18
Семейство кубических парабол
Посмотрите на вторую страницу обложки — на ней показано семейство из 169 кубических парабол, образующие замы сливоватый узор, «автор» которого — ЭВМ. В этой заметке будет рассмотрено как подобные кривые использующие на практике.
В машинной графике передко возникнет потребность вычерчивать плавные кривые линии. Иногда это должно быть выполнено определение кривые, соответствующие заданным уравнением. В других случаях кривая первого замения его компоненты Δx₃, Δy₃). Как известно, угловой коэффициент равен kᵢ = Δyᵢ/Δxᵢ. Таким образом, каждую из четырех других, которые составляют общую кривую, нам надо провести по четырем начальным условиям (положение двух точек и наклон касательных в двух точках). Какой выбрать для этого тип кривой? В анализеском смысле это должно быть «четырех параметрическая» кривая, то есть, грубо говоря, ее уравнение должно иметь 4 коэффициента. Чтобы получить конкретнуюдугу, надо определить соответствующие значения этих четырех коэффициентов и указать интервал изменения аргумента. Наверное, простейшим решением нашей задачи является дуга кубического параболы, точнее, часть графика кубического полинома:
y = A + B · x + C · x² + D · x³.
Зная координаты начальной и конечной точки, а также направление касательных в этих точках, легко получить систему из четырех уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D.
Этот простой способ построения кривых не волне универсален. Точки с вертикальным касательными касательными для него «недоступны». Провести замкнутую или самопересекающую линию, даже если разделить ее на ряд дуг, этим способом сложно. Но, конечно, у математиков-проgramмистов есть в запасе много более хитрых и усовершенствованных способов построения различных кривых.
На нашей обложке — машинный чертеж из дуг кубического полинома (рисунок повернуть на 90°). Каждый из 13 верхин точек соединена дугой с 13-ю нижними точками. В каждой из 26 исходных точки задана связь касательная. Дуги, пересекаясь, неожиданно образуют кружевной узор с рядами «узелков». Подумайте, почему так проискот. Как расположены горизонтальные прямы, содержащие «узелки»?