Можно ли проверить ответ?

41

Можно ли проверить ответ?

После решения задачи, особенно сложной, всегда хочет убедиться в правильности полученных результатов или хотя бы в отсутствии ошибок. Существует много способов, позволяющих быстро обнаружить ошибку. Например, можно сравнить свой ответ с ответами других или с ответами, полученными при решении этой же задачи других методами. Однако также возможно бывают далеко не всегда.

Рассмотрим несколько примеров, которые шпроко пользовается физиками. Это — проверка ответа на размерность, проверка на симметрию, исследование частных (или предельных) случайов и, наконец, контроль за область допустимых значений.

Чтобы можно проверить ответ одним из этих способов, надо получить его в алгебраической (буквенной) форме.

1. Проверка на размерность не нужноется в особых комментиaries — при подстановке размерностей величины, входящих в формулу, в итоге должна получиться размерность исходной величины. (Разумеется, все параметры надо выражать в одной и той же системе единиц.) С точки зрения такой проверки ответ удобно записать так, чтобы сразу была видна его размерность. Для этого обычно выделяют или безразмерные отношения, или устойчивые размерности сочетания параметров типа $|v|^2/g$ (размерность длины), $\rho gh$ (размерность давления), $\sqrt{l/g}$ (размерность времени) и т.п.

В качестве примера рассмотрим такую известную задачу:

Задача 1. Через неподвижный блок перекипума неакрепленная нить, на концах коморой подвешены грузы массой $m_1$ и $m_2$ (рис. 1). Найти намяженное $|\vec{T}|$ нити при движении грузов.

Ответ: $|\vec{T}| = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2} g$.

Проверим размерность. Произведение масс, деленное на их сумму, имеет размерность массы, а умноженное наускорение — дает размерность силы. Следовательно, размерности левой и правой части формулы для натяжения нити совпадают.

2. Проверка на симметрию менее известна. Она заключится в следующем. Если в условие задачи какие-то одинаковые по размерности параметры входят таким симметриным образом, что при перестановке индексов, нумерующих параметры, задача не меняется, то такая же симметрия должна быть и в ответе.

Так, в задаче 1 натяжение нити не зависит от того, слева или справа от блока нахождения более тяжелый груз и каким из двух индексов — 1 или 2 — обозначена его масса. Значит, ответ не должен измениться при замене $m_1$ на $m_2$ и $m_1$. Другими словами, выражение для натяжения нити должно быть симметриным относительно $m_1$ и $m_2$. Приведенный ответ этому действи-

Рис. 1.

42

тельно удовлетворяет — и произведение, и сумма масс является симметричным комбинациями параметров $m_1$ и $m_2$.

Приведем еще один пример, где есть подобная симметрия.

Задача 2. Три конденсатора одинаковой эмкости имеют заряды $q_1, q_2$ и $q_3$ соответственно. Помом их соединяют, как изображено на рисунке 2. Найти установився заряды на конденсатора.

Ответ: $q_1' = \frac{2q_1 - q_2 - q_3}{3}$;
$q_2' = \frac{2q_2 - q_1 - q_3}{3}$;
$q_3' = \frac{2q_3 - q_1 - q_2}{3}$.

Ясно, что ничего не изменится, если мы последовательно сменим нумерацию зарядов ($q_1 \rightarrow q_2, q_2 \rightarrow q_3, q_3 \rightarrow q_1$) — это всего лишь поворот картины. Ответ должен демонстрировать такую же симметрию по отношению к циклическим перестановкам. Несложно убедиться, что наш ответ обладает этим свойством.

Для удобства контROL симметрию по параметрам в ответе надо сохранять.

3. Проверку на частих сличах проводят так. Выбирают простейшие значения параметров заряда, для которых ответ оченьен, и смотрят, дает ли полученная общая формула для этих частных значений параметров такой же результат.

Обратимся еще раз к задаче о блоке. Если любая из масс — $m_1$ или $m_2$ — равна нулю, то другая масса свободно падает, и нить не натянута. Такой же нульевой результат получается и из ответа.

(Заметим, что обращение полученного результат в нуль при нулевом значении одного из параметров обычно связано с тем, что этот параметр входит в ответ в виде множителя, может быть — в какой-то степени. В более сложных задачах так бывают лишь в пределы х случаях: при очень больших или очень малых значениях выбранного параметра.)

Рассмотрим еще случай равных масс: $m_1 = m_2 = m$. При этом грузы или покояться, или движутся равномерно. Следовательно, натяжение ни丁 должны быть равно весу одного из группов. Нетрудно видеть, что формула дает тот же результат.

4. Иногда при проверке на частих сличах обнаруживается несовпадение результата в частном случае и результата, полученного из общей формулы. Obviously это объясняется тем, что взятое наугад частное значение параметра не попало в область допустимых значений. Такая непряняющая возможность говорит о необходимости сопроводить ответ указанием области допустимых значений параметров.

Вот характерный пример:

Задача 3. К мелу массой $m$, находящемуся на горизонтальном поверхности, приложена сила $\vec{F}$, направленная вниз под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 3). Козффициент времени между мелом и поверхности равен $k$. Найти ускорение тела.

Типичный ответ:

$$\vec{a} = \frac{|\vec{F}| \cos \alpha - k (mg + |\vec{F}| \sin \alpha)}{m x}.$$

Рис. 3.

43

Очевидно, что, если тело не тянуть, оно ускоряется не будет. Проверим это: при $|\vec{F}| = 0$ $|\vec{a}| = -kg \neq 0!$ В чем же дело?

Оказывается, правильный ответ должен быть таким:

$$\begin{align*} |\vec{a}| &= \frac{|\vec{F}| \cos \alpha - k (mg + |\vec{F}| \sin \alpha)}{m} \\ \text{при } |\vec{F}| > \frac{kmg}{\cos \alpha - k \sin \alpha}, \\ |\vec{a}| = 0 \text{ при } 0 \leq |\vec{F}| \leq \frac{kmg}{\cos \alpha - k \sin \alpha}. \end{align*}$$

Таким образом, для $|\vec{F}| = 0$ нужно пользоваться не первой, а второй формулой, и тогда никакого противоречия не наблюдается.

В заключение отметим, что всегда, когда в ответе появляется разность под знаком радика или логарифм, обязательно надо находить область допустимых значений. Особого внимания требуется разность в знаменателе; в этом случае надо не медленно проверить, при каких значениях

$$x = \frac{m}{M} L \quad \text{или} \quad x = \frac{m}{M + m} L.$$

(Рассмотите предельные случаи.)

1. Лодка длиной $L$ и массой $M$ стоит, приктувшись носом к берегу. Человек массой $m$, желая сойти на берег, начинает идти из дальнейго конца лодки. На какое расстояние $x$ lodка отойдет от берега, когда человек doit до носа лодки? Не решая задачи, выясните, какой из двух ответов правильный:

$$x = \frac{m}{M} L \quad \text{или} \quad x = \frac{m}{M + m} L.$$

2. Нарисуйте приблизительно график зависимости проекции $f$ на оптическую ось силы давления света на линзу от расстояния $x$ до точного источника света, нахождения на главной оптической оси линзы. Размеры линзы считать неограниченно большими, отражение и поглощение света линзой не учитывать. (В качестве частных случаев рассмотите, например, такие: $x=0$, $x=F$ (F-фокусное расстояние линзы), $x=2F$, $x \to \infty$.)

(Начало см. с. 20, 32)

27, 29a); А. Нурсимов (Алма-Ата) 16a), 6), 21; И. Ныжник (Новосибирск) 21; А. Окропидзе (Тбилиси) 26; А. Опарин (Москва) 16, 18, 19a), 21, 22, 236), 24, 26—29, 30a); А. Павлычев (Рига) 26; А. Паландейн (Ереван) 26; Е. Палош (Ворошиловград) 16a), 21, 26; А. Пантелев (Ростовна-Дону) 26; В. Питенко (Пуховничий рн Минской обл.) 27, 28; А. Пиццевский (Воронеж) 26; Т. Подстрицан (Львов) 19a), 21, 26—28, 30a); Л. Полтерович (Москва) 16, 24; А. Попелохин (Киев) 16, 21, 22, 23a), 24, 26—28; С. Пошехонов (Энгельс) 26; В. Процшин (с. Песчаное Павлодарской обл.) 16a); Ч. Пурицашащили (Тбилиси) 16a), 26; А. Пурзв (МНР) 26; С. Путинцев (Невинномыск) 16—25; В. Рабинович (Тула) 16, 22, 26, 30a); Д. Рамзаев (Тбилиси) 26; В. Розозин (Шелково) 16a), 6); И. Ройзман (п. г. т. Калииновка Винницкой обл.) 27, 28, 30a); И. Савенков (р. п. Лысые Горы Саратовской обл.) 16, 27, 28, 30a); Ю. Саенко (Жданов) 26, 30a); И. Санарцев (Уфа) 21; А. Саримелия (Тбилиси) 26—28, 30; С. Севастюк (Невинномыск) 16a), 6); М. Севрюк (Москва) 16—24, 26—30; П. Селиванов (Семипалатин) 21, 22, 23a); А. Сивацкий (Ленинград) 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 28, 30a); С. Сидоренко (Брянск) 18; М. Слуц (Москва) 21; А. Сромин (Ленинград) 21, 26, 28;

С. Стадиченко (Пенза) 16a), 6), 21, 22, 24, 26, 28; М. Стрешинский (Донецк) 21; Ф. Сукочев (Ташкент) 16—29; О. Тавець (Минск) 16a), 27; Р. Тацев (Масаллинский рн АзССР) 26; К. Таталян (Ереван) 16, 19a), 21, 27—29, 30a); Д. Тимофеев (Горький) 16a); М. Торосян (Ереван) 16a), 6), 18, 20—22, 24, 26, 27; Н. Трифонов (Канск) 16a), 6), 19a), 20—22, 25, 26, 28; В. Трофимов (Москва) 27; Ю. Трофимук (п. г. т. Калииновка Винницкой обл.) 26; Д. Тураев (Горький) 18, 19a), 20, 26, 27, 30a); В. Уманский (Баку) 16a), 6), 21, 27, 28; А. Унаян (Севан) 21, 22, 24; А. Фамуллаев (Баку) 26; С. Хосид (Алма-Ата) 16, 18, 19, 21, 24, 26, 28; К. Христмов (НРБ) 16, 18, 19a); Л. Цаленко (Москва) 16, 19a), 21, 22, 24, 26, 28; З. Цихистави (Телави) 16a), 21; А. Чаплезин (Николаев) 16a), 6), 18, 19a); О. Чечель (Москва) 26—28; В. Шарафян (Ереван) 18, 26; Н. Шаромет (Москва) 21, 28; Г. Шахбазян (Ленинград) 19a); Е. Шкlarр (Гомель) 21; В. Шаменко (Ангарск) 26; М. Эрешев (Фергана) 16a), 6); А. Ялицев (Тула) 16, 19a), 26, 30a); В. Ясинский (Винница) 21.

Физика

В. Абаджаев (Львов) 28, 31; К. Абдухаликов (Алма-Ата) 23, 24; Е. Абрамочкин (Куйбышев) 24; Е. Александрова (Глазов) 24, 26, 28, 29, 31; А. Ашкинази (Москва) (Окончание см. с. 58)