Xoay một khối lập phương

36

F. Bartenev

Xoay một khối lập phương

Thiên nhiên nói ngôn ngữ của toán học. Ngay cả việc ném một con xúc xắc hay một khối lập phương thông thường dành cho trẻ em cũng chứa đựng nhiều điều bất ngờ về mặt toán học. Nhưng để học cách đọc cuốn sách của tự nhiên, bạn không chỉ cần nhìn mà còn phải quan sát. Tuy nhiên, điều này vẫn chưa đủ: bạn cần học cách thử nghiệm.

Đối với các thí nghiệm với hình khối, chúng ta sẽ cần một “lưới hình vuông” - một tờ giấy được chia thành các hình vuông có cạnh bằng nhau của hình khối. Chúng ta sẽ cuộn khối lập phương của mình dọc theo một lưới hình vuông.

các mắt lưới tạo thành phần đầu của đa giác như trong Hình 1. Kiểm tra bằng thí nghiệm rằng mỗi mặt chạm vào lưới một lần, và do đó phần đầu của đa giác là sự phát triển của khối lập phương.

Không khó để chỉ ra rằng MNKLHT bị hỏng cũng quyết định sự phát triển của khối lập phương, nhưng khác với lúc đầu.

Bài toán 1. Bằng cách sử dụng phép quay, theo kinh nghiệm hãy tìm thêm hai diễn biến khác của hình lập phương, khác với những diễn biến được hiển thị trong Hình 1.

Bài toán 2. Hình 2 thể hiện phần cổ giống nhau ở hai vị trí khác nhau. Mặt nào của nó chứa bốn?

Bài toán 3. Phần lặp ở trường phía dưới bên trái của lưới 3×10 (3 cột 10 ô) ở vị trí ban đầu như vậy

Khối lập phương rút ra sự phát triển của nó

Đặt khối lập phương lên hình vuông có tâm M (Hình 1); và sau đó xoay khối lập phương 90° quanh cạnh AB của nó, trùng với cạnh của hình vuông. Khối lập phương có một mặt mới trên một hình vuông có tâm N. Việc quay (quay) này có thể được xác định bằng mũi tên MN. Chúng ta hãy thực hiện năm lần rẽ liên tiếp được xác định bởi đường đứt nét MNRSPQ. Khi di chuyển, khối lập phương sắp xếp tuần tự thành sáu ô vuông

Hình 1.

37

Hình 2.
vị trí như trong Hình 2, a. Một viên xúc xắc có thể bỏ qua tất cả các trường của lưới nếu lớp grana có số ba bị cấm trên bất kỳ trường nào của nó không?

Khối lập phương tô màu mặt phẳng

Bây giờ chúng ta chuyển sang các hình khối có mặt nhiều màu. Chúng ta sẽ giả sử rằng mỗi mặt của khối lập phương bao quanh trường lưới mà nó tiếp xúc theo màu sắc. Khối lập phương chỉ có thể được sử dụng một lần trên mỗi ô vuông. Bây giờ chúng ta hãy xem bài toán này: liệu một khối lập phương có các cạnh nhiều màu có thể vẽ một lưới 4 × 4 sao cho không có hai hình vuông liền kề rõ ràng trên đó không?

Các đặc điểm của tình huống đang được xem xét dễ dàng xác định nhất bằng thực nghiệm, trước tiên bằng cách xem xét các lưới có kích thước nhỏ hơn.

Khi duyệt qua lưới 2x2, ô vuông đầu tiên và cuối cùng sẽ luôn liền kề và có một giá trị. Điều này có nghĩa là khi nghiêng, bạn không thể thực hiện những cú rẽ “sắc nét” hơn như RNKL (Hình 1). Nhưng nếu không có những bước ngoặt “dốc” như vậy thì không thể bỏ qua lưới 3x3 cũng như lưới 4x4. Điều này có nghĩa là không thể có được màu sắc yêu cầu.

Bài toán 4. Giải bài toán trước đó cho lưới 5x5.

Bài toán 5. Có thể cho một khối lập phương có các cạnh nhiều màu đi xung quanh tất cả các ô của lưới 4x5 để lưới chỉ được tô bằng năm màu không?

Đổ xúc xắc

Chúng ta hãy xem xét một số bài toán, trong đó chúng ta sẽ lại nói về việc chơi xúc xắc được hiển thị trong Hình 2. Các điều kiện về quy tắc xoay xương (khối lập phương). Chúng ta hãy đồng ý rằng trong mỗi trường hợp, xương ở vị trí ban đầu như trong Hình 2,a; xương chỉ có thể quay sang phải và hướng lên trên; Một xương chỉ có thể xuất hiện trên mỗi ô lưới một lần.

Hãy bắt đầu với ví dụ này: xương gốm ở vị trí ban đầu nằm ở trường phía dưới bên trái của lưới 4x4; Theo quy tắc của chúng tôi, nó có thể được đưa vào trường góc trên bên phải để xúc xắc nằm trên đó với cạnh chứa ba số không (Hình 3)?

Và trong trường hợp này, trước tiên nên tô màu các lưới 2x2 và 3x3. Cuộc sống hàng ngày sẽ cho thấy rằng mặt chứa ba hình lập phương sẽ chỉ tiếp xúc với những hình vuông nằm ở chiều dọc thứ ba hoặc chiều ngang thứ ba, tính theo màu xám. Đương nhiên, bạn cần đưa ra đáp số phủ định cho câu hỏi bài toán.

Hãy xem ví dụ cuối cùng về một con xúc xắc: một lần nữa, như trong Hình 3, có một lưới hình vuông 4x4, ở hình vuông phía dưới bên trái là một khối lập phương; Có bao nhiêu cách khác nhau để đặt một khối lập phương trên mỗi ô lưới (theo quy tắc của chúng tôi)?

Trước khi nhìn vào đáp số trong Hình 4, hãy chơi đùa với khối lập phương. Bạn có để ý mô hình được chỉ ra trong hình này không: số trong mỗi ô bằng tổng của (hai) số nằm ngay bên dưới và ngay bên trái của ô đó?

Bài 6. Xương hieral nằm ở vị trí ban đầu trên trường dưới cùng của lưới 4x4. Nó có thể được chuyển sang trường nào của lưới để nó trở lại vị trí ban đầu? Giải bài toán cho lưới 5x5.