиаде будет учтены при поступлении в институт.

Решение задач (всех или части из них) должно быть выполнено на русском языке в ученческой терради. Наш адрес: Москва 119435, Б. Саввинский пер., 14, «Олимпиада».

Задание I тура

1. Вычислить
   $$\frac{100}{99} + \frac{100.98}{99.97} + \frac{100.98.96}{99.97.95} + \cdots + \frac{100.98\cdots4.2}{99.97\cdots3.1}.$$

2. Найти наименьший корень уравнения
   $$2^{|x+2|} - |2^{x+1} - 1| = 2^{x+1} + 1.$$

3. Вычислить без таблиц
   $$tg 5^\circ tg 55^\circ tg 65^\circ tg 75^\circ.$$

4. На трех сторонах треугольника ABC взяты точки D, E и F. Через точки A, B и C проведены прямые, параллельные сторонам треугольника DEF и образующие треугольник D’E’F’. Найти площадь треугольника ABC, если площадь треугольников DEF и D’E’F’ равны соответственно 20 и 45 квадратным единицам.

5. Найти объем общей части двух правильных треугольных парамид, если известно, что верхина каждой из них лежит в центре основания другой парамид, каждое боковое ребро одной парамиды пересекается с одним ребром другой парамиды, общая высота парамид образует с боковыми ребрами одной парамиды углы, равные π/3, а с боковыми ребрами другой парамиды углы, равные π/6, боковое ребро первой парамиды равно 4√3.

И. Г. Венецкий, Ю. И. Соркин