Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow

42

a) $\sqrt{1-x^2} \geq 2x+a$;
b) $\sqrt{a^2-x^2} > 4-2x$.
11. Chứng minh rằng với $x \in ]0; 4]$ các bất đẳng thức sau là đúng:
a) $6x-4\ln x \geq x^2$;
b) $8x-6\ln x \geq x^2$.
12. Giải phương trình:
a) $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\sin^2 x\right) + \text{tg}(\pi \sin x) = 0$;
b) $\sin 5x + \sin x = 2\text{ctg} \cdot 2x \cdot \sin 11x \cdot \sin 10x$.

13. a) Hai đỉnh của tam giác $ABC$ lần lượt đặt tại các điểm $A(-1; -1)$ và $B(4; 5)$ và tam giác nằm trên đường thẳng $y=5(x-3)$. Diện tích của tam giác là 9,5. Tìm tọa độ đỉnh $C$.
    b) Qua ba điểm $A(0; 4)$, $B(1; 9)$, $C(3; 7)$ vẽ được một parabol $y=ax^2+bx+c$. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ sao cho diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng này và parabol là 8/3.

Tùy chọn
kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1979

Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Diện tích của trường góc bên phải là $S$ hình vuông. m. Nếu chiều dài của nó tăng $b$ mét và chiều rộng của nó giảm $c$ mét thì diện tích sẽ không thay đổi. Xác định chiều dài và chiều rộng của nó nếu biết rằng $S = \frac{k^2}{b^3c^3} - \frac{k}{bc}$, $k > b^2c^2$.

2. Thông qua đường chéo của mặt bên của đặc điểm tứ giác đều $ABCDA_1B_1C_1D_1$, một mặt phẳng $AKD_1$ được vẽ nghiêng một góc $a$ với mặt phẳng của đáy $ABCD$, cắt nó dọc theo một đường thẳng $AK$, $K \in CD$, tạo một góc $\beta < 45^\circ$ với một cạnh $AD$ có chiều dài $a$. Xác định khoảng cách từ đỉnh $D$ đến mặt phẳng cắt.

3. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} xy = 20 \\ x^{1/2}y = 2 \end{cases}$$

4. Tôi hành động để chứng minh điều tương tự
   $$\frac{\text{tg}a + \text{tg}b}{2 \text{tg}\frac{a+\beta}{2}} - 1 = \frac{\sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos \alpha \cos \beta}$$

5. Tại điểm nào của đường cong $y=ax^2+bx+c$ cần kiểm tra tiếp tuyến của nó sao cho tiếp tuyến đi qua điểm $A$ sao cho diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng này và parabol bằng 8/3.

Tùy chọn 2

1. Hai đỉnh của điểm đúng $A$ tại điểm $B$. Chuyến đầu tiên dừng lại sau 42 phút, chưa đi được 1 km, và chuyến thứ hai sau 52 phút, chưa đi được 2 km đến $B$. Nếu một chuyên gia về đỉnh trung thành đi được cùng số km với người thứ hai và người thứ hai bằng người thứ nhất, thì người thứ nhất sẽ cần ít hơn người thứ hai 17 phút. Có bao nhiêu km giữa các điểm $A$ và $B$?
2. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của một tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức $a^2+b^2=5c^2$ thì hai đường trung tuyến của nó, được kiểm tra từ các đỉnh $A$ và $B$, vuông góc với nhau.
3. Giải phương trình
   $$\log_x \sqrt{5} + \log_x 5x = 2\frac{1}{4} + \log_x^2 \sqrt{5}$$
4. Giải phương trình
   $$\sin (45^\circ+x) - \sin (45^\circ-x) = \frac{\text{tg}\frac{x}{2} + \text{ctg}\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}}$$
5. Các tiếp tuyến được vẽ với đường cong $y=1-\frac{x^2}{a^2}$ tại các điểm giao nhau của nó với trục hoành. Xác định tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến.

Vật lý
Bài tập của Ustino về kỳ thi

1. Tìm vận tốc ban đầu và vận tốc cuối cùng của một hòn đá được ném theo phương ngang từ độ cao