Проверь себя

37

А. Земляков

Проверя себя

Ниже мы публикуем вопросы, предлагавшиеся на ресспубликанском.type Весоизной математической оптимизации школьников в 1979 году. На каждой вопросе нужно выбрать единственный правильный ответ.

VIII класс

Алгебра

1. Какое из указанных неравенств задает множество, показанное на рисунке 1 штриховкой?

Рис. 1.

А) $y \leq x - 1$; Б) $y \geq x - 1$; В) $y \leq 1 - x$; Г) $y \geq 1 - x$; Д) $y \leq x + 1$.

2. Используя практические примыты приближенных вычислений, найти разность $x - y$ чисел $x \approx 13,6517$ и $y \approx 10,4$.

A) 3,2517; Б) 3,25; В) 3,2; Г) 3,3; Д) нужное значение не указано.

3. Какой формулой задается функция, обратная к функции $y = \frac{2}{x}$?

A) $y = \frac{x}{2}$; Б) $y = \frac{2}{x}$;

В) $y = 2x$; Г) $y = -\frac{2}{x}$;

Д) $y = -\frac{x}{2}$.

4. При каких значениях $a$ верно равенство $\sqrt{a^2} = -a$?

A) при всех $a$; Б) при $a \geq 0$; В) при $a \leq 0$;

Г) при $a = 0$; Д) ни при каких значениях $a$.

5. При каких значениях $x$ верно равенство $x - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{x}$?

A) при всех $x$; Б) при $x \neq 0$; В) при $x > 0$; Г) при $x = 1$; Д) ни при каких значениях $x$.

6. На рисунке 2 изображены эскизы графиков трех показательных функций $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$. Каковы соответствия между основаниями $a$, $b$ и $c$?

Рис. 2.

A) $c < a < b$; Б) $b < a < c$; В) $a < b < c$; Г) $c < b < a$; Д) $a < c < b$.

Геометрия

7. Определите знаки значений функций $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ для угла $\alpha = -1979^\circ$.

A) $\cos \alpha > 0$, $\sin \alpha > 0$; Б) $\cos \alpha > 0$, $\sin \alpha < 0$; В) $\cos \alpha < 0$, $\sin \alpha > 0$; Г) $\cos \alpha < 0$, $\sin \alpha < 0$; Д) определить нельзя.

8. Каким соответствием связанны длины сторона $a$ и $c$ прямогоного треугольника $ABC$ с острым углом $\hat{A} = \alpha$ (рис. 3)?

Рис. 3.

A) $c = a \cos \alpha$; Б) $c = \frac{a}{\cos \alpha}$; В) $c = a \sin \alpha$; Г) $c = \frac{a}{\sin \alpha}$; Д) $c = a \mathrm{tg} \alpha$.

9. Длины трех сторонам треугольника равны 1, 3 и 5. Каков вид такого треугольника?

A) остроугольный; Б) прямогоный; В) тупоугольный; Г) по длине.

Рис. 5.

37

38

A) при $x \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$; B) при $x \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$; B) при $x \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$; $\Gamma$ при $x \in \{x_2, x_3\}$.
5. Какую производную имеет функция $f(x) = (x^5 + 1)^6$?
A) $6(x^5 + 1)^5$; B) $5x^4 \times (x^5 + 1)^5$; B) $30x^4(x^5 + 1)^5$; $\Gamma)$ $(5x^4)^6$; $\Delta)$ $6(5x^4)^5$.
6. На рисунке 6 изображен график неокторной квадратной функции. Какой из расположенных под ним графиков A), B), B), $\Gamma$?

Рис. 6.
может являться графиком производной этой функции?
$\Delta)$ ни один из графиков не подходит.

Геометрия
7. Прямая $a$ скрещивается с прямой $b$, прямая $b$ скрещивается с прямой $c$. Каково может быть взаимное расположение прямых $a$ и $c$?
A) обязательно скрещиваются; B) обязательно параллельны; B) обязательно пересекаются; $\Gamma)$ либо скрещивается, либо параллельны; $\Delta)$ могут скрещивать, пересекаться, быть параллельными.
8. На поверхности параллельпеда взяты точки $A, B, C, D$, как показано на рисунке 7 ($A, B, C$ — вершины, $D$ — середина ребра). Каково взаимное расположение в пространстве прямых $AB$ и $CD$?

Рис. 7.
вершины, $D$ — середина ребра). Каково взаимное расположение в пространстве прямых $AB$ и $CD$?

A) пересекаются; B) скрещиваются; B) параллельны; $\Gamma)$ либо пересекаются, либо скрещиваются; $\Delta)$ могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными.
9. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ параллельnea $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 8). Каково разложение вектора $BM$ по векторам $a = AB, b = AD,$ $c = AA_1$?

Рис. 8.
A) $\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$; B) $\vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$; B) $\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$; $\Gamma)$ $\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$; $\Delta)$ $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
10. Каково множество всех возможных значений скалярного произведения $c = a \cdot b$, если известно, что длины векторов $a$ и $b$ равны 2 и 3?
A) $2 \leq c \leq 3$; B) $2 \leq c \leq 6$; B) $0 \leq c \leq 6$; $\Gamma)$ $-6 \leq c \leq 6$; $\Delta)$ $c$ может быть любым действительным числом.

Х класс
Алгебра и начала анализа

1. Какая из указаных функций является решением дифференциального уравнения $y'' = -4y$?
   A) $y = \cos(4x + \frac{\pi}{2})$;
   B) $y = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$;
   B) $y = \cos(16x + \frac{\pi}{2})$;
   $\Gamma)$ $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{2})$;
   $\Delta)$ нужно функция не указана.

2. Упростите выражение $\cos(x - \frac{3\pi}{2})$.
   A) $\sin x$; B) $\cos x$; B) $-\sin x$; $\Gamma)$ $-\cos x$; $\Delta)$ упростить нельзя.

3. Чему равно значение arccos $\left(-\frac{1}{2}\right)$?
   A) $-\frac{\pi}{3}$; B) $-\frac{2\pi}{3}$; B) $\frac{2\pi}{3}$; $\Gamma)$ $\pm \frac{2\pi}{3}$;
   $\Delta)$ $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Сколько существует первообразных $F(x)$ для функции $f(x) = \cos 2x$ таких, что $F(0) = 2$?
   A) ни одной; B) одна; $\Gamma)$ четые; $\Delta)$ бесконечного много.

5. Какую производную имеет функция $f(x) = 2^3x$?
   A) $\ln 2 \cdot 2^3x$; B) $\ln (3x) \times 2^3x$; B) $\ln 3 \cdot 2^3x$; $\Gamma)$ $\ln 2 \cdot 2^3x$.

6. Какова область определения функции $f(x) = \log_5(5x)$?
   A) $]0; \infty$ [; B) $]1; \infty$ [; B) $]0; 1$ [; $\Gamma)$ $]0,5; \infty$ [; $\Delta)$ $]0; 0,5$ [.

Геометрия
7. Плоскость $\alpha$ перpendикулярна плоскости $\beta$, плоскость $\beta$ перpendикулярна плоскости $\gamma$. Каково может быть взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\gamma$?
A) обязательно перpendикулярны; B) обязательно параллельны; B) пересекаются, но не перpendикулярны; $\Gamma)$ либо параллельны, либо перpendикулярны; $\Delta)$ могут быть параллельными или пересекаются под любым углом.
8. Какой из указаных векторов $a$ перpendикулярен плоскости, заданной уравнением $-x + y - z = -2$?
A) $\vec{a} = (1; 1; 1)$; B) $\vec{a} = (1; -1; 1)$; B) $\vec{a} = (1; 1; 0)$; $\Gamma)$ $\vec{a} = (1; 0; 1)$; $\Delta)$ нужно вектор не указан.