Задачи М176—М180; Ф188—Ф192

34

Решения задач этого номера можно посылать не позднее 1 февраля 1973 года по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач Вы посылаете, например: «Задачик «Кванта» М176» или «…Ф198».

Решения задач по каждому из предметов — математике и физике, — а также новые задачи просылать в отдельных конвертах.

Оргинальные задачи, предлагаемые для публикации, присылайте вместе с Вашими решениями этих задач (на конверте помещите «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

Значком * отмещены более трудные задачи.

Задачи

M176. К какой стороны треугольника ABC близке всего расположена точка пересечения его высот, если $A < B < C$? А к какой вершине?

Л. Шнайдер, ученца 9 класса

M177. Найдите все решения уравнения

$$\sqrt[n]{x^n - a^n} + \sqrt[n]{2a^n - x^n} = a,$$

где $a$ — заданное вещественное число, $n$ — натуральное число, большее единицы.

T. Темиров

M178. Опустим из любой точки $P$ bicсектрисы угла $A$ треугольника ABC перpendикulares $PA_1, PB_1, PC_1$ на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть $R$ — точка пересечения прямых $PA_1$ и $B_1C_1$. Доказите, что прямая $AR$ делит сторону BC пополам.

M179. Для каждой не прямого треугольника $T$ обозначим через $T_1 = H(T)$ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника $T_1$; через $T_2 = H(T_1)$ — треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника $T_1$; пусть далее $T_3 = H(T_2)$; $T_4 = H(T_3)$, …

Какими должны быть углы треугольника $T$, чтобы

a) треугольник $H(T)$ был остроугольным?

b) в последовательности $T_1, T_2, T_3$, … встретился прямой треугольник $T_n$ (в этом случае $H(T_n) = T_{n+1}$ не определено)?

b) треугольник $T_3 = H(H(T))$ был подобен треугольнику $T$?

г)* Для каждой $n=1, 2, 3, ...$ укажите, сколько существует не подобных друг друг треугольников $T$, для которых $T_n$ подобен $T$.

H. В. Васильев

M180*. Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число $n$, а другой задает вопросы типа «верно ли, что $n \geq x$» (x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Какой возможный стратегии $T$ второго играса способствует функцию $f_T(n)$, равную числу вопросов (до отладивания), если было задумано число $n$.