Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии

48

2. На тележке стоит бак кубищеской формы, целиком заполненный водой и сверху плотно закрытый крышкой. Тележка движется с постояннымускорением $\vec{a}(|\vec{a}|=0,5 \text{ m/c}^2)$. Определить давление на глубине $h=0,4 \text{ m}$ в точке $M$, отстоящей от передней стены на расстоянии $L=0,6 \text{ m}$.

3. По наклонной плоскости, составляющей угол $a=45^\circ$ с горизонтом, с высоты $h$ сосkalьзвает небольшое тело массой $m$, заряженное отрицательным зарядом $-q$. В точке пересечения вертикали, проведенной через начальное положение тела, с основанием плоскости закреплен положительный заряд $+Q$. Определить скорость, с которой тело достигнет основания плоскости. Треннем претенбрец.

4. Двояковыпуклая линза формирует на экране изображение предмета. Между линзой и экраном помещили плоскопаралельную пластинку толщиной $a=3 \text{ cm}$ из материала с показателем преломления $n=1,5$. В каком направлении и на сколько нужно сdvинуть экран, чтобы снова получить отчетливое изображение предмета?

С. Емельянов,
В. Докучаева,
H. Квачева

Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$\log_2 x - \log_4 x + \frac{7}{6} = 0.$$

2. Решить уравнение
   $$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} - \sin 2x.$$

3. Найти область определения функций
   $$y = \sqrt{\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3}}.$$

4. Вычислить угол между векторами $\vec{a} = \vec{2i} + \vec{j}$ и $\vec{b} = \vec{i} - \vec{2j}$ и определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

5. Найти наиболее и наиболее значения функций
   $$y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} \text{ на отрезке} [-5; -1].$$

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$2 \sin^3 x - \cos 2x = \sin x.$$

2. Найти области определения функций
   $$y = \sqrt{\log_{0.3} \frac{x-1}{x+5}}.$$

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} - \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = \frac{3}{2}.$$

4. Вершины треугольника находятся в точках $A(2; -3; 0), B(2; -1; 1)$ и $C(0; 1; 4)$. Найти величины угла $\varphi$, образованного медианой $DB$ с основанием $AC$.

5. С помощью произвольной исследовать на монотинность функцию $y = \frac{3}{2}x - \sin^2 x$.

Физика

Задачи устного экзамена

1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $|\vec{v}_0|=24 \text{ m/c}$. Какой путь пройдет тело за время $t=4 \text{ c}$?

2. Шар массой $m=1$ кг подвешен на нераспределимой нити. Нить отклонил от вертикального положения на угол $a=60^\circ$. Определите натяжение нити в момент, когда шар будет проходит положение равновесия.

3. За какое время магнитус от положения равновесия на расстояние, равное положение амплитуды, если период его колбаный $T=3,0 \text{ c}$?

4. В сообщащиеся сосуды налита руть, поверх которого в один из сосудов налита вода. Разность уровней рути $\Delta h=20 \text{ mm}$. Плотность рути $q=13,6 \text{ г/cm}^3$. Найти высоту столба воды.

5. Сколько молекул водорода содержится в объеме $V=1 \text{ m}^3$ при нормальных условиях? Какова масса одной молекулы водорода? Число Авогадро $N_A=6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol/b}^-1$.

6. В вертикальном цилиндре под поршнем с поперечным сечением $S=20 \text{ cm}^2$ находится столб газа высотой $h=60 \text{ cm}$ при температуре $t=27^\circ \text{C}$. Поршень может перемещаться без трення. Масса поршня $M=10 \text{ кг}$. Цилиндр нагрели на $\Delta T=50 \text{ K}$. Определить работу $A$, совершенную газом. Атомсферное давление $p=10^5 \text{ Pa}$.

7. Шар радиусом $r=5 \text{ cm}$ заряжен до потенциала $\varphi=150 \text{ B}$. Найти потенциал в точке, удаленной от поверхности шара на расстояние $l=10 \text{ cm}$.

8. Квадратная рамка со стороны $l=10 \text{ cm}$ вращается в однородном магнитном поле с угловой скоростью $\omega=300 \text{ rad/c}$. Определить максимальное значение тока в рамке, если ее сопротивление $R=10 \text{ Om}$, а индукция магнитного поля $|\vec{B}|=0,02 \text{T}$. Ось вращения рамки перепределуларна к линяям магнитной индукции.

9. На дне реки лежит камень. Какова истинная глубина реки $H$, если человеку, смотрящему перепределуларно к ее поверхности, она кажется равной $h=1 \text{ m}$? Показатель предломления воды $n=4/3$.

10. Определить массу фотона видимого света, длина волны которого $\lambda=0,6 \text{ мкм}$. Постоянная Планка $h=6,62 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}$.

Ю. Нейман,
И. Стрижкин

50

правленый. Средние них вычислительная и информационно-измерительная техника, оптические и оптико-электронные приборы, радиоэлектронка и электroteхника, точная механика, гироскопические приборы, управление и техническая книбернетка, технические приборостроения.

Упомянем о некоторых завершенных научных работах.

В Советском Союзе создан крупнейший в мире зеркальный телефон. Площадь его зеркала составляет 28 квадратных метров. Учеными факультета была решена задача, казавшаяся многим неразрешимой — разработано устойчиво для контролля погрешности формы зеркала с точностью до одной десятичной микрона.

На ряде предложений Московы внедренные технические процессы и станки, что позволило существению повышить чистоту обработки деталей электронных устройств и приспособий экономической эффективности.

В процессе обучения на факультете широко используется добрая традиция училища — сочетание глубокой теоретической подготовки с практической работы визранной области. Студенты проходят четкие практики на предприятиях приборостроительной промышленности, выполнять три курсовых проекта и несколько курсовых работ, а также курсовую научно-исследовательскую работу.

Многие студенты участвуют в работе студенческих конструкторских бюро (их на факультете семы) и не без успеха. Так, работа «Лазерный телефон» была удостоена золотой медали ВДНХ, работа «Измеритель момента» принесла немалый экономический эффект и была удостоена бронзовой медали ВДНХ, а работа «Биоэлектростимулятор» нашла практическое использование длялечения некоторых заболеваний.

Ниже приведятся материалы вступительных экзаменов в MBТУ.

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, составленной из членов бесконечной геометрической прогрессии с нечетными номерами, равна $\frac{64}{3}$, а сумма прогрессии, составленной из членов той же прогрессии с четными номерами, равна $\frac{32}{3}$. Найти прогрессию.

2. Оно из оснований правильной треугольной призначит большому кругу шара радиуса $R$, а вершины другого основания принадлежат поверхности этого шара. Определить высоту призмы, при которой сумма длины всех ее ребер будет наибольшей.

3. Решить уравнение
   $$\cos 3x - \cos 7x = \sqrt{3} \sin 2x$$

4. Найти область определения функции
   $$y = \log_2(2^{-x} - \frac{1}{2})$$

5. Определить, при каких значениях $a$ верно неравенство
   $$\frac{1}{\sqrt{a}} \int \left( \frac{3}{2} \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx < 4.$$

Вариант 2

1. Все члены арфметической прогрессии — натуральные числа. Сумма ее девяты последовательных членов, начина с первого, больше 200, но меньше 220. Найти прогрессию, если ее второй член равен 12.

2. В сферу вписана правильная треугольная призма, длины всех ребер которой равны $a$. Подобная ей призма нижним основанием лежит на верхнем основании данной призмы, а вершины ее верхнего основания принадлежат сфере. Найти длину ребра второй призмы.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
   $$f(x) = 4x^3 - 9x^2 - 12x$$
   в промежутке $[-1; 1]$.

4. Решить уравнение
   $$\log_3 (5-x) + 2 \log_3 \sqrt{3-x} = 1.$$

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделайте рисунок) $y = (x-1)^2$, $y=x+1$.

Физика

Задачи устного экзамена

1. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно вслед за другим с интегралом $t = 2$ с, с одинаковыми начальными скоростями $|v_0| = 50$ м/с. Через сколько времени и на какой высоте тела встретиется?

2. Небольшое тело сскальзывает без трения с вершины полусферы радиусом $R$. На какой высоте оно отвергется от поверхности полусферы?

3. Орудие, масса которой $M = 450$ кг, стремяет в горизонтальном направлении. Масса снаряда $m = 5$ кг и начальная скорость его $|v_0| = 450$ м/с. При выстреле ствол отказывается на $s = 45$ см. Определить среднее значение силы торможения, развивающейся в противооткатном устройстве ордия.

4. В баллоне объемом $V = 10$ л содержит водород при температуре $t = 20^\circ$ С под давлением $p = 10^7$ Pa. Какое количество водорода было выпущено из баллона, если при полном сторании оставшегося образование $m = 50$ г воды?

5. На какой глубине пузыре воздуха имеет диаметр, второе меньше, чем у поверхности воды, если барометрическое давление на уровне воды равно $p_0 = 10^5$ Pa? Температура воды считается неизменной на любой глубине. Плотность воды $q = 10^3$ кг/м³.

6. Измерительная прибор с внутренним сопротивлением $R = 75$ Ом имеет skalу на $n = 150$ делений. Цена деления $U_0 = 10$ мВ. Как этим прибором изменить: а) ток до $I = 1,5$ А; б) напряжение до $U = 750$ В?

7. Примолинейный проводник массой $m = 3$ кг, по которой протекает ток $I = 5$ А, поднимается вертикально вверх в однопотном магнитном поле с индукцией $|\vec{B}| = 3$ Тл, двигаясь под углом $\alpha = 30^\circ$ к магнитным линиям. Через $t = 2$ с после начала движения он прибредает скорость $|\vec{v}| = 10$ м/с. Определить длину проводника.