50 занимательных задач

61

50 ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Под новый, 1972-й год издательство «Наука» преподнесло всем любителем математики прекрасный подарок — перевод книги извесного американского математика Ф. Мостеллера «Пятьдесят Занимательных вероятностных задач с решением» (тираж 200 000 экз., цена 26 коп.). На самом деле в книге содержится 57 задач, 50 из которых решаются, а 7 — обсуждаются.

Что такое теория вероятностей, по-видимому, интересует многих наших читателей. Конечно, можно взять какой-нибудь учебник*) и прочитать его. Оdnako нельзя изучать теории, не решая задач. С другой стороны, решая задачи, изучить теории можно; передко в учебниках целые разделы теории излагаются в виде задач. В предисловии Ф. Мостеллер пишет:

«…Большей частью своего математического образования я обязан решению различных задач. С годами мне все труднее становится отделить серверные занятия от решения, казалось бы, «игрушечных» задач. Очень часто элементарные задачи охазывались чрезвычайнослезными при решении серверных проблем».
Задачи в книге Ф. Мостеллера в большинстве напомниют «Задачник «Квантта». И, как и в «Квантте», решения каждой задачи — это небольшая заметка. Задачи самые

*) Наритер, Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас. «Вероятность», «Мир», 1969, или Ф. Феллер. «Введение в теории вероятностей и ее приложения», т. 1, ИЛ, 1952; т. 2, «Мир», 1967.

разные, их решения охватывают многое разделы теории, а иногда и выходит за ее пределы. Вот, например, задача 56

Две урны

Две урны содержат одно и то же количество шаров, несколько черных и несколько белых каждая. Из них извлекаются $n$ ($n \geq 3$) шаров с возвращением. Найти число $n$ и содержимое обеих урн, если вероятность того, что все белые шары извлекаются из первой урны, равна вероятности того, что из второй извлекаемых либо все белые, либо черные шары.

Если вы в ней разберетесь, то заметите, что это — вероятностная постановка Великий теоремы Ферма (см. «Квантте» № 8, 1972); в книге эта задача лишь обсуждается. Есть и вовсе не задачи, а психологические тесты:

Quo Vadis *)

Двое незнакомых людей, договорившись о том, как узнать друг друга, должны встреться в определенный день и час в Нью-Йорке, города, которое они оба не знают. Оdnako они заблились наначать место встречи. Куда им следует направиться, если они все же попытаются встреться?**)

Оdnako большинство задач относится к теории вероятностей. Вот некоторые из них.

*) Куда идешь? (лат.).
**) Для решения задачи нужно, конечно, знакомство с наиболее часто посещаемыми местами Нью-Йорка.

Легкомысленный член жюри

В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принято правильно решение с вероятностью $p$, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью $p$. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Трехсторонняя дуэль

А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для C — 0,5, а В стреляет без промаха. Дузляты могут стрелять в любую позицию по выбору. Первым стреляет A, затем B, далее C и т. д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется нередным. Какой должа быть стратегия A?

Как видите, задачи весма интересны. Если вы не суммеете их решить — не отчаивайтесь. Решения, приведенные в книге, не менее интересны, чем сами задачи.

А. Н. Виленкин, Л. Г. Лиманов