Lời giải bài toán M573, M575—M577; F583—F585, F588

24

M573. Qua điểm $O$ a) trên mặt phẳng; b) Có 1979 đường thẳng trong không gian, trong đó không có hai đường thẳng nào vuông góc với các đường thẳng khác. Một điểm tùy ý $A_1$, khác với $O$, được lấy trên đường $l_1$. Chứng minh rằng bạn có thể chọn mỗi đường thẳng còn lại tại điểm $A_i \in l_i$ ($i=2, 3, \dots, 1979$) sao cho 1979 cặp đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

$$(A_1 A_3) \perp l_2,$$
$$(A_2 A_4) \perp l_3, \dots,$$
$$(A_{i-1} A_{i+1}) \perp l_i, \dots,$$
$$..., (A_{1977} A_{1979}) \perp l_{1978},$$
$$(A_{1978} A_1) \perp l_{1979},$$
$$(A_{1979} A_2) \perp l_1.$$

M573, M575—M577; F583—F585, F588

Trên mỗi đường thẳng $l_i$ chúng ta chọn một vectơ duy nhất $e_i$. Sau đó, đối với điểm $A_i \in l_i$ chúng ta có thể viết $\overrightarrow{OA_i} = a_i \overrightarrow{e_i}$. Điều kiện vuông góc của đường thẳng $A_i A_{i+2}$ và $l_{i+1}$ có thể viết dưới dạng $\overrightarrow{A_i A_{i+2}} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = 0$, hoặc, vì
$$\overrightarrow{A_i A_{i+2}} = \overrightarrow{OA_i} + \overrightarrow{OA_i},$$
$$(a_{i+2} \overrightarrow{e_{i+2}} - a_i \overrightarrow{e_i}) \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = 0,$$
đó là
$$a_{i+2} \overrightarrow{e_{i+1}} \cdot \overrightarrow{e_{i+2}} = a_i \overrightarrow{e_i} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}}.$$

Chúng ta đặt $\overrightarrow{e_i} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = c_i$ ($i=1, 2, \dots, 1979$; $c_i$ là giá trị góc của vectơ $\overrightarrow{e_i}$ và tiếp theo là số của vectơ $\overrightarrow{e_{i+1}}$; $c_i \neq 0$). Chúng ta sẽ nhận được công thức
$$a_{i+2} = a_i \frac{c_i}{c_{i+1}},$$
(*)

cho phép bạn xác định tuần tự từ điểm $A_1$ các điểm $A_3, A_5, \dots, A_{1977}, A_{1979}, A_2, A_4, \dots, A_{1978}$, và cuối cùng, lại là điểm $A'_1$ trên dòng $l_1$, điểm này sẽ trùng với điểm $A_1$: nhờ công thức (*)
$$a'_1 = a_1 \frac{c_1}{c_2} \cdot \frac{c_3}{c_4} \cdot \dots \cdot \frac{c_{1979}}{c_1} \cdot \frac{c_2}{c_3} \cdot \dots \cdot \frac{c_{1978}}{c_{1979}} = a_1.$$

(Tất nhiên, có thể thu được công thức (*) bằng cách xét các hình chiếu của các điểm $A_i A_{i+2}$ lên đường thẳng $l_{i+1}$ - các hình chiếu này phải trùng nhau, vì $(A_i A_{i+2}) \perp l_{i+1})$.

N. Vasiliev

M575. Trên một dòng số, các điểm $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ được sắp xếp theo thứ tự sao cho độ dài của các đoạn $A_0 A_1, A_1 A_2, \dots, A_{n-1} A_n$ không quy về 1. Cần đánh dấu $k-1$ trong số các điểm $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ bằng màu đỏ sao cho độ dài của hai phần bất kỳ trong số $k$ mà đoạn $A_0 A_n$ được chia bởi các chấm đỏ khác nhau không quá 1. Chứng minh rằng điều này có thể luôn luôn được thực hiện a) cho $k=3$;
b) với mọi $k<n$ tự nhiên.

Đầu tiên, chúng ta xây dựng điều kiện bài toán nhiều lần. Chúng tôi sẽ xem xét tất cả các cách sắp xếp có thể có của $k+1$ chip $M_0, M_1, M_2, \dots, M_k$ tại các điểm $A_0, A_1, \dots, A_n$. Chúng tôi gọi một sự cân nhắc là chính xác nếu $M_i$ được đặt sai vị trí hơn $M_{i+1}$ và khoảng cách giữa $M_i$ và $M_{i+1}$ khác nhau không quá $1 (0 \leq i < k)$. Khi đó bài toán ban đầu sẽ trở thành thế này: chứng minh rằng có một cách sắp xếp đúng các chip $M_0, M_1, \dots, M_k$ sao cho $M_0$ nằm trong $A_0, a M_k - b A_n$. Tất nhiên, có thể trong cách sắp xếp này $M_i$ và $M_j$ đạt cùng một điểm, nhưng sau đó, rõ ràng là $|A_0 A_n| < k-1$ (hãy tự suy nghĩ xem cần phải làm gì trong trường hợp này).

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách từ một cách sắp xếp các con chip đúng tùy ý, chúng ta có thể thu được một con chip đúng khác, trong đó một số con chip di chuyển sang bên phải và $M_0$ vẫn giữ nguyên vị trí. Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu một số ký hiệu.

Hãy để chúng tôi sắp xếp các con chip $M_0, M_1, \dots, M_k$. Chúng ta cũng sẽ biểu thị bằng $M_i$ điểm $A_j$ nơi đặt chip $M_i$ và bằng $M'_i$ điểm $A_{i+1}$ (nếu nó tồn tại, hãy xem hình). Cụ thể là $|M_i M'_i| < 1$. Chúng tôi sẽ hướng dẫn cách sắp xếp lại một số chip từ $M_i$ đến $M'_i$ trong khi vẫn duy trì đúng vị trí.

Hãy chọn mức tối thiểu trong số các khoảng cách $|M_i M_{i+1}|$; hãy để nó là $|M_s M_{s+1}| = a$. Sau đó $a \leq |M_i M_{i+1}| \leq a+1$ cho tất cả $i$ (vì sự sắp xếp đúng). Nếu chúng ta đưa một số quân cờ sang bên phải trong khi vẫn duy trì những bất đẳng thức này thì cách sắp xếp mới sẽ đúng. Hãy xem liệu trong số các chip $M_1, M_2, \dots, M_k$ có một chip $M_i$ mà $|M_{i-1} M'_i| \leq a+1$, tức là một chip sao cho khi dịch chuyển sang phải, tất cả khoảng cách mới giữa các chip sẽ không vượt quá $a+1$. Chúng tôi sẽ gọi tất cả các chip như vậy là chuyển động trái. Hóa ra những con chip chuyển động trái là cần thiết. Thật vậy, ví dụ như đây là con chip $M_{s+1}$: $|M_s M'_{s+1}| = |M_s M_{s+1}| + |M_{s+1} M'_{s+1}| = a + |M_s M'_{s+1}| \leq a+1.$

25

Bây giờ chúng ta hãy xem liệu trong số các chip $M_0, M_1, \dots, M_{k-1}$ có một chip nào chứa $|M'_i M_{i+1}| \geq a$, tức là một chip sao cho khi dịch chuyển sang phải, không có khoảng cách nào giữa các chip sẽ nhỏ hơn $a$. Chúng tôi gọi những con chip đó là chuyển động bên phải. Đương nhiên, chip $M_k$ cũng sẽ di chuyển sang bên phải.

Lưu ý rằng nếu $M_i$ không thể di chuyển sang trái thì $|M'_{i-1} M'_i| > a$ sẽ được di chuyển. Trong thực tế,
$$|M'_{i-1} M'_i| = |M_{i-1} M'_i| - |M_{i-1} M'_{i-1}| > (a+1) - |M_{i-1} M'_{i-1}| \geq (a+1) - 1 = a.$$
Và nếu con chip $M_i$ không di chuyển sang phải thì
$$|M'_i M'_{i+1}| = |M'_i M_{i+1}| + |M_{i+1} M'_{i+1}| \leq a+1.$$
Bây giờ, trong số tất cả các con chip di chuyển sang trái, hãy chọn con chip bên phải. Hãy để nó là $M_l$. Trong số tất cả các quân cờ di chuyển sang phải từ $M_l, M_{l+1}, \dots, M_k$, chúng tôi chọn quân cờ ngoài cùng bên trái. Đặt nó là $M_r$ (có lẽ $l=r$). Bây giờ chúng tôi hợp nhất các chip $M_l, M_{l+1}, \dots, M_r$ cho phù hợp và cho thấy rằng chuỗi $M_0, \dots, M_k$ vẫn đúng.

$$|M_{l-1} M'_l| > |M_{l-1} M_l| \geq a \text{ и } |M_{l-1} M'_l| \leq a+1,$$
vì chip $M_l$ có thể di chuyển sang trái.
$$|M'_l M_{r+1}| < |M_r M_{r+1}| \leq a+1 \text{ и } |M'_l M_{r+1}| \geq a,$$
vì chip $M_r$ đang di chuyển sang phải.
Đối với $l \leq i < r$, theo nhận xét ở trên liên quan đến thuộc tính của mã thông báo cố định, $a < |M'_i M'_{i+1}| \leq a+1$, vì mã thông báo $M_{i+1}$ không thể di chuyển sang trái (nó đứng ở bên phải của $M_l$ - mã thông báo có thể di chuyển sang trái ngoài cùng bên phải) và $M_i$ không thể di chuyển sang phải (nó đứng ở bên trái của $M_r$ - mã thông báo có thể di chuyển bằng tay phải nhiều nhất bằng tay trái). Do đó, với mọi khoảng cách $|M_{i-1} M_i|$ bất đẳng thức $a \leq |M_{i-1} M_i| \leq a+1$, $i=1, 2, \dots, k$ vẫn đúng. Cũng cần phải chứng minh rằng quân $M_i$ không thể ở bên phải quân $M_{l+1}$, nhưng điều này cũng dễ hiểu, vì nếu $M_i = M_{i+1}$ bằng nhau thì quân $M_{i+1}$ chuyển động sang trái và do đó quân $M_i$ không thể di chuyển. Vì vậy, chúng tôi đã đạt được những điều sau: từ bất kỳ chuỗi đúng nào, bằng cách dịch chuyển một phần của chip $M_1, M_2, \dots, M_k$ sang các điểm lân cận ($M_i$ dịch chuyển theo $M'_i$) sang bên phải, sẽ thu được một chuỗi đúng mới.

Chúng ta hãy lưu ý vai trò thú vị của các chip $M_s$ và $M_k$ trong quá trình này. Bản thân họ có thể không tham gia vào hoạt động này, nhưng sự hiện diện của họ đảm bảo sự tồn tại của các con chip $M_l$ và $M_r$ mà chúng tôi cần.

Bây giờ hoàn thành việc chứng minh là khá dễ dàng. Hãy đặt tất cả các khối $M_0, \dots, M_k$ vào $A_0^*$ - trình tự này rất chính xác - và hướng dẫn bạn cách áp dụng quy trình.

Vị trí của các chip trên các điểm luôn thay đổi, mỗi chip chỉ di chuyển về bên phải. Rõ ràng là sau một số thao tác nhất định, mã thông báo $M_k$ sẽ đến điểm $A_n$, đây là điểm bắt buộc.

nổi tiếng khác lời giải bài toán cũng sử dụng rupeduru (nói theo cách nói trên lời giải): chip đầu tiên $M_0$ Và $M_k$ sẽ đóng cửa tại các điểm $A_0$ Và $A_n$ cho phù hợp và phần còn lại được sắp xếp tùy ý; sau đó chúng ta sẽ di chuyển các con chip $M_1, M_2, \dots, M_k-1$ những cái cần thiết được thêm vào. (Cách tiếp cận này ngay lập tức có vẻ tự nhiên nhất, đó là lý do tại sao ý tưởng được trình bày lại rất bất ngờ. lời giải: không đóng chip $M_k$.)

V. Galperin

M576. Trên một mặt phẳng tại một điểm nhất định. Đối với một số cặp ($A; B$) của các điểm này, vectơ $AB$ được lấy và theo cách sao cho tại mỗi điểm có số vectơ bắt đầu bằng số số kết thúc tại đó. Chứng minh rằng tổng của tất cả các vectơ đã chọn bằng $\vec{0}$.

bài toán này có thể được giải quyết bằng nhiều cách. Hãy cho hai trong số họ.

Đầu tiên là lời giải. Chúng ta hãy áp dụng quy nạp theo số lượng vectơ. Đối với $n=2$, chúng ta có vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$, tổng của chúng là $\vec{0}$. Giả sử câu phát biểu đúng với vectơ $n$. Hệ thống khoảng cách của vectơ $n+1$. Chúng tôi sẽ thay thế nó trong hệ thống này

*) Hoặc tại các điểm $A_0, A_1, A_2, \dots, A_k$.

26

hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ tổng của chúng $\vec{AC}$. Các vectơ của hệ thống mới sẽ tiếp tục thỏa mãn điều kiện bài toán. Do đó, theo giả thuyết quy nạp, tổng của chúng bằng 0. Nhưng tổng các vectơ của hệ ban đầu hiển nhiên bằng tổng các vectơ của hệ thu được.

Thứ hai lời giải. Chúng ta hãy viết từng vectơ này dưới dạng $\vec{A}_i\vec{A}_j = \vec{OA}_j - \vec{OA}_i$, trong đó $O$ là một điểm cố định tùy ý. Do điều kiện bài toán, tổng của mỗi vectơ $\vec{OA}_i$ sẽ được đưa vào xét với dấu “+” nhiều lần như với dấu “-”. Điều này có nghĩa là toàn bộ số tiền là 0.

V. Proizvolov

M577. Số quân nhỏ nhất cần đặt trên các ô vuông của bàn cờ có kích thước là bao nhiêu

a) $8 \times 8$ ô.
b) $n \times n$ ô sao cho trên mỗi đường thẳng đi qua tâm của một trường tùy ý và song song với một cạnh hoặc đường chéo nào đó của bàn cờ thì có ít nhất một quân cờ? (Phi được đặt ở giữa các ô.)

Đáp số: $2n$ chip khi $n$ chẵn (cụ thể là 16 khi $n=8$) và $2n+1$ khi $n$ lẻ.

Một trong những vị trí có thể đặt chip được hiển thị trong Hình 1 và 2. Chúng ta hãy chứng minh rằng có thể thực hiện được số lượng chip nhỏ hơn mà không tốn phí.

Hãy bắt đầu với trường hợp lẻ $n$ khó hơn (Hình 2). Rõ ràng, trên mỗi đoạn màu đỏ, song song với các đường chéo và nằm trong một hình vuông không vuông góc thì phải có một con chip; những phân đoạn này $2n-2$. Cũng phải có một con chip trên mỗi đoạn màu xanh lam. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng để làm được điều này, bạn sẽ phải thêm ít nhất ba chip nữa; Thật vậy, để “che phủ” bốn cạnh của hình vuông màu xanh bằng các con chip, chúng sẽ phải được đặt ở các đỉnh đối diện của hình vuông này, nhưng khi đó đường chéo của hình vuông sẽ vẫn tự do.

Hình 1. Hình 2.

Trường hợp chẵn $n$ hiện đã rất rõ ràng: ở đây chúng ta chỉ cần chỉ định $2n$ của các đoạn rời rạc song song với các đường chéo (Hình 1).

Mời độc giả tìm hiểu xem có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau với số mảnh nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (đối với các $n$ khác nhau) và khái quát hóa bài toán cho trường hợp bảng hình chữ nhật có kích thước $m \times n$. Cũng sẽ rất thú vị khi khám phá nhiều điểm tương tự về không gian của bài toán này (các câu hỏi nảy sinh ở đây dường như rất khó; xem bài viết “Sắp xếp các hình khối” - «Kvant», 1972, số 4).

N. Vasiliev

F583. Người quan sát chuyển động có vận tốc không đổi dọc theo một đường thẳng nghiêng nhất định. Một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời sẽ cắt quỹ đạo của người quan sát chuyển động trong khoảng thời gian t. Cả hai lần xác định được thi thể

Trong hệ quy chiếu liên kết với Trái đất, chúng tôi biểu thị bằng $\vec{v}_0$ tốc độ của người quan sát và $\vec{v}_1$ tốc độ của vật thể tại thời điểm đó $t_0$ mà tại đó nó lần đầu tiên giao với quỹ đạo của người quan sát. Trong một hệ quy chiếu chuyển động đều với tốc độ $\vec{v}_0$, người quan sát đứng yên và vật tại thời điểm $t_0$ có tốc độ $\vec{v} = \vec{v}_1 + (-\vec{v}_0) = \vec{v}_1 - \vec{v}_0$. Vì hệ quy chiếu của chuyển động so với Trái đất là đồng nhất nên gia tốc

27

phía trước được quan sát ở cùng một khoảng cách với nó. Quỹ đạo của cơ thể trông như thế nào từ quan điểm được quan sát?
Sau giao điểm thứ hai, có sự thay đổi đường đi của vật trong các khoảng thời gian bằng nhau liên tiếp trong khoảng thời gian t. Tìm mối quan hệ của những con đường này.

Do đó, trong một hệ quy chiếu chuyển động với tốc độ không đổi $\vec{v}_0$ so với Trái đất, vật chuyển động dọc theo một hình parabol.

Theo điều kiện, bài toán của vật cắt đường nghiêng cả hai lần ở cùng một khoảng cách tính từ người quan sát phía trước. Điều này có nghĩa là theo quan điểm của người quan sát, vật chuyển động theo đường thẳng đứng, tức là giống như một vật được ném thẳng đứng lên trên.

Các vectơ $\vec{v}_0$ và $\vec{v}_1$ sao cho vectơ $\vec{v}$ thẳng đứng (xem hình).

Trong hệ quy chiếu chuyển động, phương trình chuyển động của vật thể chiếu lên trục thẳng đứng $Y$, hướng lên trên,

$$y = y_0 + vt - \frac{gt^2}{2}.$$

Tại $t = t_0 = 0$ (chúng ta bắt đầu tính thời gian kể từ thời điểm vật lần đầu tiên đi qua quỹ đạo quan sát được) và tại $t = \tau$ các giá trị tọa độ của vật trùng nhau: $y = y_0$, tức là

$$y_0 = y_0 + vt - \frac{g\tau^2}{2}.$$

Từ đây

$$v\tau - \frac{g\tau^2}{2} = 0 \Rightarrow v = \frac{g\tau}{2}.$$

Do đó phương trình của vật trong hệ quy chiếu chuyển động có dạng

$$y = y_0 + \frac{g\tau}{2}t - \frac{gt^2}{2}.$$

Chúng ta hãy tìm tỉ số của các quãng đường mà vật đi qua trong những khoảng thời gian t liên tiếp bằng nhau. Đối với $t = n\tau$

$$y_n = y_0 + n\frac{g\tau^2}{2} - n^2\frac{g\tau^2}{2};$$

tại $t = (n + 1)\tau$

$$y_{n+1} = y_0 + (n + 1)\frac{g\tau^2}{2} - (n + 1)^2\frac{g\tau^2}{2};$$

Như vậy,

$$\Delta y_n = y_{n+1} - y_n = ng\tau^2.$$

Trong khoảng thời gian đầu tiên t, độ biến thiên tọa độ của vật bằng 0: $\Delta y_0 = y_1 - y_0 = 0$ ($n = 0$); trong khoảng thời gian thứ hai t (sau khi quan sát được điểm giao nhau thứ hai của vật với quỹ đạo) - $\Delta y_1 = g\tau^2$; $\Delta y_2 = 2g\tau^2$, v.v.

Do đó, tỷ số của các đường mà vật đi qua sau giao điểm thứ hai của quỹ đạo được quan sát trong các khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau t bằng

$$\Delta y_1 : \Delta y_2 : \Delta y_3 \dots = 1 : 2 : 3...$$

M. Kitsay

F584. 0,5 lít nước được đổ vào một xe đẩy nhỏ bằng kim loại có thành mỏng, xe đẩy được đặt trên bếp và bằng cách thay đổi nhiệt độ của nước tại các thời điểm khác nhau, người ta vẽ được đồ thị về nhiệt độ theo thời gian. Sau đó đổ nước ra, đổ 0,7 kg rượu vào xe và đặt xe lên cùng một bếp, vẽ đồ thị nhiệt độ của rượu theo thời gian. Cả hai biểu đồ được hiển thị trong Hình 1. Bằng cách thu được các biểu đồ này,

Chúng ta biểu thị bằng $q$ vòng nhiệt do tấm tạo ra trong một đơn vị thời gian. Trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ lượng nhiệt tỏa ra bởi tấm, do tấm tỏa ra là $Q = q\Delta t$. Lượng nhiệt này được dùng để làm nóng sụn, làm nóng chất lỏng và truyền nhiệt ra không gian xung quanh. Ở mức nhỏ $\Delta t$, nhiệt độ $\Theta$ của sụn với chất lỏng thay đổi độc lập và do đó chúng ta có thể giả sử rằng sự truyền nhiệt $Q_1$ tỷ lệ thuận với chênh lệch giữa nhiệt độ của sụn ($\Theta$) và môi trường ($\Theta_0$) và thời gian $\Delta t$, tức là $Q_1 = \alpha(\Theta - \Theta_0)\Delta t$, trong đó $\alpha$ là tỷ lệ hệ số.

Hãy viết định luật bảo toàn năng lượng cho trường hợp bạn đổ đầy nước vào cốc:

$$Q = q\Delta t = c_bm\Delta \Theta + C\Delta \Theta + \alpha(\Theta - \Theta_0)\Delta t,$$

trong đó $c_b = 4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K) là nhiệt dung riêng của nước, $m_b = 0,5$ kg là khối lượng của nước, $\Delta \Theta$ là độ biến thiên của nhiệt độ nước

29

chỉ ra 3 A. Những điểm nào chạy qua các ampe $A_3$, $A_4$ và điện trở? Tìm tỉ số giữa điện trở trong của ampe kế và điện trở của điện trở.

$$I_1r + I_3r = I_2r \Rightarrow I_3 = I_2 - I_1 = 1 \text{ A.}$$

Dòng điện chạy qua ampe $A_4$

$$I_4 = I_2 + I_3 = 4 \text{ A.}$$

Dòng điện chạy qua điện trở

$$I = I_1 - I_3 = 1 \text{ A.}$$

Điện áp giữa các điểm $c$ và $d$ là $U_{cd} = IR$; đồng thời $U_{cd} = I_3r + I_4r$. Như vậy,

$$IR = (I_3 + I_4)r.$$

Từ đây đến r/R:

$$\frac{r}{R} = \frac{I}{I_3 + I_4} = \frac{1}{5}.$$

V. Skorovarov

F588. Hình 1 (nhìn từ trên xuống) là ảnh chụp các đám khói bốc ra từ ba đầu máy xe lửa di chuyển dọc theo một đoạn thẳng của đường ray. Tốc độ của đầu máy thứ nhất là $|\vec{v}_1| = 50 \text{ km/ч}$, và đầu máy thứ hai là $|\vec{v}_2| = 70 \text{ km/ч}$, hướng chuyển động của chúng được biểu thị trong hình bằng các mũi tên. Vận tốc của đầu máy thứ ba là bao nhiêu?

Trước hết, chúng ta hãy tìm hiểu điều gì quyết định hướng của chùm khói. Một đám khói do đầu máy thoát ra tại điểm $A$, sau thời gian $t$ sẽ bị gió thổi đến điểm $C$ sao cho $\vec{AC} = \vec{ut}$, trong đó $\vec{u}$ là tốc độ gió (Hình 2). Con tàu, sau thời gian $t$, sẽ dừng lại ở điểm $B$ sao cho $\vec{AB} = \vec{vt}$, trong đó $\vec{v}$ là tốc độ của con tàu. Rõ ràng là hướng của chùm khói đi dọc theo vectơ chênh lệch giữa các vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$, hoặc, giống nhau, dọc theo vectơ $d$, bằng hiệu giữa các vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

Hãy tìm tốc độ gió. Hãy vẽ vectơ $\vec{v}_1$ theo tỷ lệ tùy ý; thì từ đầu $O$ của vectơ $\vec{v}_1$ chúng ta vẽ vectơ $\vec{v}_2$ trên cùng một tỷ lệ; từ điểm cuối của vectơ $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$:

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hãy vẽ các đường thẳng song song với các luồng khói tương ứng (Hình 3). Điểm $K$ giao nhau của các đường này được nối với điểm $O$. Vector $\vec{OK}$ đại diện cho vector tốc độ gió trên thang đo mà chúng ta đã chọn, vì vectơ sai phân $\vec{OK} - \vec{v}_1$ đi dọc theo luồng khói từ đầu máy xe lửa đầu tiên. Hãy vẽ một chùm khói do nó tỏa ra, nó sẽ đi dọc theo vectơ hiệu $\vec{OK} - \vec{v}_3$. Hãy vẽ qua $K$ một đường thẳng song song với luồng khói từ đầu máy thứ ba. Giao điểm của đường này với vectơ $\vec{v}_2$ xác định $\vec{v}_3$. Sau khi đo chiều dài $\vec{v}_3$, biết tỷ lệ mà tất cả các vectơ được xây dựng, chúng tôi tìm thấy $|\vec{v}_3|$:

$$|\vec{v}_3| = 40 \text{ km/ч}.$$

I. Slobodetsky