Sóng là gì?

2

L. Aslamazov, I. Kikoin

Sóng là gì?

Khi ném đá xuống nước, hãy nhìn vào những vòng tròn mà chúng tạo thành; nếu không việc ném như vậy sẽ chỉ là niềm vui trống rỗng.
Kozma Prutkov. Phần trái cây

Khái niệm sóng có vẻ rất thú vị đối với chúng ta và chúng ta liên kết nó bằng trực giác với một loại chuyển động nào đó. Nếu chúng ta ném một hòn đá xuống nước, một làn sóng sẽ chạy trên mặt nước. Nhưng nếu một cành cây đang nổi trên mặt nước vào thời điểm này, thì chúng ta sẽ nhận thấy rằng nó không hề trộn lẫn theo hướng truyền sóng mà tạo ra một chuyển động dao động lên xuống. Cái gì chuyển động khi sóng lan truyền? Hãy xem xét một vài ví dụ.

Người ta nói rằng Hoàng hậu Elizabeth, con gái của Peter I, đã mong muốn khoảnh khắc long trọng trong lễ đăng quang của bà được đánh dấu bằng một loạt pháo từ Pháo đài Peter và Paul ở thủ đô mới - St. Petersburg. Và theo luật, lễ đăng quang của các sa hoàng Nga đã diễn ra tại Nhà thờ Giả định ở Moscow. Ngày nay, việc truyền bất kỳ thông tin nào từ Moscow đến Leningrad rất đơn giản: chỉ cần gửi tín hiệu vô tuyến, đại bác sẽ khai hỏa đúng giờ. Và khi đó cần phải nghĩ ra một cách khác để thông báo thời điểm tộc trưởng đội vương miện lên đầu hoàng hậu.

Và dọc theo toàn bộ tuyến đường (khoảng 650 km) từ nhà thờ ở Moscow đến pháo đài ở St. Petersburg, các binh sĩ đã được triển khai ở khoảng cách tầm nhìn trực tiếp (khoảng 100 m) với nhau. Để dễ tính toán, cô ấy đã bổ sung thêm khoảng 6.500 binh sĩ. Mỗi người lính đều có một lá cờ trong tay. Vào thời điểm đăng quang, người lính đầu tiên vẫy cờ, người tiếp theo lặp lại động tác của mình, theo sau là những người khác. Thời gian phản ứng của con người là mười giây, và do đó, sau 10-20 phút, thông tin biết về lễ đăng quang sẽ đến được với pháo binh ở Pháo đài Peter và Paul.

Điều gì đã chuyển từ Moscow đến St. Petersburg? Mỗi người lính vẫn đứng ở vị trí của mình. Điều duy nhất anh ta làm là vẫy cờ. Theo ngôn ngữ khoa học, chúng ta có thể nói rằng bằng cách giơ và hạ tay cầm cờ, anh ta đã thay đổi trạng thái của mình trong một thời gian. Sự thay đổi trạng thái này diễn ra dọc theo hàng ngũ binh lính.

3

Các biến trong không gian thay đổi trạng thái được gọi là sóng.

Năm 1905, các cuộc đình công bắt đầu ở St. Petersburg, và sau đó một lá thư được in ra cho biết làn sóng đình công lan rộng khắp nước Nga và đến tận những biên giới xa nhất. Trong trường hợp này, một tình trạng lan rộng trong đó công nhân bỏ việc trong các nhà máy công nghiệp và đưa ra các yêu cầu về chính trị và kinh tế.

Đây là một ví dụ về cách tin đồn lan truyền. Được biết, một tin đồn do một người bắt đầu có thể lan truyền khắp thành phố trong một thời gian ngắn. Nó ít hơn đáng kể so với thời gian cần thiết để người này đến thăm (hoặc gọi điện) cho tất cả người dân trong thành phố. Rõ ràng là bản thân những người mang thính giác có thể không trộn lẫn. Trạng thái ánh sáng sẽ được trộn lẫn. Đó chính xác là những gì họ nói - một làn sóng tin đồn đang lan rộng khắp thành phố.

Cuối cùng chúng ta hãy xem xét một ví dụ vật lý. Trên bàn bida có một dãy bi xếp hàng (Hình 1, a). Một quả bóng khác chạm vào nó sao cho tốc độ của nó hướng dọc theo sợi dây. Sau khi va chạm, quả bóng rời khỏi mục tiêu và quả bóng cuối cùng bật ra (Hình 1, b). Chúng tôi truyền động lượng cho quả bóng đầu tiên và quả bóng cuối cùng nhận được nó. Điều này xảy ra do một sóng biến dạng lan truyền dọc theo chuỗi quả bóng. Khi va chạm, quả bóng đầu tiên bị dẹt và làm biến dạng quả bóng lân cận, quả bóng tiếp theo, v.v. Bất kỳ quả bóng trung gian nào ở bên trái và bên phải đều chịu tác dụng của các lực đàn hồi có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng (Hình 1, c), và nó vẫn giữ nguyên vị trí. Lực đàn hồi chỉ tác dụng lên một phía sẽ truyền một xung lực đến quả bóng cuối cùng và nó bật trở lại.

Những sóng biến dạng như vậy truyền trong môi trường đàn hồi được gọi là sóng âm. Do đó, do va chạm, một sóng âm đã chạy qua chuỗi quả bóng. Nó có thể lây lan ở bất kỳ cơ thể đàn hồi nào. Ví dụ, nếu một thanh cố định (Hình 2, a) bị búa đập vào từ một đầu, một sóng biến dạng (sóng âm) sẽ chạy dọc theo thanh. Khi sóng này đến đầu đối diện của thanh, quả bóng cao nhất ở đó sẽ bật ra (Hình 2, b). Tương tự, bạn có thể kích thích sóng âm trong chất lỏng hoặc chất khí, tất nhiên, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng pít-tông thay vì búa.

Chúng ta hãy thử tìm hiểu cơ chế truyền sóng âm trong vật đàn hồi. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu tốc độ truyền sóng phụ thuộc vào điều gì. Đầu tiên, chúng ta giải bài toán đơn giản hóa cho mô hình vật đàn hồi. Chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ta có toàn bộ quả bóng có khối lượng $m$, được kết nối bằng lò xo có độ cứng $k$ (Hình 3). Kích thước của quả bóng nhỏ so với

4

khoảng cách giữa chúng và khối lượng của các lò xo không đáng kể so với khối lượng của các quả cầu. Về cơ bản, đây là cùng một chuỗi các quả bóng mật, trong đó chúng ta “tách” quán tính (khối lượng) và độ đàn hồi (độ cứng).

Mô hình này gần như được thực hiện trong một cơ thể rắn chắc. Trong mạng tinh thể, các nguyên tử được sắp xếp sao cho ở trạng thái cân bằng, tổng vectơ các lực tác dụng lên mỗi nguyên tử từ tất cả các nguyên tử khác bằng 0. Khi các nguyên tử lệch khỏi vị trí cân bằng, lực căng và lực đẩy xuất hiện, tương tự như lực đàn hồi*).

Hãy đưa ra một số quả bóng, chẳng hạn như quả bóng đầu tiên bên trái, một xung hướng dọc theo dây chuyền (đẩy nó). Sau đó, như trong ví dụ với quả bóng mật, một sóng biến dạng đàn hồi sẽ chạy dọc theo chuỗi, sau một thời gian sẽ đến đầu bên phải của chuỗi. Vì quả bóng cuối cùng được nối với dây xích bằng lò xo nên nó sẽ không thể bật ra được chút nào. Lò xo bị kéo căng sẽ buộc nó quay trở lại và sau đó do quán tính của nó quả cầu sẽ rút lò xo lại. Bây giờ sóng biến dạng sẽ chạy từ phải sang trái. Trong trường hợp này, họ nói rằng sóng bị phản xạ từ đầu chuỗi và bắt đầu truyền theo hướng ngược lại. Vì những lý do tương tự, nó sẽ bị phản xạ từ đầu đối diện, v.v. Những sóng phản xạ này là điều kiện để chúng ta xem xét và để loại bỏ chúng, chúng ta sẽ xem xét một chuỗi “vô hạn” (nghĩa là không có đầu cuối). Nó có thể được thực hiện bằng cách đóng một chuỗi gồm nhiều quả bóng vào một vòng (Hình 4). Dọc theo chuỗi “vô tận” như vậy, sóng biến dạng đàn hồi sẽ chuyển động theo hình tròn không phản xạ cho đến khi tắt dần.

*) Ở khoảng cách xa giữa các nguyên tử, lực căng chủ yếu tác dụng và ở khoảng cách gần, lực đẩy tác dụng (cơ học lượng tử cấm các nguyên tử đâm vào nhau). Chỉ ở một khoảng cách cân bằng nào đó (xấp xỉ bằng kích thước của các nguyên tử) lực tương tác giữa các nguyên tử mới bằng không.

Hãy làm chệch hướng một trong các quả bóng khỏi vị trí cân bằng của nó (ví dụ: quét nó theo chiều kim đồng hồ) và thả nó ra. Sau đó, dưới tác dụng của các lò xo nối với nó, vị trí của quả bóng trong không gian sẽ thay đổi theo chu kỳ. Chuyển động này được gọi là dao động.

Rung động đóng một vai trò quan trọng trong tự nhiên và công nghệ. Con lắc trong đồng hồ thực hiện chuyển động dao động; Trong các thiết bị điện gia dụng, dòng điện và điện áp dao động; sự thay đổi ngày đêm, mùa cũng là một quá trình dao động do sự chuyển động của Trái Đất gây ra. Các cơ chế quay hoàn toàn gây ra rung động trong nền móng, điều này phải được tính đến trong quá trình thiết kế.

Loại chuyển động dao động đơn giản nhất là dao động điều hòa, khi độ dịch chuyển của vật so với vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo định luật

$$\alpha = \alpha_m \sin(2\pi t/T) = \alpha_m \sin 2\pi vt = \alpha_m \sin \omega t,$$

trong đó trong trường hợp dây chuyền dao động $\alpha$ là độ lệch góc của quả bóng so với vị trí cân bằng. Như bạn có thể thấy, dao động điều hòa được đặc trưng bởi hai đại lượng (tham số): độ lệch cực đại (biên độ) $\alpha_m$ và chu kỳ dao động $T$ (khoảng thời gian sau đó dao động được lặp lại hoàn toàn). Tần số v bằng số lần dao động trên một đơn vị thời gian, tần số tuần hoàn $\omega = 2\pi v$ được đưa vào để đơn giản hóa việc ghi toán học về chuyển động dao động và giá trị $\varphi = \omega t$ xác định vị trí của quả bóng tại một thời điểm nhất định $t$, được gọi là pha dao động.

Hãy đưa ra một ví dụ. Cho quả bóng thực hiện dao động hoàn toàn trong thời gian $T = 4$ s; tại thời điểm ban đầu nó ở vị trí cân bằng và độ lệch cực đại của nó là $\alpha_m = 0,1$ rad. Khi đó, nếu nó thực hiện một dao động điều hòa thì sự phụ thuộc của độ lệch vào thời gian được cho bởi công thức

$$\alpha = 0,1 \sin(\pi t/2).$$

Tại thời điểm $t_1 = 1$ s pha dao động bằng $\varphi_1 = \pi/2$, tại thời điểm $t_2 = 2$ s pha dao động

6

Hình 6.

khoảng trống trong chuỗi, có chiều dài $\lambda_1 = L$. Sóng tiếp theo, ngắn hơn, $\lambda_2 = L/2$, $\lambda_3 = L/3$ tiếp theo, v.v. Sóng ngắn nhất có thể truyền trong chuỗi là gì?

Bước sóng càng ngắn thì sự dịch chuyển pha tới các quả bóng lân cận càng lớn. “Sự khác biệt” tối đa xảy ra khi độ lệch pha giữa các quả bóng lân cận bằng n. Trong trường hợp này, các quả bóng dao động ngược pha (Hình 6) và tương ứng với độ dài $\lambda_{\min} = 2a$.

Hãy tính tần số xảy ra dao động tương ứng với bước sóng tối thiểu (điều này cho phép chúng ta ước tính tốc độ truyền sóng trong chuỗi). Giả sử quả cầu ở giữa dao động tuân theo định luật
$$\alpha_n = \alpha_m \sin \omega t$$
thì dao động của quả bóng trước được mô tả bằng công thức
$$\alpha_{n-1} = \alpha_m \sin (\omega t + \pi),$$
và cái tiếp theo -
$$\alpha_{n+1} = \alpha_m \sin (\omega t - \pi).$$

Biết các đầu của lò xo chuyển động như thế nào, dễ dàng nhận thấy độ biến dạng của chúng phụ thuộc như thế nào theo thời gian và sử dụng định luật Hooke $F = kx$ để tính lực đàn hồi tác dụng lên quả cầu ở giữa. lực tổng hợp
$$F = kx_m (\sin (\omega t - \pi) - \sin \omega t) + \sin (\omega t + \pi) - \sin \omega t) = -4kx_m \sin \omega t$$
trong đó $x_m = R\alpha_m$ là độ lệch tuyến tính tối đa của quả bóng ($R$ là bán kính của bóng đèn trong đó dây xích được đóng lại). Như bạn có thể thấy, quả bóng ở giữa dao động như thể nó được gắn vào một lò xo duy nhất, nhưng có độ cứng gấp bốn lần. Thay giá trị $k_0 = 4k$ vào công thức (*), ta thấy khi một sóng có độ dài tối thiểu $\lambda_{\min} = 2a$ truyền dọc theo chuỗi thì tần số dao động là $\omega = 2\sqrt{k/m}$. Đây là tần số dao động tối đa của các quả bóng trong một chuỗi kín.

Kết quả là chất rắn cũng có tần số tối đa mà tại đó các nguyên tử có thể dao động.

Tốc độ truyền sóng là bao nhiêu? Nếu tần số dao động là $\omega$ thì chu kỳ của chúng là $T = 2\pi/\omega$. Ở tốc độ truyền $v$, sóng truyền đi $l = vT = 2\pi v/\omega$ trong thời gian $T$. Đường đi này bằng bước sóng, vì sự dịch chuyển theo thời gian một khoảng $T$ nên các dao động sẽ xảy ra cùng pha. Như vậy,
$$\lambda = vT = 2\pi v/\omega,$$
và do đó
$$v = \frac{\lambda \omega}{2\pi} = \frac{2}{\pi} a \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Tốc độ truyền và tần số dao động của sóng dài hơn là bao nhiêu? Ví dụ: chúng có thể được đếm theo cách tương tự (mặc dù nó phức tạp hơn một chút bài toán). Hóa ra là khi bước sóng tăng, tần số dao động giảm và tốc độ truyền sóng tăng, nhưng chỉ tăng một chút. Đối với bước sóng dài ($\lambda \gg a$), tốc độ lan truyền trở nên không đổi và bằng
$$v_0 = a \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Vì vậy, biểu thức mà chúng tôi rút ra với độ chính xác cao cho biết tốc độ truyền sóng trong chuỗi các quả bóng được kết nối đối với các bước sóng khác.

Hãy trở lại với cơ thể rắn chắc. Điều gì quyết định tốc độ truyền sóng âm trong đó? Tiến hành phân tích bằng một chuỗi các quả bóng, người ta có thể hiểu rằng tốc độ phụ thuộc vào tính chất đàn hồi của vật liệu, khối lượng của các nguyên tử tạo nên chất đó và khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách giữa các nguyên tử càng nhỏ và khối lượng của chúng càng lớn thì mật độ của chất $q$ càng lớn. Độ cứng $k$ trong mô hình của chúng tôi có thể được coi là tỷ lệ thuận

7

mô đun Young quốc gia E. Công thức chính xác cho tốc độ âm thanh trong chất rắn là:

$$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$

Ví dụ, đối với thép, sử dụng công thức này, chúng ta thu được $v \approx 5000$ m/s. Như vậy, chúng ta đã hiểu được hiện tượng truyền âm trong các vật thể đàn hồi, tức là sự lan truyền dao động của sự dịch chuyển của các nguyên tử tạo nên các vật thể này.

Rung động của các đại lượng vật lý khác cũng có thể lan truyền trong không gian. Nếu giá trị của cường độ điện trường và từ trường thay đổi định kỳ thì người ta nói rằng sóng điện từ đang lan truyền. Sự dao động nhiệt độ có thể lan truyền - sóng nhiệt độ, dao động cảm ứng từ trường trong một chất - sóng từ hóa, v.v. Nói một cách hình tượng, toàn bộ dinh thự của vật lý hiện đại bị tràn ngập bởi các loại sóng khác nhau.

Ứng dụng

Hãy tưởng tượng súng được đặt trên một thanh AB nằm dọc theo đường kính của vòng (Hình 7). Một đầu của lò xo nối với quả cầu, đầu thứ hai được cố định ở mép thanh A. Quả bóng có thể chuyển động tự do dọc theo thanh và ở trạng thái cân bằng nó nằm ở tâm của vòng O. Chúng ta hãy quay cái cọc trong mặt phẳng nằm ngang với vận tốc góc $\omega_0$. Khi đó quả bóng sẽ ngắt kết nối khỏi trung tâm. Nếu độ dịch chuyển của nó bằng $r$ thì từ phía lò xo sẽ ​​tác dụng lên quả bóng một lực bằng $F = k_0 r$ theo định luật Hooke và hướng vào tâm vòng tròn. Theo định luật II Newton, lực này phải tạo ra gia tốc hướng tâm $a_ii = \omega_0^2 r$:

$$m\omega_0^2 r = k_0 r.$$

Vì vậy, để quả bóng ở trạng thái ổn định khi vòng quay quay thì tốc độ quay cần phải bằng $\omega_0 = \sqrt{k_0/m}$.

Trong trường hợp này, hình chiếu của quả bóng lên một trục cố định thực hiện một dao động điều hòa với tần số tuần hoàn bằng tốc độ góc quay. Ví dụ: $x = r \sin \omega_0 t$. Do đó, tần số dao động điều hòa của một quả cầu có khối lượng $m$ độ cứng ngoài $k_0$ được xác định theo công thức

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_0}{m}}.$$

Bài tập

1. Bạn có thể “cảm nhận” sóng là gì bằng cách thực hiện bài tập sau. Dán