Задачи М631—М635; Ф643—Ф647

Квант 1980, №7 с. 22-23 Тег YRXJ

Задачи

M631 — M635; Ф643 — Ф647

M631. Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получащеся число 192021… …7980 на 1980? (8)

В. Федотов

M632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на орбитальную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортных кораблей «Прогресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они смогут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груз. (8—9)

A. Колотов

M633. На диаметре AC неокоторой окружности дана точка E. Проведите через нее хорду BD так, чтобы плошадь четырехугольника ABCD была наиболее широкая. (9)

И. Шарыцин

M634. Обозначим через S(n) сумму всех цифр натурального числа n.
a) Существует ли натуральное n такое, что n + S(n) = 1980?
b) Докажите, что хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представimo в виде n + S(n) для неокоторого третьего натурального числа n. (8)

C. Коняцин

M635. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали более гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никак не простужался, здоровые коротышки заболевали, навсегда своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка более гриппомровно день, причем после этого у него по крайней мере еще один день есть иммунитет — т. е. он здоров и заболеть опять в этот день не может. Не смотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навешает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки заболели о прививках и не делают их. Докажите, что:
a) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь годно долго:

если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится. (8)

А. Колотов

Ф643. С южного и северного полюсов Земли одновременно стартуют две пакеты с одинаковыми начальные скоростями, направленные горизонтально. Через время τ = 3 ч 20 мин пакеты оказались на максимальном удалении друг от друга. Определить максимальное расстояние между пакетами. Ускорение свободного падения на Земле считать известным. Радиус Земли $R_3 = 6400$ km. (10)

С. Козел

Ф644. Цепь, состоящая из двух конденсаторов с емкостими $C_1$ и $C_2$ ( $C_2 > C_1$ ) и двух идеальных диодов $\varDelta_1$ и $\varDelta_2$ (рис. 1) подключена к источнику переменного напряжения $u = U_0$ cos $\omega t$ . Определите зависимости напряжения на конденсаторах от времени в установленном режиме. Изображите полученные зависимости на графике. Сопротивление идеального диода в прямом направлении равно нулю, в обратном — бесконечности. (10)

В. Скороваров

Ф645. Громкоговоритель имеет диффузор с плоскью поперечного сечения $S = 300$ cm $^2$ и массой $m = 5$ г. Резонансная часть диффузора $v_0 = 50$ Гц. Какой оказывается его резонансная часть, если предметить громкоговоритель на стенке закрытого ящика объема $V = 40$ л (рис. 2). Расчет проводится в предположении, что температура воздуха внутри ящика не изменяется при колебании диффузора. (10)

А. Зильберман

Ф646. Направленный поток электровылает из тонкой широкой щели со скоростью $v = 10^5$ м/с (рис. 3). Концентрация электров в потоке $n = 10^{10}$ частиц/м $^3$ . На каком расстоянии от щели толщина пучка увеличится в 2 раза? Масса электрона $m = 9 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м. (9)

А. Зильберман

Ф647. Крупная джедевая капля покинала облака в безветренную погоду на большой высоте. В момент, когда ускорение капли были равным 7,5 м/с $^2$ , ее скорость составляла 20 м/с. Вблизи Земли капля padала с постоянной скоростью и, попав на боковое стекло автоматически, оставила на нем след под углом 30° к вертикали. Оштрафует ли инспектор ГАИ водителя за превышение скорости, если разрешенная скорость движения объема 60 км/ч? Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной квадрату скорости капли. (9)

В. Белонуккин