Квант
Экзаменационные материалы

Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)

Мальчиков С.

Квант 1979, №7с. 57, 59, 60, 61, 62, 63, 64Тег BEMF

57

r=10 см, толщина стенки h=0,5 мм. Найти амплитуду индукции магнитного поля, при которой начинается пластическая деформация трубы. Максимальное давление, при котором начинается пластическая деформация трубы, равно pM=107p_M=10^7 Pa. Удельное сопротивление материалов трубы ρ=3⋅10−8\rho=3 \cdot 10^{-8} Ом·м.

  1. Дан предмет ABAB и его изображение A′B′A'B' в лице (см. рисунок). Найти расположение линзы, считая ее тонкой. Указать расположение главных фокусов линзы.

  2. Часовщик в обычной жизни носит очки оптической силой D=−6D=-6 дитр. Для работы с часовми механизмами он снимает очки и приставляет к глазу лупу, на которой обозначает, что она дает пяткарное уvelичение. Какое в действительности он получает уvelичение лупы?
    IO. Максимов, Ю. Молодкин. П. Соболев

Ленинградский электrotechnический институт
им. В. И. Ульянова (Ленина)

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

  1. Отец хочет разделить 180 яблок между пятью своими детьми. Половину яблок он отделет своим сыновым, которые делят их между собой поровну, а другую половину отделет доеремм, которые тоже делят их поровну. Оказалось, что каждая доьль получила на 15 яблок больше, чем каждый сын. Сколько у отца было сыновей и доерей?

  2. Решить уравнение
    sin⁡22x+sin⁡2x=1.\sin^2 2x + \sin^2 x = 1.

  3. Решить уравнение
    x5+x−1010=84.\frac{x}{5} + \frac{x-10}{10} = 84.

  4. Найти наиболее и наиболее значения функций f(x)=3x3−9x2+2f(x)=3x^3-9x^2+2 в промежутке [-1; 1].

  5. Дано pp арфметических прогрессий, каждая из которых содержит nn членов. Их первый член соответствен равны 1,2,3,…,pp, а разности 1,3,5,…,2p−1p-1. Найти сумму членов всех прогрессий.

Вариант 2

  1. Мотошиклист задержался у шлагбаума на 24 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/час, он наверстал опоздание на перегоне в 80 км. Определить скорость мотошиклиста до задержки.

  2. Решить уравнение
    2cos⁡2x+5sin⁡x−4=0.2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0.

  3. Решить уравнение
    lg⁡8−lg⁡(x−5)lg⁡x+7−lg⁡8=−1.\frac{\lg 8 - \lg (x-5)}{\lg \sqrt{x+7} - \lg 8} = -1.

  4. Найти максимумы и минимумы функций
    f(x)=x⋅ex−x2.f(x) = x \cdot e^{x-x^2}.

  5. Решить уравнение
    21−log⁡2x+log⁡22x−log⁡23x+⋯=x.2^{1-\log_2 x} + \log_2^2 x - \log_2^3 x + \dots = x.
    C. Мальчикков

Саратовский политехнический институт

Саратовский политехнический институт является настоящем временным вузом Поволжья. История его ведет свой счет с 1930 года, когда в Саратове был открыт автоматильно-дорожный институт. В мае 1960 года Саратовский автоматильно-дорожный институт был преобразован в политехнический. Ныне ежегодный выпуск составляет свыше 2500 человек.

Подготовку 17 тысяч студентов института — будущих инженеров по 28 специальностям — ведут свыше 1000 преподавателей, в том числе 25 профессоров и почти 500 доцентов и кандидатов наук.

В институте имеются шесть факультетов дневного обучения: автоматический, дорогoso-строительный, строительный, машиностроительный, энергетический и факультет электронной техники и приборостроения. Кроме того, имеются фильлы в городах Саратовской области — Балакове, Балашове, Волске и Энгельсе. При институте имеется подготовительный факультет, работают подготовительные курсы с различным объемом учебных программ.

Все обучающие в СПИ в обязательном порядке освивают новейшую вычислительную технику, пользоваться прекрасной научно-технической библиотекой, выполнять различные задачи в хорошо оснашенных лабораториях.

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

  1. Плоская фигура состоит из прямоугольника и равностороннего треугольника

59

Проверь себя
VIII класс. Алебра. 1 — А, 2 — Г, 3 — Б, 4 — В, 5 — В, 6 — Б. Геометрия. 7 — Г, 8 — Г, 9 — Д, 10 — А.
IX класс. Алебра и начала анализа. 1 — А, 2 — В, 3 — Г, 4 — Б, 5 — В, 6 — Г. Геометрия. 7 — Д, 8 — Б, 9 — В, 10 — Г.
X класс. Алебра и начала анализа. 1 — Б, 2 — В, 3 — В, 4 — Б, 5 — Г, 6 — В. Геометрия. 7 — Д, 8 — Б, 9 — А, 10 — В.

Можно ли проверить ответ?

  1. Правильный ответ:
    x=mM+mLx = \frac{m}{M + m} L
  2. См. рис. 1.

Рис. 1.

Варианты вступительных экзаменов вузы в 1978 году

Московский автономно-дорожный институт
Математика
Вариант 1

  1. 233R\frac{2\sqrt{3}}{3}R
  2. ln⁡2−58⋅3\ln 2 - \frac{5}{8} \cdot 3
  3. x=π4k(k∈Z)x = \frac{\pi}{4}k(k \in \mathbb{Z})
  4. −1;3[U]3;+∞-1; 3[U]3; +\infty
  5. {(12;12)}.\left\{ \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right) \right\}.
    Вариант 2
  6. Точка 0 — точка минимума, промежутки убывания — ] — ∞; 0] и ]1; +∞[, промежуток возрастания — [0; 1[. 2. 31027\frac{2}{7}π.
  7. x=±π12+π2k(k∈Z)x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}k(k \in \mathbb{Z})
  8. −∞;−143[U]4;+∞- \infty; - \frac{14}{3}[U]4; +\infty
  9. {116,1}.\left\{ \frac{1}{16}, 1 \right\}.

Физика
Вариант 1
2. a⃗=m2−μm1m1+m2g=0,98 m/c2\vec{a} = \frac{m_2 - \mu m_1}{m_1 + m_2} g = 0,98 \text{ m/c}^2
v⃗=m1m2(1+μ)m1+m2g=8,8 H.\vec{v} = \frac{m_1 m_2 (1 + \mu)}{m_1 + m_2} g = 8,8 \text{ H}.
3. T2=V2V1T1=586 K.T_2 = \frac{V_2}{V_1} T_1 = 586 \text{ K}.
4. r=P1I2−P2I1I1I2(I2−I1)=0,1 Ом;r = \frac{P_1 I_2 - P_2 I_1}{I_1 I_2 (I_2 - I_1)} = 0,1 \text{ Ом};
E=I1r+P1/I1=2,2 В.\mathcal{E} = I_1 r + P_1 / I_1 = 2,2 \text{ В}.
5. См. рис. 2.

Рис. 2.

Вариант 2
2. v⃗1=∣v⃗∣1−m/M;\vec{v}_1 = |\vec{v}| \sqrt{1 - m/M};
v⃗2=∣v⃗∣m/M.\vec{v}_2 = |\vec{v}| m/M.
3. A=p1(V2−V1)+p4(V4−V3)=1,25⋅105 Дж.A = p_1 (V_2 - V_1) + p_4 (V_4 - V_3) = 1,25 \cdot 10^5 \text{ Дж}.
4. A=q24πe0(1R2−1R1)=2⋅10−2 Дж.A = \frac{q^2}{4\pi e_0} \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) = 2 \cdot 10^{-2} \text{ Дж}.
5. n=1sin⁡2β1+sin⁡2β2=1,15.n = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \beta_1 + \sin^2 \beta_2}} = 1,15.

Московский инженерно-строительный институт им. В. В. Куйбышева
Математика
Вариант 1

  1. Первый — 46, второй — 40.
  2. (5+1\sqrt{5} + 1) a2a^2. 3. {916}.\left\{ \frac{9}{16} \right\}. 4. x=π+2πk(k∈Z)x = \pi + 2\pi k(k \in \mathbb{Z}).
  3. −5;0[.-5; 0[.
    Вариант 2
  4. 40 коп., 60 коп., 80 коп., 1 руб.
  5. 2: 343:323.\frac{3}{4} \sqrt{3} : \frac{3}{2} \sqrt{3}. 3. −∞;−13[U]1;+∞- \infty; - \frac{1}{3}[U]1; +\infty
  6. x=π4+πk(k∈Z)x = \frac{\pi}{4} + \pi k(k \in \mathbb{Z}). 5. arctg 9; y=9x−23,25.y = 9x - 23,25.

60

Билет 1
3. 422342 \frac{2}{3}. 4. −322+1;−12-\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1; -\frac{1}{2}.
Билет 2
3. ]2; 4[⊥] 4; 6[. 4. {5+log⁡37}\{5 + \log_3 7\}.

Физика

  1. t≈8,75t \approx 8,75 с; s1≈99s_1 \approx 99 м; s2≈151s_2 \approx 151 м.
  2. V1V=ρ2−ρ∣P⃗1∣∣P⃗1∣−∣P⃗2∣ρ2−ρ1=0,25=25%\frac{V_1}{V} = \frac{\rho_2 - \frac{\rho |\vec{P}_1|}{|\vec{P}_1| - |\vec{P}_2|}}{\rho_2 - \rho_1} = 0,25 = 25\%;
    V2V=0,75=75%\frac{V_2}{V} = 0,75 = 75\%; V=∣P⃗1∣−∣P⃗2∣ρg=400V = \frac{|\vec{P}_1| - |\vec{P}_2|}{\rho g} = 400 см3^3; здесь ρ=1\rho = 1 г/см3^3 — плотность воды.
  3. Q=m(glsin⁡α−∣v⃗∣2/2)≈100Q = m (g l \sin \alpha - |\vec{v}|^2/2) \approx 100 Дж.
  4. q=(ρM−ρ)πed3g6∣E⃗∣≈5,3⋅10−8q = \frac{(\rho_M - \rho) \pi e d^3 g}{6 |\vec{E}|} \approx 5,3 \cdot 10^{-8} КЛ, где ρM=8,9⋅103\rho_M = 8,9 \cdot 10^3 кг/м3^3 — плотность меди.
  5. H=nh=1H = nh = 1 м.

Московский институт химического машиностроения Математика
Вариант 1

  1. x=(−1)kπ6+πk(k∈Z)x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z}). 2. [1100;10]\left[ \frac{1}{100}; 10 \right].
  2. 33h2cos⁡α(2sin⁡α+1)\frac{\sqrt{3}}{3} h^2 \cos \alpha (2 \sin \alpha + 1). 4. В точке −2-2 максимум, в точке 1 — минимум. 5. 34\frac{3}{4} π.
    Вариант 2
  3. {1}. 3. 14l3⋅sin⁡α⋅cos⁡β⋅sin⁡2β\frac{1}{4} l^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta \cdot \sin 2\beta. 4. 23\frac{2}{3}.
  4. 3(1−14ln⁡2)3 \left(1 - \frac{1}{4 \ln 2}\right).

Физика

  1. h1=4VπD2(1+αt1)(1+2βt1)(1+αt)(1+2βt1)≈4VπD21+(α−2β)t11+(α−2β)t1≈714h_1 = \frac{4V}{\pi D^2} \frac{(1 + \alpha t_1)(1 + 2\beta t_1)}{(1 + \alpha t)(1 + 2\beta t_1)} \approx \frac{4V}{\pi D^2} \frac{1 + (\alpha - 2\beta) t_1}{1 + (\alpha - 2\beta) t_1} \approx 714 см.
  2. Δh1=ρBhρpT(1+d12/d22)≈5,6\Delta h_1 = \frac{\rho_B h}{\rho_{pT} \left(1 + d_1^2/d_2^2\right)} \approx 5,6 см;
    Δh2=Δh1(d1/d2)2≈0,3\Delta h_2 = \Delta h_1 \left(d_1/d_2\right)^2 \approx 0,3 см.
  3. p1/p2=2T1/T2=3p_1/p_2 = 2T_1/T_2 = 3.
  4. Δm=(ρ1r1/100%−ρ2)V=0,79\Delta m = (\rho_1 r_1/100\% - \rho_2) V = 0,79 кг.

Московский институт электронного машиностроения Математика
Вариант 1

  1. x1=±π3+2πk,x2=±arccos⁡13+2πl(k,l∈Z)x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x_2 = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z}).
  2. S=92S = \frac{9}{2}. Докажем, что △ABC\triangle ABC переходит в себя только при токдевном отображении и при осевой симметринии SlS_l, где C∈lC \in l и l⊥(AB)l \perp (AB). Пусть A′,B′,C′A', B', C' — образы соответствующих вершин при перемещении φ\varphi, переводящем △ABC\triangle ABC в себя. Из того, что в △ABC\triangle ABC расстояние ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC| достигается только между AA и CC и между BB и CC, и того, что ∣A′C′∣=∣AC∣|A'C'| = |AC| и ∣B′C′∣=∣BC∣|B'C'| = |BC|, вытекает, что либо [A′C′]=[AC][A'C'] = [AC] и [B′C′]=[BC][B'C'] = [BC], либо [A′C′]=[BC][A'C'] = [BC] и [B′C′]=[AC][B'C'] = [AC]. В первом случае C′∈[AC]∩[BC]C' \in [AC] \cap [BC]; значит, C′=CC' = C; тогда A′=AA' = A и B′=BB' = B; поскольку перемещение φ\varphi имеет три неподвижные точки, φ\varphi — тожественное отображение. Во втором случае C′=CC' = C, A′=BA' = B и B′=AB' = A; значит, φ=Sl\varphi = S_l.
  3. x1=30,x2=84,x3=180;546x_1 = 30, x_2 = 84, x_3 = 180; 546 является членом данной последовательности, 548 и 19781978^{1978} — нет. Указание. xnx_n делится на 6 при любом nn. 4. На]2; 3[ ff возвращает, на ]3; +∞+\infty [ ff убивает, x=3x = 3 — точка максимума. 5. x≥0x \geq 0, кроме x=π2+πk(k∈Z)x = \frac{\pi}{2} + \pi k (k \in \mathbb{Z}), и x=πl(l=−1,−2,−3,… )x = \pi l (l = -1, -2, -3, \dots).
    Вариант 2
  4. x=±π6+πk(k∈Z)x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z}). 2. A′=(6;3)A' = (6; 3),
    M′=M,C′=(7;9)M' = M, C' = (7; 9). 3. C116<C113+C114C_{11}^6 < C_{11}^3 + C_{11}^4; неравенство Cn6<Cn3+Cn4C_{n}^6 < C_{n}^3 + C_{n}^4 справедливо при 6≤n≤116 \leq n \leq 11. Указание. Функция
    f(n)=120(n−3)(n−4)(n−5)+30(n−4)(n−5)f(n) = \frac{120}{(n - 3)(n - 4)(n - 5)} + \frac{30}{(n - 4)(n - 5)}
    — убывающая.
  5. max⁡[0,14;1]\max [0, 14; 1] f(x)=f(1)=e+2e+4f(x) = f(1) = e + \frac{2}{e} + 4, min⁡[0,14;1]\min [0, 14; 1] f(x)=f(1−ln⁡22)=10−7ln⁡22f(x) = f\left(\frac{1 - \ln 2}{2}\right) = \frac{10 - 7 \ln 2}{2}. Решение. f′(x)=0f'(x) = 0 при e2x0−1=12e^{2x_0} - 1 = \frac{1}{2} или x0=1−ln⁡22x_0 = \frac{1 - \ln 2}{2}. При x<x0x < x_0 функция ff убывает, при x>x0x > x_0 — возвращает; при x=x0x = x_0 она имеет минимум. Очевидно, x0<1x_0 < 1. Поскольку x0>0,14⇔ln⁡2<0,72⇔e18>225x_0 > 0,14 \Leftrightarrow \ln 2 < 0,72 \Leftrightarrow e^{18} > 2^{25} и e18>(2,7)18=[(2,7)18]6=19,6836>196e^{18} > (2,7)^{18} = [(2,7)^{18}]^6 = 19,683^6 > 19^6 =

61

=(192)3=3613>3603=29⋅453>29⋅45⋅402=215⋅45⋅25=215⋅1125>215⋅1024=225, получаем x0>0,14. Значит, min⁡f(x)=f(x0). ИЗ f(1)=e+2e+4>6 и f(0,14)=e−0,72+2e0,72+0,98−3<1+2e+1−3=2e−1<5 следует max⁡f(x)=f(1).= (19^2)^3 = 361^3 > 360^3 = 2^9 \cdot 45^3 > 2^9 \cdot 45 \cdot 40^2 = 2^{15} \cdot 45 \cdot 25 = 2^{15} \cdot 1125 > 2^{15} \cdot 1024 = 2^{25}, \text{ получаем } x_0 > 0, 14. \text{ Значит, } \min f(x) = f(x_0). \text{ ИЗ } f(1) = e + \frac{2}{e} + 4 > 6 \text{ и } f(0, 14) = e^{-0, 72} + 2e^{0, 72} + 0, 98 - 3 < 1 + 2e + 1 - 3 = 2e - 1 < 5 \text{ следует } \max f(x) = f(1).

    1. [103;+∞]. Указание. a−xорошее⇔a≥max⁡2x2+2x+3x2+x+1.\left[ \frac{10}{3}; + \infty \right]. \text{ Указание. } a - \text{xорошее} \Leftrightarrow a \geq \max \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2 + x + 1}.

Вариант 3

  1. x1=6,x2=π3+2πk(k=1,2,3,…),x3=−π3+2πl(l=2,3,4,…),x4=23π+2πm(m=0,−1,−2,−3,…),x5=−23π+2πn(n=1,0,−1,−2,−3,…).x_1 = 6, x_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k (k = 1, 2, 3, \ldots), x_3 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi l (l = 2, 3, 4, \ldots), x_4 = \frac{2}{3} \pi + 2\pi m (m = 0, -1, -2, -3, \ldots), x_5 = -\frac{2}{3} \pi + 2\pi n (n = 1, 0, -1, -2, -3, \ldots).

  2. S=23.C=(1+3;1+3)S = 2\sqrt{3}. C = (1 + \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3}) или C=(1−3;1−3).C = (1 - \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3}). Тогда действенное отображение, три освые симметрины с осями — высотами треугольника, два поворота вокруг центра треугольника — на 60° и на -60°. Указание. При перемещениях плоскости, при которых △ABC\triangle ABC отображается на себя, его вершины переходят в вершины.

  3. C244⋅C204⋅C164=24!(4!)3⋅12!C_{24}^4 \cdot C_{20}^4 \cdot C_{16}^4 = \frac{24!}{(4!)^3 \cdot 12!}. 4. Первообращные для функций ff на ]-3; 1[ имеют вид −23x3+72x2−6x+C-\frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + C, на ]1; 3[ – вид F(x)={−23x3+72x2−6x−103+A, если 1<x<2,A, если x=2,23x3−72x2+6x−103+A, если 2<x<3.F(x) = \left\{ \begin{array}{l} -\frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x - \frac{10}{3} + A, \\ \text{ если } 1 < x < 2, \\ A, \text{ если } x = 2, \\ \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 6x - \frac{10}{3} + A, \\ \text{ если } 2 < x < 3. \end{array} \right.

Указание. FF непрерывна при x=2x = 2.

  1. min⁡f(x)=f(arcsin⁡23)=3arcsin⁡23+2.\min f(x) = f\left(\arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} \right) = 3 \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{2}. Имеет (например, x=π3x = \frac{\pi}{3}).

Физика

  1. t=tgα2tgα1+tgα22sgtgα1≈0,88 с.t = \frac{\text{tg} \alpha_2}{\text{tg} \alpha_1 + \text{tg} \alpha_2} \sqrt{\frac{2s}{g}} \text{tg} \alpha_1 \approx 0, 88 \text{ с.}

  2. Возможны три случая. a) Все тела покояться: ∣F⃗∣≤3k3mg=2,94 H;∣a⃗1∣=∣a⃗2∣=∣a⃗3∣=0|\vec{F}| \leq 3k_3 mg = 2, 94 \text{ H}; |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = |\vec{a}_3| = 0. b) Все системы тел двijектора как единое целое: 3k3mg<3k_3 mg <

<∣F⃗∣≤2(k1+k2)mg=5,88 H;0<∣a⃗1∣=∣a⃗2∣=∣a⃗3∣=∣F⃗∣3m−k3g≤0,98 м/c2.< |\vec{F}| \leq 2(k_1 + k_2) mg = 5, 88 \text{ H}; 0 < |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = |\vec{a}_3| = \frac{|\vec{F}|}{3m} - k_3 g \leq 0, 98 \text{ м/c}^2.

b) Все тела двijектора относительно поверхности Земли, причем тела 1 и 3 относительно друг друга покояться, а тела 2 двijектора относительно этих тел: ∣F⃗∣>2(k1+k2)mg=5,88 H;∣a⃗1∣=∣a⃗2∣=k1g=0,98 м/c2;∣a⃗2∣=∣F⃗∣m−(k1+2k2)g>0,98 м/c2.|\vec{F}| > 2(k_1 + k_2) mg = 5, 88 \text{ H}; |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = k_1 g = 0, 98 \text{ м/c}^2; |\vec{a}_2| = \frac{|\vec{F}|}{m} - (k_1 + 2k_2) g > 0, 98 \text{ м/c}^2.

  1. Lmax⁡=l1+k2≈2,04 м.L_{\max} = l \sqrt{1 + k^2} \approx 2, 04 \text{ м.}

  2. s=2∣v⃗0∣2cos⁡αgsin⁡2α−f=1,96 м.s = \frac{2|\vec{v}_0|^2 \cos \alpha}{g} \sqrt{\sin^2 \alpha - f} = 1, 96 \text{ м.}

  3. x=xMcos⁡(ωt+φ0)=2EFMcos⁡(2πvt+φ0)=4cos⁡(2πt+π/6) см.x = x_M \cos (\omega t + \varphi_0) = \frac{2E}{F_M} \cos (2\pi vt + \varphi_0) = 4 \cos (2\pi t + \pi/6) \text{ см.}

  4. h=Pt−Mc(tπ−t0)μλRTπpS≈2,5 м.h = \frac{Pt - Mc(t_\pi - t_0)}{\mu \lambda} \frac{RT_\pi}{pS} \approx 2, 5 \text{ м.}

  5. q=CU=2⋅10−4 KJ.q = CU = 2 \cdot 10^{-4} \text{ KJ.}

  6. q=CR1(E+E2)+R2(E+E1)R1+R2=6,5⋅10−5 KJ;q0=C0(E2−E1)=10−5 KJ.q = C \frac{R_1(\mathcal{E} + \mathcal{E}_2) + R_2(\mathcal{E} + \mathcal{E}_1)}{R_1 + R_2} = 6, 5 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}; q_0 = C_0(\mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1) = 10^{-5} \text{ KJ.}

  7. D=2Fn2−1≈50 см.D = \frac{2F}{\sqrt{n^2 - 1}} \approx 50 \text{ см.}

  8. γ=F06F0Kγ′=7∘45′.\gamma = \frac{F_{06}}{F_{0K}} \gamma' = 7^\circ 45'.

Московский экономик-статический институт

Математика

          1. -1. 4. 18. 5. 4. 6. -3. 7. 60. 8. -13. 9. -12. 10. -7. 11. -1. 12. 45. 13. 3. 14. 2. Указание. См. задачу № 13 к п. 81 «Геометрии 7». 15. 14. 16. 1/41/4.

Физика

  1. h=57,8 м.h = 57, 8 \text{ м.}

  2. mπ=mμlπ−ll=120. кг.m_\pi = m_\mu \frac{l_\pi - l}{l} = 120. \text{ кг.}

  3. N=2mgα∣v⃗∣=25 кВт.N = 2mg \alpha |\vec{v}| = 25 \text{ кВт.}

  4. n=lg(pn/p)lg(V/V+V0)=49.n = \frac{lg(p_n/p)}{lg(V/V + V_0)} = 49.

  5. ∣v⃗∣=2η(c(Tπ−T)+λ)=3,5⋅102 м/c.|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2}{\eta} (c(T_\pi - T) + \lambda)} = 3, 5 \cdot 10^2 \text{ м/c.}

  6. q=2lsin⁡α/2×4πe0mgsin⁡α/2≈5,2⋅10−8 KJ.q = 2l \sin \alpha/2 \times \sqrt{4\pi e_0 mg \sin \alpha/2} \approx 5, 2 \cdot 10^{-8} \text{ KJ.}

  7. Rπ=RV(U/UV−1)=3,8 кОм.R_\pi = R_V (U/U_V - 1) = 3, 8 \text{ кОм.}

62

  1. t=t1t2t1+t2=6t = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = 6 мин.
  2. E=Byl∣v⃗∣=0,45\mathcal{E} = B_y l |\vec{v}| = 0,45 В.
  3. F=fΓ+1=8F = \frac{f}{\Gamma + 1} = 8 см.

Ленинградское высшее ordena Ленинна Краснозамённое училище железнодорожных войск и военных сообщений им. М. В. Фрунзе

Математика
Вариант 1

      1. x8x^8. 3. x=±π3+πk(k∈Z)x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k (k \in \mathbb{Z}).
  2. 725\frac{7}{25}.
    Вариант 2
  3. x4xx^4 \sqrt{x}, если x>3;−x4xx > 3; -x^4 \sqrt{x}, если 0<x<30 < x < 3.
  4. {4}. 3. x1=−π4+πkx_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x2=±2π3+2πl(k,l∈Z)x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z}). 4. π2,π32\frac{\pi}{2}, \frac{\pi \sqrt{3}}{2}.
  5. 7 ln 3.
    Билет 1.

Физика

  1. Высота HH подьема лифтта численно равна площади трапеции OABCOABC (рис. 3):
    H=∣v⃗∣(t1+2t2+t3)/2=26H = |\vec{v}| (t_1 + 2t_2 + t_3)/2 = 26 м.

Рис. 3.
2. H=(h+gt2/2)22gt2≈534H = \frac{(h + gt^2/2)^2}{2gt^2} \approx 534 м.
3. ∣F⃗π∣=m(g+∣a⃗∣)=756|\vec{F}_{\pi}| = m (g + |\vec{a}|) = 756 Н.
4. p=ρgh+4σ/d=1,02⋅105p = \rho gh + 4\sigma/d = 1,02 \cdot 10^5 Н/м2^2.
5. d=F(1+H/h)=12,55d = F (1 + H/h) = 12,55 м.
6. ECB=c2(92mp+(235−92)mn−mπ)≈18,5⋅102E_{CB} = c^2 (92 m_p + (235 - 92) m_n - m_\pi) \approx 18,5 \cdot 10^2 МэВ.

Ленинградский гидрометеорологический институт
Математика
Вариант 1
2. {2}. 3. x1=π2+2πk,x2=2πl(k,l∈Z)x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x_2 = 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z}).

  1. При b>0b > 0 и либо b2=3a2b^2 = 3a^2, либо 33<ab<1\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{a}{b} < 1, либо −1<ab<−33-1 < \frac{a}{b} < -\frac{\sqrt{3}}{3}
    {x1=a2+b2+(3a2−b2)(3b2−a2)4b,y1=a2+b2−(3a2−b2)(3b2−a2)4b,x2=a2+b2−(3a2−b2)(3b2−a2)4b,y2=a2+b2+(3a2−b2)(3b2−a2)4b.\begin{cases} x_1 = \frac{a^2 + b^2 + \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}, \\ y_1 = \frac{a^2 + b^2 - \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}, \\ x_2 = \frac{a^2 + b^2 - \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}, \\ y_2 = \frac{a^2 + b^2 + \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}. \end{cases}

Вариант 2
2. При b⩽0b \leqslant 0 одно решение: (0; 0). При b>0b > 0 и a=ba = b четые решения: (0; 0), (0; b), (b; 0), (b; b). При b>0b > 0 и либо a<ba < b, либо a⩾3ba \geqslant 3b два решения: (0; 0), (b; b). При b>0b > 0 и b<a<3bb < a < 3b четые решения: (0; 0), (b; b) и
{x1=a+b+(3b−a)(3a−b)4,y1=a+b−(3b−a)(3a−b)4,x2=a+b−(3b−a)(3a−b)4,y2=a+b+(3b−a)(3a−b)4.\begin{cases} x_1 = \frac{a + b + \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}, \\ y_1 = \frac{a + b - \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}, \\ x_2 = \frac{a + b - \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}, \\ y_2 = \frac{a + b + \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}. \end{cases}
3. x1=π4+π2k,x2=π2+2πl,x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k, x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi l,
x3=2πm(k,l,m∈Z)x_3 = 2\pi m (k, l, m \in \mathbb{Z}). 4. C113=165C_{11}^3 = 165.

Физика

  1. ∣F⃗π∣=ml(gh−∣v⃗∣22)=17,6|\vec{F}_{\pi}| = \frac{m}{l} \left( gh - \frac{|\vec{v}|^2}{2} \right) = 17,6 Н.
  2. Δt=gh−∣v⃗∣2c≈8\Delta t = \frac{gh - |\vec{v}|^2}{c} \approx 8 K.
  3. R=e24πε0mv2≈5,2⋅10−11R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 mv^2} \approx 5,2 \cdot 10^{-11} М;
    ∣E⃗∣=e4πε0R2≈5,3⋅1011|\vec{E}| = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \approx 5,3 \cdot 10^{11} В/м.
  4. lmin⁡=2hn2−1≈23l_{\min} = \frac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}} \approx 23 М.

Ленинградский институт точной механики оптики
Математика
Вариант 1

            1. x1=π3k,x_1 = \frac{\pi}{3} k,

63

x2=(−1)l+1π12+π2l(k,l∈Z).x_2 = (-1)^{l+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} l (k, l \in \mathbb{Z}).
y=−xy = -x
и y=x−1y = x - 1.
5.212x6y3.5. \frac{21}{2} x^6 y^3.
Вариант 2

      1. x1=2πk,x2=π2+2πl(k,l∈Z).x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z}).
  2. [1; 3]. 5. 6 + 6.
    Физика
  3. t=T/3.t = T/3.
  4. q=4πε0φ3V(rρ1−ρ2)4πρB3≈2,8×10−13q = 4\pi \varepsilon_0 \varphi \sqrt[3]{\frac{3V(r\rho_1 - \rho_2)}{4\pi\rho_B}} \approx 2,8 \times 10^{-13} Кл.
  5. ∣E⃗2∣/∣E⃗1∣=1,8.|\vec{E}_2|/|\vec{E}_1| = 1,8.
  6. Wπ/WK=−2.W_{\pi}/W_{\mathrm{K}} = -2.
  7. ∣v⃗∣=qπε0Rm≈108|\vec{v}| = \frac{q}{\sqrt{\pi \varepsilon_0 R m}} \approx 10^8 м/c.
  8. ht=kUρρHl.\frac{h}{t} = \frac{kU}{\rho \rho_H l}.
  9. ∣SS′∣=2(h+d/n)=2(h+34d).|SS'| = 2(h + d/n) = 2(h + \frac{3}{4} d).
  10. F=d(a+b)a+b+2d=15F = \frac{d(a + b)}{a + b + 2d} = 15 см.
  11. x=CΔφen0V≈0,1x = \frac{C \Delta \varphi}{en_0 V} \approx 0,1 рентген.
  12. n=λh3kmT≈8,2⋅103n = \frac{\lambda}{h} \sqrt{3kmT} \approx 8,2 \cdot 10^3 футовов.

Ленинградский координатный институт

Математика
Вариант 1

  1. Область определения: ∣a∣>∣b∣|a| > |b|, b≠0b \neq 0; при a>0a > 0 выражение равно −25-25, при a<0a < 0 равно 25.
  2. x=±π3+2πk(k∈Z)x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k (k \in \mathbb{Z}).
  3. {4,36}. 5. M(−1;0;0)M(-1; 0; 0).
    Вариант 2
  4. Область определения: a≠3xa \neq 3x, a≠−3xa \neq -3x, a≠−xa \neq -x; выражение равно 1.
  5. x=π4+π2k(k∈Z)x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in \mathbb{Z}). 3. {3,81}. 4. ]1;
    4.[. 5. y=−4x−12y = -4x - 12, y=4x−4y = 4x - 4.

Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Математика
Вариант 1

  1. a4\sqrt[4]{a}. 2. {122,22}\left\{\frac{1}{2} \sqrt{2}, \quad 2 \sqrt{2}\right\}.
  2. x=π4+π2k(k∈Z)x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in \mathbb{Z}). 4. π3\frac{\pi}{3}.

Вариант 2

  1. 5−372;1[U]4;5+372\frac{5 - \sqrt{37}}{2}; 1 [U]4; \frac{5 + \sqrt{37}}{2}.
  2. {(5;4),(−12;−25)}\left\{(5; 4), \left(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{5}\right)\right\}.
  3. 22R(ctgα2−2)1+(ctgα2−2)2\frac{2 \sqrt{2} R \left(\mathrm{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sqrt{2}\right)}{1 + \left(\mathrm{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sqrt{2}\right)^2}.
  4. Ука-
    зание. Если A−yA - y гол при основании и x=A2x = \frac{A}{2}, то tgA2⋅tgB2⋅tgC2=12tgx(1−tg2x)\mathrm{tg} \frac{A}{2} \cdot \mathrm{tg} \frac{B}{2} \cdot \mathrm{tg} \frac{C}{2} = \frac{1}{2} \mathrm{tg} x (1 - \mathrm{tg}^2 x).

Физика

  1. Δs=s1−s2=∣v⃗1∣t/4=5\Delta s = s_1 - s_2 = |\vec{v}_1| t/4 = 5 м.
  2. h=R(1−11+(μg+∣a⃗∣g−μ∣a⃗∣)2)=0,4h = R \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\mu g + |\vec{a}|}{g - \mu |\vec{a}|}\right)^2}}\right) = 0,4 м.
  3. s=(M−m)3∣v⃗∣32NM2=30s = \frac{(M - m)^3 |\vec{v}|^3}{2NM^2} = 30 м.
  4. A2=(m2m1)2A1=8A_2 = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 A_1 = 8 Дж.
  5. ∣v⃗1∣=∣v⃗1∣2∣v⃗1∣2+∣v⃗2∣2=1,8|\vec{v}_1| = \frac{|\vec{v}_1|^2}{\sqrt{|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2}} = 1,8 м/c;
    ∣v⃗2∣=∣v⃗2∣2∣v⃗1∣2+∣v⃗2∣2=3,2|\vec{v}_2| = \frac{|\vec{v}_2|^2}{\sqrt{|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2}} = 3,2 м/c.
  6. ∣F⃗′∣=∣F⃗∣|\vec{F}'| = |\vec{F}| (рекомендуем сделать чертеж).
  7. φ=q4πε0ε(1R1+ε−1R2)=675\varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \left(\frac{1}{R_1} + \frac{\varepsilon - 1}{R_2}\right) = 675 B.
  8. BM=2ρpMπrhv≈6,2⋅10−2B_M = \sqrt{\frac{2\rho p_M}{\pi rhv}} \approx 6,2 \cdot 10^{-2} T.
  9. См. рис. 4.

64

  1. Γ′=Γ−11−Dd0+1=2,6.\Gamma' = \frac{\Gamma - 1}{1 - Dd_0} + 1 = 2, 6.

Ленинградский электrotechnический институт
им. В. И. Ульянова (Ленинна)

Математика

Вариант 1

  1. 3 сына, 2 дочери. 2. x=π6+π3k(k∈Z)x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} k (k \in \mathbb{Z}). 3. {20}. 4. max⁡[−1;1]f(x)=f(0)=2\max_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 2, min⁡[−1;1]f(x)=f(−1)=−10\min_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = -10.
  2. np2(1+np)\frac{np}{2} (1 + np).

Вариант 2

  1. 40 км/час. 2. x=(−1)kπ6+πk(k∈Z)x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z}). 3. {9}. 4. x=−12x = -\frac{1}{2} точка минимума, f(−12)=−12e−34f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{3}{4}};
    x=1x = 1 точка максимума, f(1)=1f(1) = 1.
  2. 2V5−1\sqrt{2^{V_5} - 1}

Саратовский политехнический институт
Математика

Вариант 1

  1. Длины сторон прямого лыжника равны p6−3\frac{p}{6 - \sqrt{3}} и p(3−3)2(6−3)\frac{p(3 - \sqrt{3})}{2(6 - \sqrt{3})}; треугольник построен на большей стороне. 2. 34\frac{3}{4}.

      1. x1=±π6+πkx_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, x2=π2l(k,l∈Z)x_2 = \frac{\pi}{2} l (k, l \in \mathbb{Z}).
        Вариант 2
      1. a24tgβ\frac{a^2}{4} \text{tg} \beta. 3. max⁡[−1;1]f(x)=f(1)=415\max_{[-1; 1]} f(x) = f(1) = 4 \frac{1}{5}, min⁡[−1;1]f(x)=f(0)=0\min_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 0. 4. x1=2π3kx_1 = \frac{2\pi}{3} k, x2=−π2+2πlx_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi l, x3=π4+πm(k,l,m∈Z)x_3 = \frac{\pi}{4} + \pi m (k, l, m \in \mathbb{Z}).

«Квант» для младших школьников
(cm. «Квант» № 6)

  1. Обозначим длину треугольника через xx. Тогда по неравенству треугольника 6,31+0,82=7,13>x и 0,82+x>6,31, т. е. x>6,31−0,82=5,49x > 6,31 - 0,82 = 5,49. Значит, x=6x = 6 или x=7x = 7.

  2. Каждому многоугольнику с верхним только в белых точках поставим в соответствие многоугольник с верхним в тех же белых точках и в красной точке.

Поэтому «белых» многоугольников не больше «красных». Лишним остатся «красные» треугольники.

  1. Известно, что сумма цифр делящего на 9 числа сama делится на 9. Следовательно, A,BA, B и CC делятся на 9. Поскольку сумма цифр 1979-значного числа не превыходит 9×1979=17811, число AA записывается не более чем пятую цифрами. Следовательно, сумма цифр числа AA не более 9×5=459 \times 5 = 45 и BB не превыходит 45, а сумма цифр числа BB не более 3+9=123 + 9 = 12. Поскольку CC делится на 9 и не превышает 12, C=0C = 0 или C=9C = 9. Если C=0C = 0, то B=A=a=0B = A = a = 0, что противоречит условия. Ответ. C=9C = 9.

  2. Расстоянием произведение всех чисел на шахматной доске. Оно не меняется при операции, поскольку умножается при этом на (−1)8=1(-1)^8 = 1. Значит, оно равно свойствам значения (−1)63=−1(-1)^{63} = -1. Поэтому невозможно получить +1 во всех клетках, так как в этом случае произведение есть 1.

  3. Хочеется ответить - 12 яиц. Однако такой ответ неверен, поскольку 1 курица сhesет за 3 дня 1 яйцо, за 12 дней - 4, а 12 куриц за 12 дней - 4×12=48.

Номер готовил:
А. Виленкин, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова,
Ю. Шиханович

Номер оформил:
М. Дубах, Г. Красников, Э. Назаров,
И. Смирнова, В. Чернов

Зав. редакцией Л. Чернова

Художественный редактор Т. Макарова

Корректоры Т. Панькова, Н. Румянцева

113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16,
«Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 3/V-79.
Подписано в печать 18/V1-79
Бумага 70×108^1/16. Физ. печ. Л. 4
Усл. печ. Л. 5,6 Уч.-изд. Л. 7,11 Т-09893
Цена 30 коп. Заказ 965. Тираж 277 656 экз.

Чеховский полигraphический комбинат Союзполигraphпрома
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphин и книжной торговли
г. Чехов Московской области

Руководис не возврачаются