Viện Công nghệ Công nghiệp nhẹ Moscow

51

Mátxcơva
viện công nghệ
công nghiệp nhẹ
Matematika
Bài thi viết
Lựa chọn

1. Rút gọn và tính giá trị tại $x=3$ biểu thức
   $$\frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x}}{1 + 6\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}.$$

2. Xác định giá trị của số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng nếu hiệu của nó bằng 25% giá trị của số hạng cuối cùng, tức là số thứ 19. Giá trị chênh lệch tiến triển là 12.

3. Giải phương trình
   $$\frac{x^2 - 3,5x + 1,5}{x^2 - x - 6} = 0.$$
   Viết Đáp số dưới dạng số thập phân.

4. Tìm số nguyên lớn nhất $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\frac{2x+1}{3} - \frac{3x-1}{2} > 1.$$

5. Giải phương trình
   $$x-1 = \sqrt{\frac{x}{2}}.$$

6. Tìm số nguyên dương lớn nhất $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\sqrt{x^2 + 16x + 64} > 20.$$

7. Một người đi bộ rẽ trái từ $A$ đến $B$ với tốc độ 3,6 km/h; Sau 1 giờ 15 phút, một người đi bộ khác bước ra khỏi $B$ với vận tốc 4,8 km/h. Khoảng cách $AB$ là bao nhiêu nếu người đi bộ thứ hai tiếp cận ở $A$ đồng thời với việc người đi bộ đầu tiên đến ở $B$?

8. Trong thời kỳ khai hoang, 65 cuốn sách đã được thu thập cho thư viện. Liên kết đầu tiên thu thập ít hơn 10 cuốn sách so với liên kết thứ hai và liên kết thứ ba - 30% số lượng sách mang liên kết thứ nhất và thứ hai lại với nhau. Liên kết thứ hai đã thu thập được bao nhiêu cuốn sách?

9. 1600 kg táo đã được mang đến cửa hàng. Vào ngày đầu tiên, 30% số táo đã được bán. Vào ngày thứ hai - 40% số táo còn lại vào ngày thứ hai. Vào ngày thứ ba, 25% số táo còn lại của ngày thứ ba đã được bán. Hỏi trong cửa hàng còn lại bao nhiêu quả táo sau ba ngày bán?

10. Giải phương trình
    $$5^{2x} \cdot 6^{2x} = 900.$$

11. Giải phương trình
    $$\log_4 2^{4x} = 2^{\log_2 4}.$$

12. Tìm số nguyên thỏa mãn bất đẳng thức
    $$\log_{0.3}(4x+1) < \log_{0.3}(x^2+4).$$

13. Đơn giản hóa biểu thức
    $$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin x + \sqrt{3 \cos x}}{\sin(x + 60^\circ)}$$
    thành số đáp số với hai chữ số thập phân, có tính đến quy tắc làm tròn.

14. Tính toán không có bảng có ba chữ số thập phân
    $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$$

15. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
    $$3 \mathrm{tg}^2 2x + \sqrt{3} \mathrm{ctg}(270^\circ + 2x) = 0,$$
    thuộc khoảng $]0^\circ; 90^\circ[$; tính toán nó theo độ.

16. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình
    $$\tg 2x + \tg 4x = 0,$$
    thuộc khoảng $]0^\circ; 90^\circ[$; đáp số may theo độ.

17. Xác định chu kỳ dịch chuyển với tỉ lệ đáy là 8:3, nếu tiếp tuyến của các góc ở đáy lớn là 4/3 và 3/4 và chiều cao của hình thang là 12 đơn vị.

18. Tròn hình tam giác đều và hình vuông. Tìm, đến tam giác gần nhất sau dấu thập phân, dùng quy tắc làm tròn, tỉ số giữa diện tích tam giác và diện tích hình vuông, lấy cos $30^\circ = 0,866$.

19. Tìm diện tích xung quanh của hình chữ nhật tứ giác đều nếu thể tích của nó là 36 và chiều cao của nó là 4.

20. Xác định thể tích của khối cầu viết trong hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy. Thể tích của hình trụ là 128π. Chấp nhận $\pi = 3,14$. Viết Đáp số dưới dạng phân số thập phân có hai chữ số thập phân, sử dụng quy tắc làm tròn.
    Ấn phẩm được chuẩn bị bởi V. Yurdov

Ural
cơ điện
Viện kỹ sư
vận tải đường sắt

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Một mặt phẳng cắt được vẽ qua đỉnh hình nón một góc $\varphi$ so với đáy của nó. Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng cắt bằng $d$ và tạo thành phần tưới của máy phát điện. Tìm thể tích của hình nón.
2. Giải phương trình
   $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(x + \frac{7}{6} \pi\right) = 2 \left(\cos \frac{5}{3} \pi - \sin^2 x\right).$$
3. Giải phương trình
   $$\lg(3^2 \sqrt{x+5}-x) = 1 - \lg 2.$$
4. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y=x^2-2x+3$ và $y=3+4x-x^2$.

Tùy chọn 2

1. Chiều cao của đặc điểm hình tam giác đều là $h$. Đoạn nối tâm của đế trên với điểm giữa của cạnh của đế dưới tạo thành một góc $a$ với mặt phẳng của đế. Tìm bề mặt hoàn chỉnh của tính năng.

52

2. Giải bất đẳng thức
   $$1 < \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} \leq 2.$$
3. Tìm thể tích của hình được tạo thành bằng cách quay quanh trục x của một hình thang cong có ranh giới được cho bởi các phương trình $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$ và $y = 0$.
4. Chứng minh tính chính xác
   $$\sin^2 2\alpha - \cos \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) \cdot \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4}.$$
   Bài toán thi vấn đáp
5. Số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng 429, hiệu của nó là 22. Phải lấy bao nhiêu số hạng của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 3069?
6. Tìm miền xác định của hàm
   $$y = \frac{\sqrt{4-x}}{\lg(x-2)}.$$
7. Giải phương trình
   $$\sqrt{5 - \log_2 x} = 3 - \log_2 x.$$
8. Tìm lời giải phương trình $\cos^2 x = 1$ mà $x^2 \leq 20$.

Máy bay trong không gian

(Để bắt đầu, xem trang 38)

Lần này chúng ta sẽ tìm góc cần tìm $\alpha$ bằng cách sử dụng góc $\beta$ giữa vectơ vuông góc với $(BC_1D)$ và vectơ $\overrightarrow{BD}_1$. Theo định nghĩa (“Hình học 9-10”, §37) $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$. Rõ ràng (Hình 3 trên trang 39), $\alpha = 90^\circ$ - $\beta$ hoặc $\alpha = 90^\circ$ - $(180^\circ$ - $\beta)$ = $\beta$ - $90^\circ$. Vì vậy $\sin \alpha = |\cos \beta|$. Đáp số. cung $\sin \frac{\sqrt{6}}{9}$.

Bài toán 9 (MEPhI, 1981). Phương trình của mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ là $2x + 3y + 4z - 8 = 0$ và $4x + y + 3z - 6 = 0$, $p = \alpha \cap \beta$. a) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng $p$ với các mặt phẳng $xOy$ và $yOz$. b) Xác định các đại lượng giữa đường thẳng $p$ và mặt phẳng $xOz$.

Tọa độ của điểm $A = p \cap xOy$ là nghiệm của hệ
$$\begin{cases} 2x + 3y + 4z - 8 = 0 \\ 4x + y + 3z - 6 = 0 \\ z = 0. \end{cases}$$

Tọa độ điểm $B = p \cap yOz$ - nghiệm của hệ
$$\begin{cases} 2x + 3y + 4z - 8 = 0 \\ 4x + y + 3z - 6 = 0 \\ x = 0. \end{cases}$$

Bây giờ, nếu $\alpha$ là góc mong muốn và $\beta$ là góc giữa vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n} = (1; 0; 1)$, thì $\sin \alpha = |\cos \beta|$. Đáp số. a) $A(1; 2; 0)$, $B(0; 0; 2)$. b) cung $\sin \frac{2}{3}$.

Bài tập
1 (MINCH, 1980). Điểm $P(2; -1; 1)$ đóng vai trò là đáy của đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ xuống mặt phẳng. Viết phương trình cho mặt phẳng này.
2 (MINCH, 1980). Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $(2; -3; 3)$ song song với mặt phẳng $xOy$.
3 (MINCH, 1979). Khâu phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A(4; 0; 0)$ và $B(0; 0; 4)$ và song song với trục $Oy$.
4 (MESI, 1981). Tính khoảng cách từ mặt phẳng $2x + 2y - z + 15 = 0$ đến hình cầu $x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0$.
5 (MEPhI, 1978). Dữ liệu bốn điểm là $A(1; -2; 2)$, $B(1; 4; 0)$, $C(-4; 1; 1)$ và $D(-5; -5; 3)$. a) Chứng minh rằng các điểm đó cùng thuộc một mặt phẳng. b) Xác định góc giữa đường thẳng $AC$ và $BD$.
6 (MISIS, 1980). Các vectơ $\overrightarrow{MA} = (2; 1; -1)$, $\overrightarrow{MB} = (-2; 3; 5)$ và $\overrightarrow{MC} = (3; 5; 1)$ được cho trong không gian. Tìm độ lớn của góc hai chiều tạo bởi các mặt phẳng đi qua các vectơ tương ứng $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$.