Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

52

Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(mатематический факультет)

1. Доказать, что числа $\frac{1}{\log_3 2}, \frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ образуют арифметическую прогрессию.

2. Найти все значения $\alpha$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$ и удовлетворяющие уравнению

$$\int_{\pi/2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha.$$

3. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перpendicularны. Найти длину треугольника.

4. Решить систему уравнения:

$$\begin{cases} x + y + \sqrt{x+y} = 20, \\ x^2 + y^2 = 136. \end{cases}$$

5. Сторона основания правильно четырехугольной прямоды $SABCD$ равна 2, высота $\sqrt{2}$. Найти расстояние между боковым ребром $SA$ и диагональю основания $BD$.

Вариант 2
(физический факультет)

1. Найти множество положительных значений $a$, удовлетворяющих уравнению

$$\int_{0}^{a} (3x^2 + 4x - 5) \, dx = a^3 - 2.$$

2. Решить уравнение $\sqrt{\log_2 x} - 0.5 = \log_2 \sqrt{x}$.

3. Боковые стороны равнобедренной трапеции при их продолжении пересекаются под прямым углом. Определить стороны трапеции, если ее площадь $12 \, \text{cm}^2$, а длина высоты 2 см.

4. Решить уравнение

$$\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}.$$

5. Дан куб $ABCD_1B_1C_1D_1$. Вычислить величины угла между прямыми $BC_1$ и $BK$, где $K$ — середина ребра $AA_1$.

Физика

Задание устное экзамен
(физический факультет)

1. Тело массой $m_1 = 3,0$ кг скольит по горизонтальной плоскости под действием груза массой $m_2 = 1,0$ кг, прикрепленного к концу шнура. Шнур привязан к телу массой $m_1$ и перекипит через неподвижный блок. Определить ускорение системы и силу натяжения шнура. Тренем пренебречь.

2. В лодке массой $m_2 = 60$ кг. Лодка плавет со скоростью $\vec{v}_1(|\vec{v}_1| = 2 \, \text{m/c})$. Человек пригает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}(|\vec{v}| = 4 \, \text{m/c})$ относительно лодки. Найти скорость движения лодки после прижка человека вперед по движению лодки.

3. При какой последной скорости самолеты могут приземляться на посадочной площаде аэродрома длиной $l = 800$ м при торможении с ускорением $\vec{a}(|\vec{a}| = 5,0 \, \text{m/c}^2)$?

4. При нагревании некоторой массы газа на $\Delta T = 1$ К при постоянном давлении этой массы газа увеличился на $n = 1/350$ частей первоначального объема. Найти начальную температуру газа.

5. Баллон емкостью $V = 20$ л содержит углекислый газ массой $m = 500$ г под давлением $p = 1,3$ МПа. Определить температуру газа.

6. В сосуд, содержащий $m_1 = 2,35$ кг воды при $t_1 = 20^\circ \text{C}$, опускают кусок олова, нагрето до $t_2 = 230^\circ \text{C}$. Термпература воды в сосуде повышалась на $\Delta t = 15^\circ$. Вычислить массу олова $m_2$. Испарением воды пренебречь. Удельные теплоемкости воды и олова равны $c_1 = 4,19 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) и $c_2 = 2,5 \cdot 10^2$ Дж/(кг·К) соответственно.

7. Расстояние между двумя точными зарядами $q_1 = 10^{-6}$ Кл и $q_2 = -10^{-6}$ Кл равно $r = 10$ см. Определить силу, действующего на точный заряд $q = 10^{-7}$ Кл, удаленный на $r_1 = 6$ см от первого и на $r_2 = 8$ см от второго заряд ($\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/m}$).

8. Гальванический элемент дает на внешнее сопротивление $R_1 = 4$ Ом ток $I_1 = 0,2$ А. Если же внешнее сопротивление равно $R_2 = 7$ Ом, то элемент дает ток $I_2 = 0,14$ А. Какой ток он дает, если его замкнут на корпоту?

9. Какое уvelличение дает проекционный фонарь, если его объектив с фокусным расстоянием $F = 18$ см расположен на расстоянии $f = 6,0$ м от экрана?

10. Солнечные лучи падают на поверхности воды при угловой высоте Солнца над горизонтом $\alpha = 30^\circ$. Какой дитя лучи в воде после преломления? Показатель преломления воды $n = 1,33$.

М. Петрова,
В. Редkozубов