Гидростатика

53

ГИДРОСТАТИКА

Л. Г. Аспамазов

Жидкость оказывает давление на стенки сосуда, в котором она находится, или на любую другую поверхность, соприкасающийся с ней. Давление — величины скалярная. Она изменяется абсолотной величины силы, действующей со стороны жидкости на единицу площади поверхности:

$$p = F/S$$

(рис. 1). Давление в различных точках поверхности может быть разным. Поэтому площадь S мы должны быть достаточно маленькой.

По закону Паскала давление жидкости не зависит от ориентации поверхности. Как бы ни была расположена поверхности в данном месте жидкости, давление на нее будет одним и тем же.

Сила давления всегда перpendicularна поверхности. В обычных условиях она направлена так, как если бы жидкость стремилась расширяться.

Задча 1. В сосуд, имеющий форму куба с ребром a, налима доверху жидкость плотности p. Определить силы давления жидкости на дно и на стенки сосуда.

Давление жидкости на дно сосуда равно весу столбца жидкости высотой a с площадью основания, равной единице (рис. 2): $p_1 = \rho g a$, где g —ускорение свободного падения (для простоты здесь и в других задачах, где это специально не оговорено, предполагается, что атмосферное давление отсутствует). Сила давления на дно сосуда

$$F_1 = p_1 S = \rho g a^3.$$

Давление на боковой гранькуба будет зависит от расстояния до поверхности жидкости. На глубине h давление $p = \rho g h$. Так как давление изменяется с глубиной по линейному закону, то для определения силы давления мы должны среднее давление

$$p_{cp} = \frac{\rho g a + 0}{2} = \frac{\rho g a}{2}$$

умножить на площадь боковой грани:

$$F_2 = \frac{\rho g a^3}{2}.$$

Задча 2. В цилиндрической сосуд с диаметром D=0,2 м вставлен поршень с длиной вертикальной прубкой диаметра d=0,05 м (рис. 3). Максимальная сила третий месу поршнем и стенками сосуда $F_{tp} = 100$ н. Через третий месу сосуд наиваются body. Определить, при каком уровне воды в третий H поршень начинается. Чему будет равна при

Рис. 1. Рис. 2.

54

этом сила давления воды на дно сосуда? Поршень расположен на высоте $h=0,2$ м от дна сосуда. Плотность воды $\rho=10^3 \frac{\kappa_2}{m^3}$. Массой поршня с трьобой пренебречь.

Давление в жидкости на уровень нижней поверхности поршня определяется расстоянием от этого уровня до свободной поверхности жидкости: $p_1=\rho g(H-h)$. Поршень начинает двигаться, когда сила давления на него со стороны жидкости станет равной максимальной силы треня: $p_1(S-s)=F_{\text{tp}}$, где $S=\pi D^2/4$ и $s=\pi d^2/4$ — площади поперечных сечений сосуда и трьби соответственно. Подставляя сюда выражение для $p_1$, находим:

$$H=h+\frac{4F_{\text{tp}}}{\pi\rho g(D^2-d^2)}=0,5\text{ м.}$$

Давление на дно сосуда $p_2=\rho g H$. Сила давления

$$F=p_2S=\rho g H \frac{\pi D^2}{4}=$$

$$=\frac{\pi}{4}\rho ghD^2+\frac{F_{\text{tp}}D^2}{D^2-d^2}\approx 160\text{ м.}$$

Задча 3. Длина вертикальная пруба с поршнем опущена одним концом в сосуде (рис. 4). Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно поднимают. Как заисит сила, прикладываемая к поршню, от высоты $h$ его подняться? Площадь поперечного сечения прубы $S$, аммосферное давление $p_0$. Изменением уровня воды в сосуде, массой поршня и его тренем о стенки прубы пренебречь.

При поднятии поршня вода под действием atmospheric давления будет началле заполнять трубу (рис. 4, а). Давление в трубе на уровне жидкости в сосуде равно atmospheric давление $p_0$. Давление воды на поршень меньше atmospheric на величины веса столбца жидкости высотой $h$ и площадью основания, равной единице: $p=p_0-\rho gh$. Сверху на поршень попрежнему действует atmospheric давление. Поэтому для удержания поршня на высоте $h$ к нему надо приложить силу $F=(p_0-p)S=\rho ghS$, направленную вверх.

С увеличением $h$ давление воды на поршень $p$ будет уменьшаться. На высоте $h_0=p_0/\rho g\approx 10\text{ м}$ ($p_0=1\frac{\kappa\Gamma}{cm^2}=9,8\cdot 10^4\frac{\text{H}}{m^2}$) давление обратится в нуль. При дальнейшем поднятии поршня (рис. 4, б) уровень воды

56

ней жидкость в коленах трубки. На рис. 7 на основе зависимость давления в обих коленах трубки от высоты. Плотность ртути $\rho_{pT}=1,36 \cdot 10^4$ ке/м$^3$, плотность воды $\rho_B=10^3$ ке/м$^3$. Аммосферное давление не учитываем.

Давление на руть на уровне $h_0$ соприкосовения воды и ртути (рис. 7) в обих коленах должны быть одинаковыми (закон сообщающся соудов для однородной жидкости). Поэтому $\rho_B g l=\rho_{pT} g(l-\Delta h)$, где разность уровней $h_2-h_1$ обозначаена через $\Delta h$. Отсюда $\Delta h=(\rho_{pT}-\rho_B) l/\rho_{pT} \approx 0,09$ м.

Давление в колене, содержащем только ртуть, меняется с высотой $h$ по закону $p_1=\rho_{pT} g(h_1-h)$. Эта формула справедлива и в изогнутой части трубки. (Представьте себе, что изогнутое колено сообщается с прямым цилиндрическим сосудом, в котором тоже находится ртуть; тогда давления на одинаковой высоте в обих сосудах должны быть равны.)

В другом колене в области $h_0<h<h_2$, где находим только вода, давление $p_2=\rho_B g(h_2-h)$. Ниже уровня $h_0$ зависит давления от высоты дается той же формулой, что и в первом колене: $p_1=\rho_B g l+\rho_{pT} g(h_0-h)=\rho_{pT} g(h_1-h)$.

Зависимость давления в коленах трубки от высоты изображена графически на рисунке 7. Как видно, выше уровня $h_0$ давления на одинаковой высоте разные.

На тело, погруженное в жидкость, как известно, действует выталкивающая сила. Эта сила является равновесийной силдавления жидкости на тело. Найдем, например, выталкивающую силу, действующую на кубик с ребром $a$, целиком погруженный в жидкость плотности $\rho$. Сила давления со стороны жидкости на верхнюю грань кубика равна $F_1=\rho g h^2$, где $h$ — расстояние от этой грани до поверхности жидкости (для простоты мы считаем, что плоскость верхней грани кубика параллельна поверхности жидкости). На нижнюю грань кубика действует сила $F_2=\rho g(h+a) a^2$. Сила давления на боковые грани кубика уравновешивают

Рис. 8.

друг друга. Равноведействующая силдавления, то есть выталкивающая сила, равна $F=F_2-F_1=\rho g a^3$ и направлена вертикально вверх. Мы получили закон Архимеда: выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкости.

В обшем случае закон Архимеда можно доказать с помощью принципиального дерева. Мы следенно заменим погруженное тело жидкости (рис. 8). Очевидно, что эта жидкость находится в равновесии. Следовательно, сила тяжести $P$, действующая на нее, уравновешена силидавления со стороны окружающего жидкости. Если теперь представить себе, что выделенная нами часть ответела, то равновесие оставшейся части не нарушится, и поэтому не изменяется силидавления на ответевшую жидкость. Равноведействующая этих сил $F$ будет по-прежнему равна силе тяжести $P$.

При доказательстве мы считали, что тело целиком погружено в жидкость. Однако аналогичные рассудения легко проверены и в случае, когда только часть тела находится в жидкости (проделяйте это сами). И мы опять получим, что выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкости: $F=\rho g V$, где $\rho$ — плотность жидкости, $V$ — объем погруженной в жидкость части тела, $g$ — ускорение свободного падения.

57

Задача 5. На дне водоема установлена П-образная конструция из трех одинаковых балок, соединенных между собой (рис. 9). Как зависит сила давления этой конструции на дно от уровня воды в водоеме? Расстояние два случая: 1) вода подмекаем под опоры; 2) опоры плотно соприкасаются с дном. Балки имейом квадратное сечение со стороной квадрата a; длина балки l=2a. Плотность матерцала балок ρ₀, плотность воды ρ.

Сила давления на дно N определяется разностью силия тяжестей конструкции P=6ρ₀ga³ и выталкивающей силы F. В первом случае, когда вода подтекает под опоры (например, если дно водоема покрыто галькой — рисунок 9, а), справедливзакон Архимеда. Зависимость выталкивающей силы от высоты уровня воды h дается формулами: F=2ρgha² при h≤a, F=2ρga³+4ρga²(h-a) при a≤h≤2a, F=6ρga³ при h≥2a. Соответствующий график для силии N изобравен на рисунке 9, в (он обозначен цифрой 1).

Во втором случае отсутствует давление воды на опоры сизу (рис. 9, б), и пользоваться законом Архимеда уже нельзя. Для определения силии F необходимо найти равнойствующее сил давления: F=0 при h≤a, F=2ρga²(h-a) при a≤h≤2a, F=2ρga²(h-a)-4ρga²(h-2a) при h≥2a. Посленее выражение обращается в нуль при h=3 a и при бóльших h становится отрицательным. Это означает, что при h>3 a силия давления не выталкивают конструкцию из воды, а, наоборот, прижимают ее к дну. Зависимость силия давления N на дно от высоты уровня воды h показана на втором графике рисунка 9, в.

58

Часть поверхности верхней грани кубика, «заключенную» в трубку, не действует давление воды: $F = \rho g a^3 + \rho g h S$, где $S = \pi d^2/4$ — площадь сечения трубки. Таким образом, сила тяжести грузика $P = F - P_0 = (\rho - \rho_0) g a^3 + \pi g h d^2/4 \approx 12 \text{ h}$. Масса грузика $m = P/g \approx 1,2 \text{ kg}$.

Выталкивающий силу, действующее на кубик, можно найти и другим способом. Расстоярим кубик с трубкой как единое тело, вытесяющее объем воды $V = a^3 + Sh$. Тогда по закону Архимеда на кубик с трубкой действует выталкивающая сила $F = \rho g V = \rho g a^3 + \rho g h S$, которая равна выталкивающей силы, действующей на кубик, так как равноведуюшая сил давления воды на трубку равна нулю.

Задача 7. Смальной кубик плоности $\rho_0 = 7,8 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3$ плаваем на границе ртути с водой (рис. 11). Определите, какая часть его объема находится в ртути. Плоностить ртути $\rho_1 = 1,36 \cdot 10^4 \text{ kg/m}^3$, плоностить воды $\rho_2 = 10^3 \text{ kg/m}^3$.

Давление на нижнюю грань кубика $p_2$ больше давления на его верхнюю грань $p_1$ на величины силы тяжести, действующей на столб ptrути высотой $x$ и столб воды высотой $a - x$, имеющих единичное сечение: $p_2 = p_1 + \rho_1 g x + \rho_2 g (a - x)$, где $x$ — глубина погружения кубика в ptrуть. Поэтому выталкивающая сила $F = (p_2 - p_1) S = [\rho_1 g x + \rho_2 g (a - x)] a^2$. Из этой формулы видно, что выталкивая сила, как и следовало ожидать, равна сумме сил тяжести вытесяющих жидкости. Для тела произвольной формы это утверждение можно доказать, воспользоваться принципом ответведения.

Кубик будет плавать, если выталкивающая сила равна действующей на него силы тяжести $P = \rho_0 g a^3$. Из условия равенства сил $F$ и $P$ находится: $\frac{x}{a} = \frac{\rho_0 - \rho_2}{\rho_1 - \rho_2} \approx 0,54$. Таким образом, в ptrути находится 0,54 часть объема кубика.

Изучим теперь равновесие жидкости в сосуда, движущемся сускорением. По II закону Ньютона в этом случае векторная сумма всех сил, действующих на любой выделенный элемент жидкости, должна равнять ma, где m — масса выделенной жидкости, a —ускорение сосуда. Но на выделенный элемент жидкости действуют силы и силы давления со стороны окружающей жидкости. Их равноведуюшая и должны быть равна ma.

Задача 8. Сосуд с жидкостью плоности $\rho$ nadaем сускорением a. Определите давление жидкости на лубbine h и силу давления на дно сосуда. Высота уровня воды в сосуда H, площадь дна сосуда S.

Выделим столбик жидкости высоты h с площадью основания s (рис. 12). На него действуют силы тяжести $P = \rho g h$ и сила давления ps, направленная вверх. Равноведуюшая этих с помощьюускорение столбика. По II закону Ньютона: ma = $\rho g h$ —.ps, где m = $\rho h$ — масса столбика. Для давления p на глубине h отсюда находится p = $\rho(g - a)h$. Сила давления на дно сосуда F = $\rho(g - a)HS$ будет тем меньше, чем большеускорение сосуда a. При a = g (свободное падение) сила давления жидкости обращается в нуль — наступает составное неевесомости. При a > g жидкость будет свободно падать сускорением g, а сосуд — с большимускорением, и вода вытечет из сосуда.

Задача 9. На дне сосуда с жидкостью лесим тело. Может ли

59

тело всплыть, если сосуд наимен двуаемся вверх с ускорением? Определите силу давления тела на дно сосуда, если ускорение сосуда равно a, плотность жидкости $\rho_0$, плотность тела $\rho$, его объем V.

На тело, лежащое на дне сосуда, действуют силы тяжестии $P$, сила реакции дня $N$ и выталкивающая сила $F$ (рис. 13). Если сосуд поконтся, то сумма этих сил равняется нулю. При движении сосуда с ускорением a вверх по II закону Ньютона имеем: $ma = N + F - mg$, где $m$ — масса тела.

Определим выталкивающую силу $F$. Аналогично решению предыдущей задачи легко получить, что при ускоренном движении сосуда вверх давление на глубине $h$ дает формулой: $p = \rho(g + a)h$, то есть давление в $(g + a)/g$ раз больше, чем в неподвижном сосуде. Соответствие будет больше и выталкивающая сила:

$$F = m_0 g \frac{g + a}{g} = m_0 (g + a),$$

где $m_0 = \rho_0 V$ — масса вытесенной телом воды. Подставляя это выражение в формулу II закона Ньютона, для силы реакции дня $N$ получаем: $N = (m - m_0)(g + a)$.

Легко видеть, что в сосуд, движущемся с ускорением вверх, сила реакции дня всегда больше, чем в неподвижном. Поэтому тело не только не всплывает, а наоборот, сильнее прижимается ко дну.

Задача 10. Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением a. Определить форму поверхности жидкости в сосуде.

Выделим горизонтальный столбик жидкости длиной $l$ и площадью поперечного сечения $s$ (рис. 14). По II закону Ньютона $ma = (p_1 - p_2)s$, где $m = \rho ls$ — масса столбика, $p_1$ и $p_2$ — давления на него слева и справа. Давление на глубине $h$ определяется по общий формуле: $p = \rho gh$ (по вертикали ускорения нет). Подставляя выражения для $m$ и $p$ в уравнение II закона Ньютона, получаем $al = (h_1 - h_2)g$, или $\frac{h_1 - h_2}{l} = \frac{a}{g}$. Но $\Delta h = h_1 - h_2$ — это разность высот точки поверхности жидкости. Мы получаем, что поверхность жидкости — плоскость, наклоненная к горизонту под углом $\alpha$, причем $tg\alpha = a/g$.

Заметим, что давление жидкости на данной высоте здесь не одно и то же. Линия равного давления параллельны поверхности жидкости. Если ввести расстояние $h'$ от точки до поверхности жидкости, то давление в этой точке $p = \rho gh = \rho gh'/\cos \alpha = \rho h' \sqrt{g^2 + a^2}$. Поэтому можно сказать, что ускоренное движение сосуда эквивалентно замене ускорения свободного давления $g$ на величины $g' = g - a$ (рис. 14). Это утверждение в равной степени относится к предыдущим двум задачам.

Упражнения

1. Три сосуда, имеющие формы цилиндра, усеченного конуса и перевернутого усеченного конуса с одинаковыми площадями оснований и с равными объемами, доверху наполнены воды. Как соотносятся между собой силы давления воды на дно сосуд? Почему, если любые два сосуда поставить на чашки весов, то они уравновесят друг друга?