Решения задач М573, М575—М577; Ф583—Ф585, Ф588

24

М573. Через точку $O$ а) на плоскости; б) в пространстве проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перепendlukулярные другие другие. На прямой $l_1$ взята произвольная точка $A_1$, отличная от $O$. Доказите, что можно выgbать на каждой из остальных прямых по точке $A_i \in l_i$ ($i=2, 3, \dots, 1979$) так, чтобы следующее 1979 пар прямых были взаимно перепendlukулярными:

$$(A_1 A_3) \perp l_2,$$
$$(A_2 A_4) \perp l_3, \dots,$$
$$(A_{i-1} A_{i+1}) \perp l_i, \dots,$$
$$..., (A_{1977} A_{1979}) \perp l_{1978},$$
$$(A_{1978} A_1) \perp l_{1979},$$
$$(A_{1979} A_2) \perp l_1.$$

М573, М575—М577; Ф583—Ф585, Ф588

Выберем на каждой прямой $l_i$ по единному вектору $e_i$. Тогда для точек $A_i \in l_i$ можно написать $\overrightarrow{OA_i} = a_i \overrightarrow{e_i}$. Условие перпендикулярности прямых $A_i A_{i+2}$ и $l_{i+1}$ можно записать в виде $\overrightarrow{A_i A_{i+2}} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = 0$, или, поскольку
$$\overrightarrow{A_i A_{i+2}} = \overrightarrow{OA_i} + \overrightarrow{OA_i},$$
$$(a_{i+2} \overrightarrow{e_{i+2}} - a_i \overrightarrow{e_i}) \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = 0,$$
то есть
$$a_{i+2} \overrightarrow{e_{i+1}} \cdot \overrightarrow{e_{i+2}} = a_i \overrightarrow{e_i} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}}.$$

Положим $\overrightarrow{e_i} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = c_i$ ($i=1, 2, \dots, 1979$; $c_i$ — костиус угла вектора $\overrightarrow{e_i}$ и следующим по номеру вектора $\overrightarrow{e_{i+1}}$; $c_i \neq 0$). Мы получим формулу
$$a_{i+2} = a_i \frac{c_i}{c_{i+1}},$$
(*)

которая позволяет последовательно определить по точке $A_1$ точки $A_3, A_5, \dots, A_{1977}, A_{1979}, A_2, A_4, \dots, A_{1978}$, и, наконец, снова точку $A'_1$ на прямой $l_1$, которая будет совпадать с точкой $A_1$: в силу формулы (*)
$$a'_1 = a_1 \frac{c_1}{c_2} \cdot \frac{c_3}{c_4} \cdot \dots \cdot \frac{c_{1979}}{c_1} \cdot \frac{c_2}{c_3} \cdot \dots \cdot \frac{c_{1978}}{c_{1979}} = a_1.$$

(Формулу (*), конечно же, можно получить, рассматривая также проекти точек $A_i A_{i+2}$ на прямую $l_{i+1}$, — эти проекти должны совпадать, так как $(A_i A_{i+2}) \perp l_{i+1})$.

Н. Васильев

М575. На прямой no порядку расположены точки $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ так, что дины отрезков $A_0 A_1, A_1 A_2, \dots, A_{n-1} A_n$ не преводятся 1. Требуется отметить $k-1$ из точек $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ красным цветом так, чтобы дины любых двух из $k$ частей, на которые отрезок $A_0 A_n$ разбиваем красными точками, отличались не более, чем на 1. Доказите, что это всегда можно сделать а) для $k=3$;
б) для каждого натурального $k<n$.

Сначала сформируем условие задачи несколько инчаe. Будем рассматривать всеозможно расстановки $k+1$ фишек $M_0, M_1, M_2, \dots, M_k$ в точках $A_0, A_1, \dots, A_n$. Рассматрику назовем правильной, если $M_i$ расположена неправеем, чем $M_{i+1}$, и расстояния между $M_i$ и $M_{i+1}$ различаются не более, чем на $1 (0 \leq i < k)$. Тогда исходная задача превращится в такую: доказать, что существует правильная расстановка фишек $M_0, M_1, \dots, M_k$ такая, что $M_0$ находится в $A_0, a M_k - b A_n$. Можно, конечно, что в этой расстановке $M_i$ и $M_j$ попали в одну точку, но тогда, очевидно, $|A_0 A_n| < k-1$ (подумайте сами, что надо делать в этом случае).

Покажем, как из произвольной правильной расстановки фишек получить другую правильную, в которой часть фишек сдинится вправа, а $M_0$ останется на месте. Введем предварительно некоторые обозначения.

Пусть мы имеем расстановку фишек $M_0, M_1, \dots, M_k$. Будем через $M_i$ обозначать также ту точку $A_j$, в которой находится фишка $M_i$, а через $M'_i$ — точку $A_{i+1}$ (если она существует — см. рисунок). В частности, $|M_i M'_i| < 1$. Мы показем, как часть фишек переставить с $M_i$ на $M'_i$ с сохранением правильности расстановки.

Выберем среди расстояний $|M_i M_{i+1}|$ минимальное; пусть это $|M_s M_{s+1}| = a$. Тогда $a \leq |M_i M_{i+1}| \leq a+1$ при всех $i$ (так как расстановка правильная). Если нам удостоим часть фишек вправа с сохранением этих неравенств, то новая расстановка будет правильной. Посмотрим, нет ли среди фишек $M_1, M_2, \dots, M_k$ такой фишки $M_i$, для которой $|M_{i-1} M'_i| \leq a+1$, то есть такой, при сдвиге которой вправа все новые расстояния между фишками не превысят $a+1$. Все такие фишки назовем левоподвижными. Оказывается, левоподвижные фишки существенно. Действительно, такова, например, фишка $M_{s+1}$: $|M_s M'_{s+1}| = |M_s M_{s+1}| + |M_{s+1} M'_{s+1}| = a + |M_s M'_{s+1}| \leq a+1.$

25

Теперь посмотрим, нет ли среди фишек $M_0, M_1, \dots, M_{k-1}$ такой, для которой $|M'_i M_{i+1}| \geq a$, то есть такой, при сдвиге которой вправо ни одно из расстояний между фишками не станет меньше $a$. Такие фишки называем правоподвижными. Правоподвижной, естественно, будет и фишка $M_k$.

Заметим, что если $M_i$ не является левоподвижной, то $|M'_{i-1} M'_i| > a$. В самом деле,
$$|M'_{i-1} M'_i| = |M_{i-1} M'_i| - |M_{i-1} M'_{i-1}| > (a+1) - |M_{i-1} M'_{i-1}| \geq (a+1) - 1 = a.$$
А если фишка $M_i$ не является правоподвижной, то
$$|M'_i M'_{i+1}| = |M'_i M_{i+1}| + |M_{i+1} M'_{i+1}| \leq a+1.$$
Теперь из всех левоподвижных фишек выберем самую правую. Пусть это будет $M_l$. Среди всех правоподвижных фишек из $M_l, M_{l+1}, \dots, M_k$ выберем самую левую. Пусть это будет $M_r$ (возможно, $l=r$). Теперь сливнем фишки $M_l, M_{l+1}, \dots, M_r$ соответственно и показан, что последовательность $M_0, \dots, M_k$ остается правильно.

$$|M_{l-1} M'_l| > |M_{l-1} M_l| \geq a \text{ и } |M_{l-1} M'_l| \leq a+1,$$
так как фишка $M_l$ — левоподвижная.
$$|M'_l M_{r+1}| < |M_r M_{r+1}| \leq a+1 \text{ и } |M'_l M_{r+1}| \geq a,$$
так как фишка $M_r$ — правоподвижная.
При $l \leq i < r$, согласно сделанным выше замечаниям относительно свойств неподвижных фишек, $a < |M'_i M'_{i+1}| \leq a+1$, так как фишка $M_{i+1}$ — не левоподвижная (она стоит правее $M_l$ — самой правой левоподвижной фишки), а $M_i$ — не правоподвижная (она стоит левее $M_r$ — самой левой правоподвижной фишки). Поэтому для всех расстояний $|M_{i-1} M_i|$ остается верным неравенство $a \leq |M_{i-1} M_i| \leq a+1$, $i=1, 2, \dots, k$. Надо, права, еще доказать, что фишка $M_i$ не может оказаться правее фишки $M_{l+1}$, но это понятно, так как если равные $M_i = M_{i+1}$, то фишка $M_{i+1}$ — левоподвижная и, значит, фишка $M_i$ дивитаться не могла. Итак, мы добились следующего: из любой правильной последовательности сдигом неекоторой части фишек $M_1, M_2, \dots, M_k$ на соседние точки ($M_i$ сдигалов в $M'_i$) вправо получена новая правильная последовательность.

Отметим интересную роль, которое сыграли в этом процессе фишки $M_s$ и $M_k$. Они сами в операции, быть может, не участвовали, но их наличие обеспечило существование необходимых нам фишек $M_l$ и $M_r$.

Теперь завершить доказательство совсем просто. Поместим все фишки $M_0, \dots, M_k$ в $A_0^*$ — эта последовательность, оченьindo, правильная — и научем применить процесс.

Расстановка фишек по точкам все время меняется, причем каждая фишка движется лишь вправо. Ясно, что после неекоторого количества таких операций фишка $M_k$ придет в точку $A_n$, что и требовалось.

Другие известные решения задачи использовать такжерупедуру (говора в терминах приведенного выше решения): сначала фишки $M_0$ и $M_k$ закрылиют в точках $A_0$ и $A_n$ соответственно, а остальные расставляют произвольно; затем перевищем фишек $M_1, M_2, \dots, M_k-1$ добавляются требуемого. (Этот подход сразу какется наиболее естественным, поэтому так неожиданна идея изложенного решения: не закрылять фишку $M_k$.)

В. Гальперин

M576. На плоскости данной точке. Для некоторых пар ($A; B$) этих точек взяты векторы $AB$, причем так, что в каждой точке начинается столь же векторов, сколько в ней заканчивается. Доказите, что сумма всех выбранных векторов равна $\vec{0}$.

Эту задачу можно решать многоимплицы способами. Приведем два из них.

Первое решение. Применим индекцию по числу векторов. Для $n=2$ имеем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, сумма которых есть $\vec{0}$. Пусть утверждение справедливо для $n$ векторов. Расстояние системы из $n+1$ векторов. Заменим в этой системе

*) Или в точки $A_0, A_1, A_2, \dots, A_k$.

26

два вектора $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ их суммой $\vec{AC}$. Векторы новой системы будут продолжать удовлетворять условиям задачи. Поэтому, по предположению индукции, их сумма равна 0. Но сумма векторов исходной системы, очевидно, равна сумме векторов полученной системы.

Второе решение. Запишем каждый из данных векторов в виде $\vec{A}_i\vec{A}_j = \vec{OA}_j - \vec{OA}_i$, где $O$ — произвольная фиксированная точка. В силу условия задачи, в рассмотрению сумму каждой из векторов $\vec{OA}_i$ войдет со знаком «+» столько же раз, сколько со знаком «-». Значит, все сумма равна 0.

В. Произвольов

M577. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размерами

а) $8 \times 8$ клеток.
б) $n \times n$ клеток для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-лобо стороне или диagonали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)

Ответ: $2n$ фишек при $n$ четном (в частности, 16 при $n=8$), и $2n+1$ — при $n$ нечетном.

Одна из возможных расстановок фишек показана на рисунках 1 и 2. Докажем, что меньше количество фишек обойтись неудостяя.

Начнем с более трудного случая нечетного $n$ (рис. 2). Очевидно, на каждом из красных отрезков, параллельных диагоналям и расположенных в неугольного квадрата, должно стоять по фишке; этих отрезков $2n-2$. На каждом из голубых отрезков тоже должны стоять фишка. Покажем, что для этого придется добавить еще не менее трех фишек; действительно, чтобы фишками «закрыть» все четыре стороны голубого квадрата, их пришлось бы поставить в противоположные вершины этого квадрата, но тогда осталась бы свободной диагональ квадрата.

Рис. 1. Рис. 2.

Случай четного $n$ теперь оченьiden: здесь просто указывается $2n$ непересекающихся отрезков, параллельных диагоналям (рис. 1).

Предлагаем читательм выяснить, сколько существует различных расстанов наименьшего количества фишек, удовлетворющих условиям (для разных $n$), и обобщить задачу на случай прямогольных доск размером $m \times n$. Было бы также интересно исследовать различные пространственные аналоги этой задачи (возникающие здесь вопросы, видимо, очень трудны; см. статью «Расстановка кубиков» — «Квант», 1972, № 4).

Н. Васильев

Ф583. Наблюдаатель движения с постоянной скоростью вольнекоторой наклонной прямой. Брошенное под углом к горизонту тelo пересекает траекторию наблюдаателя движения с интервалом времени т. Оба раза тело находится

В системе отсчета, связанной с Землей, обозначаем $\vec{v}_0$ скорость наблюдаателя, а $\vec{v}_1$ скорость тела в тот момент времени $t_0$, в котором оно в первый раз пересекает траекторию наблюдаателя. В системе отсчета, движущейся равномерно со скоростью $\vec{v}_0$, наблюдаатель неподвижен, а тело в момент времени $t_0$ имеет скорость $\vec{v} = \vec{v}_1 + (-\vec{v}_0) = \vec{v}_1 - \vec{v}_0$. Так как система отсчета движения относительно Земля равномерно, ускорение

27

дится впереди наблюдается на одном и том же расстоянии от него. Как выглядит с точки зрения наблюдается траектория тела?
После второго пересечения наблюдается изменяет пути, прошеденные телом за последовательные равные промежутки времени dlительности т. Найдите относение этих путей.

Следовательно, в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью $\vec{v}_0$ относительно Земли, тело движется по параболе.

По условияю задачи тела пересекает наклонную прямую оба раза на одном и том же расстоянии от наблюдаателя впереди него. Это означает, что с точки зрения наблюдаателя тела движется по вертикальной прямой, то есть как тело, брошенное вертикально вверх.

Векторы $\vec{v}_0$ и $\vec{v}_1$ таковы, что вектор $\vec{v}$ вертикален (см. рисунок).

В движущейся системе отсчета уравнение движения тела в проекции на вертикальной ось $Y$, направленную вверх,

$$y = y_0 + vt - \frac{gt^2}{2}.$$

При $t = t_0 = 0$ (отчет времени началаем с момента первого пересечения телом траектории наблюдается) и при $t = \tau$ значения координаты тела совпадают: $y = y_0$, то есть

$$y_0 = y_0 + vt - \frac{g\tau^2}{2}.$$

Отсюда

$$v\tau - \frac{g\tau^2}{2} = 0 \Rightarrow v = \frac{g\tau}{2}.$$

Следовательно, уравнение тела в движущейся системе отсчета имеет вид

$$y = y_0 + \frac{g\tau}{2}t - \frac{gt^2}{2}.$$

Найдем относение пути, проходных телом за последовательно равные промежутки времени т. При $t = n\tau$

$$y_n = y_0 + n\frac{g\tau^2}{2} - n^2\frac{g\tau^2}{2};$$

при $t = (n + 1)\tau$

$$y_{n+1} = y_0 + (n + 1)\frac{g\tau^2}{2} - (n + 1)^2\frac{g\tau^2}{2};$$

таким образом,

$$\Delta y_n = y_{n+1} - y_n = ng\tau^2.$$

За первый промежуток времени т изменение координаты тела равно нулю: $\Delta y_0 = y_1 - y_0 = 0$ ($n = 0$); за второй промежуток времени т (после второго пересечения телом траектории наблюдается) — $\Delta y_1 = g\tau^2$; $\Delta y_2 = 2g\tau^2$ и т. д.

Следовательно, относение пути, проходных телом после второго пересечения траектории наблюдается за последовательно равные промежутки времени т, равно

$$\Delta y_1 : \Delta y_2 : \Delta y_3 \dots = 1 : 2 : 3...$$

М. Кицай

Ф584. В небольшие тонкостенную металлическую картило наалили 0,5 л воды, поставили картило на плиту и, изменяя температуру воды в различных моменты времени, поставили график зависимости температуры от времени. Затем воду выили, в картило наалили 0,7 кг спирта и, поставив картило на ту же сamyю плиту, поставили график зависимости температуры спирта от времени. Оба графика приведены на рисунке 1. Получая эти графики,

Обозначим $q$ кольцево теплоты, отделаемое плитой за единицу времени. За малый промежуток времени $\Delta t$ количество теплоты, отделаемое плитой, отделаемое плитой, равно $Q = q\Delta t$. Это тепло расходется на подогрев картилю, на подогрев жидкости и на теплотадuctу в окружающей пространстве. При малом $\Delta t$ температура $\Theta$ картило с жидкостью меняется независимо, и поэтому можно считать, что теплотадча $Q_1$ пропорциональна разности температуры картило ($\Theta$) и окружающей среды ($\Theta_0$) и времени $\Delta t$, то есть $Q_1 = \alpha(\Theta - \Theta_0)\Delta t$, где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности.

Запишем закон сохранения энергии для случая, когда наплите стопт картило с водой:

$$Q = q\Delta t = c_bm\Delta \Theta + C\Delta \Theta + \alpha(\Theta - \Theta_0)\Delta t,$$

где $c_b = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) — удельная тепловкость воды, $m_b = 0,5$ кг — масса воды, $\Delta \Theta$ — изменение температуры воды

29

казывает 3 А. Какие точки протекают через амператоры $A_3$, $A_4$ и резистор? Найдиите относение внутреннего сопротивления амператора к сопротивлению резистора.

$$I_1r + I_3r = I_2r \Rightarrow I_3 = I_2 - I_1 = 1 \text{ A.}$$

Через амператор $A_4$ течение ток

$$I_4 = I_2 + I_3 = 4 \text{ A.}$$

Через резистор течение ток

$$I = I_1 - I_3 = 1 \text{ A.}$$

Напряжение между точками $c$ и $d$ равно $U_{cd} = IR$; в то же время $U_{cd} = I_3r + I_4r$. Таким образом,

$$IR = (I_3 + I_4)r.$$

Отсюда находится r/R:

$$\frac{r}{R} = \frac{I}{I_3 + I_4} = \frac{1}{5}.$$

В. Скороваров

Ф588. Рисунок 1 (вид сверху) сделан с фотографием шлейфов дыма, тянущихся от трех паровозов, которые движутся по прямолинейному участку железнодорожного пути. Скорость первого паровоза $|\vec{v}_1| = 50 \text{ km/ч}$, а второе — $|\vec{v}_2| = 70 \text{ km/ч}$, направления их движения указаны на рисунке стрелками. Какова скорость третьего паровоза?

Прежде всего выясним, чем определяется направление шлейфа дыма. Клуб дыма, выпущенный паровозом в точке $A$, через время $t$ будет снесен ветром в точку $C$ такую, что $\vec{AC} = \vec{ut}$, где $\vec{u}$ — скорость ветра (рис. 2). Поезд же через время $t$ оказывается в точке $B$ такой, что $\vec{AB} = \vec{vt}$, где $\vec{v}$ — скорость поезда. Очевидно, что направление шлейфа дыма идет вдоль вектора разности векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$, или, что то же, вдоль вектора $d$, равного разности векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Найдем скорость ветра. Нарисуем в произвольном масштабе вектор $\vec{v}_1$; затем из начала $O$ вектора $\vec{v}_1$ проведем в том же масштабе вектор $\vec{v}_2$; из концов векторов $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$:

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

проведем прямые, параллельные соответствующим шлейфам дыма (рис. 3). Точка $K$ пересечения этих прямых соединним с точкой $O$. Вектор $\vec{OK}$ и представляет в выбранном нами масштабе вектор скорости ветра, так как вектор разности $\vec{OK} - \vec{v}_1$ идет вдоль шлейфа дыма от первого паровоза. Нарисуем шлейфа дыма, выпускаемого им, должны идти вдоль вектора разности $\vec{OK} - \vec{v}_3$. Проведем через $K$ прямую, параллельную шлейфу дыма от третьего паровоза. Пересечение этой прямой с вектором $\vec{v}_2$ определяет $\vec{v}_3$. Измерив длину $\vec{v}_3$, зная масштаб, в котором построены все векторы, найдем $|\vec{v}_3|$:

$$|\vec{v}_3| = 40 \text{ km/ч}.$$

И. Слободецкий