Viện ô tô và đường cao tốc Moscow

46

3. Giải bất đẳng thức
   $$|\log_x 4+1| \leq 3.$$

4. Vẽ hàm $y = (1-x) \times (1+x)^2$ trên đoạn $[-2; 2]$. Các tiếp tuyến của đồ thị này phải được vẽ tại điểm nào để chúng đi qua điểm $(-1; 0)$?

5. Với những giá trị nào của $a \in \mathbb{R}$ thì có các giá trị của $b \in \mathbb{R}$ sao cho các số $4+25^b, a, 5^{-b}$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?

Tùy chọn 3
(thi hình học và lượng giác ở các khoa khác)

1. Suy ra công thức tính thể tích hình nón.

2. Chứng minh danh tính
   $$\cos \alpha \cdot \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha - \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}.$$

3. Giải phương trình
   $$4 \sin^2 x - 4 \cos x \cdot \cos 3x = 1.$$

4. Các vectơ $\vec{a} = (3; 1)$ và $\vec{b}$ nằm trên mặt phẳng tọa độ có độ dài bằng nhau. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{b}$ nếu độ dài của vectơ $\vec{b} - 2\vec{a}$ là $\sqrt{26}$ và vectơ $\vec{b} - 2\vec{a}$ tạo một góc nhọn với trục $Oy$.

5. Trong đường thẳng tam giác $ABCD$ tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau. Điểm $M$ là trung điểm của cạnh $AD$, điểm $O$ là tâm của tam giác $ABC$, điểm $N$ là trung điểm của cạnh $AB$ và điểm $K$ là trung điểm của $CD$. Tìm góc giữa các đường thẳng $(MO)$ và $(KN)$.

Bài thi vấn đáp
(Khoa Toán ứng dụng)

1. Hiệu của hai số tự nhiên là 21, bội số chung nhỏ nhất của số thứ nhất và số thứ hai của buổi sáng là 180. Tìm các số này.

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 3-(y+1)^2=\sqrt{x-y} \\ x+8y=\sqrt{x-y}-9. \end{cases}$$

3. Giải phương trình
   $$\cos 3x+\sin \left(2x-\frac{7\pi}{6}\right)=-2.$$

4. Hai chân của một tam giác vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm. Một vòng tròn chạm vào cạnh huyền được vẽ qua giữa chân nhỏ hơn và giữa cạnh huyền. Tìm chiều dài của vòng tròn này.

5. Kim tự tháp được cho bởi tọa độ các đỉnh của nó $S$ $(0; 0; 2)$, $A$ $(0; 0; 0)$, $B$ $(1; 0; 0)$, $C$ $(0; 1; 0)$. Tìm tọa độ của điểm $M$, nằm trên trục $z$, và tọa độ của điểm $N$, nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, nếu biết rằng $\overrightarrow{MN} = \left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 0\right)$.

Vật lý
Mẫu bài kiểm tra viết bài toán

1. Chuyển động của một vật dọc theo trục $X$ được mô tả bởi sự phụ thuộc: $x = -6t^5 + 30t$, trong đó $x$ thay đổi tính bằng mét, $t$ tính bằng giây. Tìm sự phụ thuộc của vận tốc và gia tốc của vật vào thời gian. Điều gì sẽ xảy ra với cơ thể sau $t=1$ giây kể từ khi bắt đầu chuyển động?

2. Christan Huygens tin rằng: nếu một quả bóng trên một sợi dây không trọng lượng và không dãn quay từ một mặt phẳng thẳng đứng, thì sợi dây đó phải có khả năng chịu được một lực ít nhất bằng lực gấp sáu lần lực của quả bóng. Tuyên bố này có đúng không?

3. Thủy ngân được đổ vào một bình hình trụ và dầu được đổ lên trên. Khối lượng dầu nhỏ hơn khối lượng thủy ngân 2 lần. Bình được đổ đầy đến độ cao $h=30$ cm. Xác định áp suất lên phân đôi của bình nếu mật độ thủy ngân là $\rho_1=13,6 \times 10^3$ kg/m$^3$ và mật độ dầu là $\rho_2=0,9 \times 10^3$ kg/m$^3$.

4. Trong cabin máy bay có thể tích $V=600$ m$^3$ trong suốt chuyến bay, nhiệt độ $t_1=20^\circ C$ và độ ẩm tương đối $\varphi_1=60\%$ được duy trì. Khi máy bay hạ cánh, nhiệt độ trong cabin tăng lên $t_2=30^\circ C$. Cần phải bốc hơi bao nhiêu nước để độ ẩm không đổi? Áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ $t_1$ và $t_2$ bằng $p_{H1}=2352$ N/m$^2$ và $p_{H2}=4214$ N/m$^2$ tương ứng.

5. Bình chứa khí đơn nguyên tử ở nhiệt độ $t=17^\circ C$ và áp suất $p=1$ atm. Thể tích bình $V=3$ l. Khí đẳng tích được đun nóng đến $\Delta t=100^\circ C$. Xác định độ biến thiên nội năng của khí. Bao nhiêu nhiệt lượng đã được truyền cho khí trong quá trình này?

6. Điện tích nào chạy qua dây dẫn nếu biết dòng điện trong dây dẫn này tăng đều từ 0 đến $I=5$A trong $t=10$ s?

7. Một nguồn hiện tại có suất điện động $\mathcal{E}=1,5$ V được đóng ở mức điện trở $R=3$ Ohm. Trong trường hợp này, dòng điện $I=0,15$ A chạy qua mạch. Xác định dòng điện ngắn mạch.

8. Trong buồng mây đặt trong từ trường đều có cảm ứng $B=1,5$ T, một hạt alpha bay vào một trường có hướng vuông góc, để lại dấu vết dưới dạng các vòng tròn khác có bán kính $R=2,7$ m. Tìm động lượng và động năng của hạt. Khối lượng của hạt alpha là $m=6,7 \cdot 10^{-27}$ kg, điện tích của nó là $q=3,2 \cdot 10^{-19}$ C.

9. Vật đặt cách thấu kính có tiêu cự $F=20$ cm một khoảng $d=40$ cm. Xác định vị trí của hình ảnh. Mô tả đầy đủ hình ảnh.

10. Một nguyên tử hydro khi chuyển từ trạng thái đứng yên này sang trạng thái đứng yên khác sẽ phát ra hai lượng tử liên tiếp có bước sóng $\lambda_1=40510$ Å và $\lambda_2=972,5$ Å ($1$ Å = $10^{-10}$ m). Xác định sự thay đổi năng lượng.atoma của hydro. Hằng số Planck $h=6,62 \cdot 10^{-34}$ J s.

Đã chuẩn bị xuất bản
V. Vinogradov, V. Zakalokin

Viện ô tô và đường cao tốc Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(kỳ thi đầu tiên)

46

47

$$\frac{x \cdot (\sqrt{4})^3}{\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3} = 4^2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{4})^3}.$$

2. Giải phương trình
   $$\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5.$$

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{x+5} + \sqrt{10x-5} = 12 = 0.$$

4. Giải phương trình
   $$\sqrt{5x-5} + \sqrt{10x-5} = \sqrt{15x-10}.$$

5. Giải phương trình
   $$\lg 8 - \lg (x+7) = \lg 2 - \lg \sqrt{x+7}.$$

6. Tính $A$ nếu $A = 2^B$ và
   $$B = 3 \log_8 9 - 4 \log \frac{1}{16}.$$

7. Tìm trung điểm của đoạn thẳng trong đó bất đẳng thức đúng
   $$2x^2 - 7(\sqrt{x})^2 \leq 4.$$

8. Cho: $\cos 3\alpha = \frac{1}{4}$. Tính $A = 49 \text{ ctg}^2 \left(6\alpha - \frac{\pi}{2}\right).$

9. Tìm số hạng thứ 25 của cấp số cộng 3, 8, …

10. Trong một hình thang đều, cạnh bên bằng đường trung bình và chu vi bằng 48. Tìm cạnh bên.

Tùy chọn 2
(thi lần thứ hai)

1. Tìm theo độ nếu $45^\circ < x \leq 90^\circ$ và $\sin (270^\circ + 3x) = \cos 5x$.

2. Tính giá trị của một $f'(0)$ tùy ý cho
   $$f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}} + \frac{5}{2}x.$$

3. Tìm trên đoạn $[-1; 2]$ giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm
   $$f(x) = (x+1)^2(x-2)+2.$$

4. Đánh giá tích phân
   $$\int_0^1 \left(1 - \frac{\pi}{\cos^2 \pi x}\right) dx.$$

5. Tìm diện tích của hàm giới hạn bởi các đường $y=x^2$, $y=2-x$.

6. Cho các đỉnh tam giác $A(0; 0)$, $B(1; -3)$, $C(2; -2)$. Tìm bình phương độ dài đường trung tuyến của nó vẽ từ đỉnh $B$.

Vật lý
Bài thi viết

Lựa chọn

1. Từ độ cao $h=100$ m so với bề mặt Mặt trăng, một vật được ném thẳng đứng xuống với vận tốc ban đầu là $v_0=2$ m/s. Sẽ mất bao lâu để cơ thể chạm tới bề mặt Mặt trăng? Gia tốc rơi tự do trên Mặt trăng là $g_{\perp}=1,6$ m/s².

2. Để ngăn một vật có khối lượng $m=5$ kg trượt khỏi một bức tường thẳng đứng, vật đó phải được ép vào tường với một lực tối thiểu $F=500$ N, hướng vuông góc với mặt phẳng của tường. Tìm hệ số ma sát giữa vật và tường. Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s².

3. Ở một đầu đoạn đường đứng yên của một chiếc xe có khối lượng $m_T=20$ kg có một người có khối lượng $m_y=60$ kg. Xe sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu nếu một người xuất hiện với tốc độ $v=2$ m/s so với xe?

4. Ở độ sâu nào trong nước thì áp suất lớn hơn 5 lần áp suất khí quyển, bằng $p=10^5$ Pa? Mật độ của nước là $\rho=10^3$ kg/m³, gia tốc rơi tự do là $g=10$ m/s².

5. Cần phải tiêu tốn bao nhiêu nhiệt lượng để đun sôi $m=0,1$ kg nước lấy ở nhiệt độ $T=273$ K sôi và biến nó thành hơi nước? Nhiệt độ sôi của nước $T_k=373$ K, nhiệt độ riêng $c=4200$ J/(kg K), nhiệt độ riêng $r=22,6 \cdot 10^5$ J/kg. Đáp số nhượng bộ kJ ($1 \cdot 10^3$ J).

6. Khi khí được làm nóng, thu được sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ tuyệt đối, như hình vẽ. Thể tích của khí thay đổi như thế nào? Hãy chỉ ra đúng số đáp số: 1) tăng, 2) không thay đổi, 3) giảm, 4) đối với lời giải bài toán không đủ dữ liệu.

7. Khoảng cách từ một điện tích điểm đã tăng lên 7 lần. Tại một điểm cho trước, hướng của điện trường giảm bao nhiêu lần?

8. Hai dây dẫn được mắc song song trong một mạch điện; Điện trở của dây dẫn thứ nhất lớn hơn dây dẫn thứ hai 10 lần. Tìm tỉ số giữa công suất tiêu thụ của dây thứ nhất và công suất tiêu thụ của dây thứ hai.

9. Xác định bước sóng của ánh sáng có năng lượng lượng tử là $W=3,6 \cdot 10^{-19}$ J. Hằng số Planck là $h=6,6 \cdot 10^{-34}$ J s, tốc độ ánh sáng trong chân không là $c=3 \cdot 10^8$ m/s. Đáp số tính bằng nanomet ($1 \text{ nm}=10^{-9}$ m).

10. Trước một thấu kính hai mặt lồi có tiêu cự $F=1$ m có một vật có chiều cao $h=2$ m ở khoảng cách $d=3$ m. Tìm chiều cao ảnh của vật.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
O. Mishina, Yu. Ryabov, A. Solove, A. Timofeev