Поупражняйся и проверь себя

41

Попробуйте решить задачи, представленные в 1978—1979 гг. на письменных вступительных экзаменах на физическом, физico-техническом и радиофизическом факультетах Харьковского государственного университета им. А. М. Горького — одного из старейшихузов нашей страны, который в этом году отмечает свой 175-летний юбилей.

1. Найти наиболее в примере a) и наиболее в примере б) значения функций $\varphi_q(x)$ в зависимости от параметра $q$:

a) $\varphi_q(x) = \frac{q^2}{x} - \frac{1}{x-2}$, $x \in [3; 4]$, $q \in ]1; +\infty[$;

b) $\varphi_q(x) = \frac{1}{x^4-4qx^2+5q^2}$, $x \in [-1; 2]$, $q \in \mathbb{R}$.

2. При каком значении параметра $a$ касательные к параболам $y_1(x)$ и $y_2(x)$ в точке их пересечения образуют угол $\varphi$:

a) $y_1(x) = x^2 + 3x$, $y_2(x) = x^2 + x + a$, $\varphi = \pi/3$, $a > -1$;

b) $y_1(x) = x^2 + 3x - 4$, $y_2(x) = x^2 - x + a$, $\varphi = \pi/4$, $a > -2$.

3. Для всех допустимых значений параметра $a$ найти значения $x$, удовлетворяющие уравнением:

a) $\int_0^{2x} (t - \log_2 a) dt = 2 \log_2 \frac{2}{a}$;

b) $\int_0^{4 \cdot \log_2 a} (t^3 - 2at) dt = 5a^2$.

4. Найти $L(a)$, выполив предельный переход при всех допустимых значениях параметра $a$:

a) $L(a) = \sqrt{\lim_{x \to a} \frac{3(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}) (x^2-4ax+3a^2)}{2x(x^3-a^3)}}$;

b) $L(a) = \log_{2a} \left[ \lim_{x \to 0} \frac{ax(a^2-a+x)}{\sqrt{1-ax}-\sqrt{1+ax}} \right]$.

5. Найти наиболее значение минимума функции $f(x)$:

a) $f(x) = a^{2x} - 2 \cdot a^{x+2} + 4 \cdot a^2 + 7$;

b) $f(x) = \log_2^2 x + \log_2 x^{4a} - 6a + 2$.

6. a) Найти сумму $S$ всех попарных скалярных произведений различных векторов, начала которых находится в одной из вершин октаэдра, а концы — в остальных его вершинах, если длина ребра октаэдра равна $l$.

6. Найти сумму $S$ всех попарных скалярных произведений различных векторов, начала которых находится в одной из вершин куба, а концы — в остальных его вершинах, если длина ребра куба равна $l$.

7. a) Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. $P \in [C_1D_1]$, $|C_1P| = |PD_1|$, $Q$ — центр грани $AA_1B_1B$. Найти:

$1^\circ$ расстояние между скрещивающимися прямыми ($PQ$) и ($AC$);

$2^\circ$ расстояние между скрещивающимися прямыми ($PQ$) и ($AC$).

6. Расстояние между двумя скрещивающимися под углом $a$ прямыми $i_1$ и $i_2$ равно $h$. Найти расстояние точки $A \in i_1$ и $B \in i_2$, равносторiasmми от оснований $C \in i_1$ и $D \in i_2$ обещено перепределулара ($CD$) к этим прямым, если $|AC| = |BD| = a$.

8. Найти $p$ и $q$ из условия:

a) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{px^2+1}{qx+2} + x-2 \right) = -1$;

b) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2-1}{x+1} + px+q \right) = 1$.

9. Исследовать функцию $y(x)$ и построить ее график:

a) $y = \cos (3\arcsin x)$;

b) $y = \sin (2\arctg x)$.

10. Решить неравенство для всех допустимых значений параметра $a$: