Московский институт инженеров железнодорожного транспорта

42

a) $\sqrt{1-x^2} \geq 2x+a$;
b) $\sqrt{a^2-x^2} > 4-2x$.
11. Доказать, что при $x \in ]0; 4]$ справедливый неравенства:
a) $6x-4\ln x \geq x^2$;
b) $8x-6\ln x \geq x^2$.
12. Решить уравнения:
a) $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\sin^2 x\right) + \text{tg}(\pi \sin x) = 0$;
b) $\sin 5x + \sin x = 2\text{ctg} \cdot 2x \cdot \sin 11x \cdot \sin 10x$.

13. a) Две вершины треугольника $ABC$ находится в точках $A(-1; -1)$ и $B(4; 5)$, а треугольна лежит на прямой $y=5(x-3)$. Площадь треугольника равна 9,5. Найти координаты вершины $C$.
    b) Через три точки $A(0; 4)$, $B(1; 9)$, $C(3; 7)$ проведена парабола $y=ax^2+bx+c$. Найти уравнение прямой, проходящей через точку $A$ так, что площадь фигуры, ограниченной этой прямой и параболой, равна 8/3.

Вариants
вступительх экзаменов вузы в 1979 году

Московский институт инженеров железнодорожного транспорта Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Площадь прямого углового поля равна $S$ квад. м. Если его длину увеличить на $b$ метров, а ширину уменьшить на $c$ метров, то площадь не изменится. Определить его длину и ширину, если известно, что $S = \frac{k^2}{b^3c^3} - \frac{k}{bc}$, $k > b^2c^2$.

2. Через диагональ боковой грани правильной четырехугольной признамы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость $AKD_1$ под углом $a$ к плоскости основания $ABCD$, пересекающая его по прямой $AK$, $K \in CD$, составляющей угол $\beta < 45^\circ$ с ребром $AD$ длиной $a$. Определить расстояние от вершины $D$ до плоскости сечения.

3. Решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} xy = 20 \\ x^{1/2}y = 2 \end{cases}$$

4. Доказать то же действую
   $$\frac{\text{tg}a + \text{tg}b}{2 \text{tg}\frac{a+\beta}{2}} - 1 = \frac{\sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos \alpha \cos \beta}$$

5. В какой точке кривой $y=ax^2+bx+c$ нужно проверить касательную к ней для того, чтобы касательная проходила через точку $A$ так, что площадь фигуры, ограниченной этой прямой и параболой, равна 8/3.

Вариант 2

1. Два вершины правильного пункта $A$ в пункте $B$. Первый остановил через 42 минуты, не доехав 1 км, а второй через 52 минуты, не доехав 2 км до $B$. Если бы верный вершиндист проекал столько же климетров, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то первому потребовалось бы на 17 минут меньше, чем второму. Сколько климетров между пункцами $A$ и $B$?
2. Доказать, что если длиной сторон треугольника $ABC$ удовлетворяют соотношению $a^2+b^2=5c^2$, то две его медианы, проверенные из вершин $A$ и $B$, взаимно перpendикулярны.
3. Решить уравнение
   $$\log_x \sqrt{5} + \log_x 5x = 2\frac{1}{4} + \log_x^2 \sqrt{5}$$
4. Решить уравнение
   $$\sin (45^\circ+x) - \sin (45^\circ-x) = \frac{\text{tg}\frac{x}{2} + \text{ctg}\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}}$$
5. К кривой $y=1-\frac{x^2}{a^2}$ проведены касательные в точках ее пересечения с осью абсцисс. Определить координаты точки пересечения касательных.

Физика
Задание устино о экзамене

1. Найти начальный и конечную скорости камня, брошенного горизонтально с высоты