Ленинградский кораблестроительный институт

54

Вариант 2

1. Упростить выражение
   $$\left(1 - \frac{1+ab}{1+\sqrt{ab}}\right); \left[\sqrt{ab} \left(1 - \sqrt[3]{ab}\right) - \frac{(1-ab)\left(\sqrt[3]{ab}-1\right)}{1+\sqrt{ab}}\right]^3 - ab.$$

2. Решить уравнение
   $$\cos \frac{\pi-2x}{2} + \sin \frac{5\pi+2x}{2} = \mathrm{tg} \frac{13\pi}{4}.$$

3. Решить неравенство
   $$2\sqrt{x^2} \geq (x-1)^2 + 2.$$

4. Доказать равенство
   $$C_{n+1}^2 + 2C_{n+2}^2 + C_{n+3}^2 = C_{n+4}^2.$$

5. Число 12 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма кубов этих слагаемых была наименьшей.

Физика

Задание устного экзамена

1. Какую часть перiodа груз матрики, совершающего гармоничное колесбания, находится в пределах 1 см от положения равновесия, если амплитуда колесбаний равна 2 см?

2. В сосуде объемом $V=10$ л при температуре $t_1=20^\circ\text{C}$ влажность воздуха $r=80\%$. Температура улала до $t_2=5^\circ\text{C}$. Вся сконденсированная влага собралась в шаровую каплю. Какой заряд надо сообщить капле, чтобы ее потенциаль стал равным $\varphi=1$ В? Плотности насыщенного пара при температуре $t_1$ и $t_2$ равны, соответственно, $\rho_1=17,3 \text{ г/m}^3$ и $\rho_2=6,8 \text{ г/m}^3$. Плотность воды $\rho_B=1 \text{ г/cm}^3$.

3. К двум одинаковым плоским воздушным конденсатором, соединимим последовательно, подключен источник ЭДС. Как изменится напряжение электрического поля между пластинами одного из них, если в другой вnectи дизайлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=9$, заполняющий весь конденсатор полностью?

4. Найти отношение потенциальной энергии $W_\pi$ электрона к его кинетической энергии $W_K$ в боровском.atome водорода.

5. К двукратно низизированному atomy урана $^{238}\text{U}$ приближается изделека протон вдоль линни центров. Какова была начальная скорость протона, если он приблизился к нону урана на минимальное расстояние $R=0,5 \text{ Å}$? Заряд и масса протона равны, соответственно, $q=1,6 \cdot 10^{-19} \text{ K}$ или $m=1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

6. В электропитической ванне происходит покрытие детали инкелем. Знана напряжение $U$ между электродами, удельное сопротивление электропита $\rho$, расстояние $l$ между электродами, найти скорость покрытия (то есть скорость уvelичения толщины $h$ слоя инкеля). Электрохимический эквивалент инкеля равен $k$, плотность инкеля — $\rho_H$.

7. На высоте $h$ над поверхностью воды расположен точчный источник света $S$. Где будет находиться изобравнение $S'$ этого источника, даваемое плоским зеркальным дном сосуда, если смотреть по вертикали вниз? Глубина сосуда с водой $d$, показатель преломления воды $n=4/3$.

8. На оптической оси собирающей линзы на расстоянии $d=25$ см от линзы помещен точчный источник света. По другую сторону линзы — один раз на расстоянии $a=27$ см, другой раз на расстоянии $b=48$ см — ставится экран. Освененное центра светового пятна на экран в обихх случае оказывается одинаковой. Определить фокусное расстояние $F$ линзы.

9. Карманный дозметр радиоактивного облучения представляет собой воздушный конденсатор, заряженный до определенной разности потенциальов. Под влиянием облучения газ кондиционется, ионы, перемешаясь к пластинам конденсатора, попужают разность потенциальов. При облучении в 1 реентен в каждом кубическом сантиметре воздуха при нормальных условиях образуется $n_0=2 \cdot 10^9$ паронов. Сколько реентен показет дозметр, если при емкости конденсатора $C=3 \cdot 10^{-12}$ Ф разность потенциальов сизлазы от $\varphi_1=180$ В до $\varphi_2=160$ В? Объем камеры $V=1,8 \text{ cm}^3$.

10. Какое количество фокусов с длиной волны $\lambda=0,6$ мкм будет иметь в паралельном пучке суммарный импульс, равный среднему импульсу теплового движения atoma геля при температуре $T=300$ K? Масса atoma геля $m=6,65 \times 10^{-27}$ кг, постоянная Планка $h=6,62 \times 10^{-34}$ Дж·с, постоянная Больцмана $k=1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/K.

А. Беуункова, Т. Виноградова, В. Кобушкин, И. Никитина, Н. Стреляева, Т. Федорова

Ленинградский кораблестронтный институт

Ленинградский ordena Ленина кораблестронтный институт — крупнейший и ведущий вуз страны, выпускающий инженер-кораблестронтей, одно из наиболее значительных высших учебных заведений Ленинграда.

Кораблестронтный факультет готовит инженер-кораблестронтей по проектированию и построение морских судов, танков, контейнерных судов, ледоколов, судов с дианическими прицилими поддержания — на подводных крыльях и воздушной подушке, а также новых для техники средств освоения океана. Факультет выпускает также инженер-исследователь в области гидроэнергии, дианики и прочности судовых конструкций, автоматического уп-