Viện kiến ​​trúc Moscow

48

Viện kiến ​​trúc Moscow

Toán học

Bài thi vấn đáp

1. Chứng minh danh tính
   $$\sin^2 \alpha \cdot \cos^4 \alpha = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \cos 2\alpha - \frac{1}{16} \cos 4\alpha - \frac{1}{32} \cos 6\alpha.$$
2. Sự biểu lộ
   $$\log_m A \cdot \log_n A + \log_p A \cdot \log_m A$$
   trình bày nó như một tác phẩm.
3. Xây dựng đồ thị của hàm $y = \frac{|x|}{x}$.
4. Giải phương trình
   a) $\lg(2^x + x - 41) = x(1 - \lg 5)$;
   b) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 5x = 0$.
5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x - \sqrt{x+y} = 2\sqrt{3} \\ (x+y) \cdot 2^{y-x} = 3. \end{cases}$$
6. Giải bất đẳng thức
   a) $0,11^{\log_3 \frac{4x-1}{3x+2}} > 1$;
   b) $3\sqrt{6+x-x^2} > 4x-2$.
7. Tìm thấy
   a) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$;
   b) $\lim_{x \to -1} \frac{\cos 2-\cos 2x}{x^2-|x|}$.
8. Tìm thể tích lớn nhất của đường thẳng tam giác $MABC$, đáy của nó là tam giác vuông cân $ABC$ ($|AB| = |BC|$), nếu $[MB] \perp (ABC)$ và $|MA| = \sqrt{3}$.
9. Tính thể tích của hàm số thu được khi quay quanh trục x của hàm phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \cos x$ và trục x, $x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Vật lý
Bài thi vấn đáp

1. Một tải trọng có khối lượng $m = 50$ kg chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực $F = 500$ N, hướng một góc $\alpha = 30^\circ$ so với phương ngang. Hệ số Treyagur trên mặt phẳng $\mu = 0,5$. Xác định gia tốc của tải.
2. Một quả bóng được buộc bằng một sợi dây vào một vật treo, mô tả một đường tròn trong mặt phẳng nằm ngang, có tốc độ không đổi. Xác định tốc độ của quả bóng và chu kỳ quay của nó trong một vòng tròn nếu chiều dài của sợi dây là $l = 1$ m và góc của nó với phương thẳng đứng là $\alpha = 45^\circ$.
3. Một khối gỗ nằm trên mặt phẳng nghiêng. Hỏi vật phải được ép vào mặt phẳng nghiêng một lực bằng bao nhiêu để nó đứng yên trên đó? Khối lượng của khối là $m = 4$ kg, chiều dài mặt phẳng nghiêng là $l = 1$ m, chiều cao là $h = 0,6$ m. Hệ số treyagur của mặt phẳng là $\mu = 0,4$.
4. Hai quả bóng có khối lượng $m_1 = 4$ kg và $m_2 = 6$ kg được giữ với nhau bằng một thanh có khối lượng $m_3 = 2$ kg.

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Công nhân $A$ có thể hoàn thành một số công việc muộn hơn 5 ngày so với công nhân $B$ và muộn hơn 9 ngày so với công nhân $C$. Công nhân $A$ và $B$ làm việc cùng nhau có thể hoàn thành công việc này trong bao nhiêu ngày bằng công nhân $C$ có thể hoàn thành nó. Mỗi công việc riêng lẻ có thể hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu ngày?
2. Giải phương trình
   $$\sin 2x - \sin x = \cos x - \frac{1}{2}.$$
3. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $y = \ln(2x) - x^2 + x$ trên khoảng $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$.
4. Tính (bằng cách vẽ) diện tích của hàm giới hạn bởi các đường $y = x - \frac{x^2}{2}$,