Московский автомобильно-дорожный институт

46

3. Решите неравенство
   $$|\log_x 4+1| \leq 3.$$

4. Постройте график функции $y = (1-x) \times (1+x)^2$ на отрезке $[-2; 2]$. В каких точках этого графика надо проведи к нему касательные, чтобы они проходили через точку $(-1; 0)$?

5. При каких значениях $a \in \mathbb{R}$ найдутся такие значения $b \in \mathbb{R}$, что числа $4+25^b, a, 5^{-b}$ будут являться последовательными членами геометрической прогрессии?

Вариант 3
(экзамен по геометрии и тригонометрии на остальных факультетах)

1. Выведите формулу объема конуса.

2. Доказите тождесто
   $$\cos \alpha \cdot \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha - \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}.$$

3. Решите уравнение
   $$4 \sin^2 x - 4 \cos x \cdot \cos 3x = 1.$$

4. Векторы $\vec{a} = (3; 1)$ и $\vec{b}$, лежащие на координатной плоскости, имеют равные длины. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, если длина вектора $\vec{b} - 2\vec{a}$ равна $\sqrt{26}$ и вектор $\vec{b} - 2\vec{a}$ составляет с осью $Oy$ острый угол.

5. В треугольной прямиле $ABCD$ все ребра имеют равные длины. Точка $M$ — середина ребра $AD$, точка $O$ — центр треугольника $ABC$, точка $N$ — середина ребра $AB$, и точка $K$ — середина $CD$. Найдите величины угла между прямыми $(MO)$ и $(KN)$.

Задание устного экзамена
(факультет прикладной математики)

1. Разность двух натуральных чисел равна 21, а наименьшее общее кратное первого числа и утроного второго числа равно 180. Найдите эти числа.

2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 3-(y+1)^2=\sqrt{x-y} \\ x+8y=\sqrt{x-y}-9. \end{cases}$$

3. Решите уравнение
   $$\cos 3x+\sin \left(2x-\frac{7\pi}{6}\right)=-2.$$

4. Катеты прямогоного треугольника равны 3 см и 4 см. Через середину меньше катета и середину гипotenузы проведена окружность, касающаяся гипotenузы. Найдите длину этой окружности.

5. Пирамида задана координатами своих вершин $S$ $(0; 0; 2)$, $A$ $(0; 0; 0)$, $B$ $(1; 0; 0)$, $C$ $(0; 1; 0)$. Найдите координаты точки $M$, лежащей на оси $z$, и координаты точки $N$, лежащей в плоскости $(SBC)$, если известно, что $\overrightarrow{MN} = \left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 0\right)$.

Физика
Образцы задачи письменного экзамена

1. Примолнение движение тела вдоль оси $X$ описывается зависимость: $x = -6t^5 + 30t$, где $x$ изменяется в метрах, $t$ — в секундах. Найдите зависимость скорости и ускорения тела от времени. Что произойдет с телом через $t=1$ с от начала движения?

2. Христан Гюйгенс считал: если шар на неевесомой и нерастяжимой нити вращает с вертикальной плоскости, то нить должна обязаться выдерживать силу, равную, по крайней мере, ушестренной силейяжости шара. Верно ли это утверждение?

3. В цилиндрической сосуд налита ртуть и поверхнее — масло. Масса масла в 2 раза меньше массы ртути. Сосуд заполнен до высоты $h=30$ см. Определите давление на dicho сосуда, если плотность ртути $\rho_1=13,6 \times 10^3$ кг/м$^3$, а плотность масла $\rho_2=0,9 \times 10^3$ кг/м$^3$.

4. В салоне самолета объемом $V=600$ м$^3$ при полете поддерживаются температура $t_1=20^\circ C$ и относительная влажность $\varphi_1=60\%$. При посадке самолета температура в салоне возросла до $t_2=30^\circ C$. Сколько воды необходимо испарить, чтобы влажность осталась прежней? Давление насыщенных паров при температуре $t_1$ и $t_2$ равно, соответствующим $p_{H1}=2352$ Н/м$^2$ и $p_{H2}=4214$ Н/м$^2$.

5. В сосуд находится одноатомный газ при температуре $t=17^\circ C$ и давлении $p=1$ атм. Объем сосуда $V=3$ л. Газ изохорическая нагревают на $\Delta t=100^\circ C$. Определите изменение внутренней энергии газа. Какое количество теплоты было передано газу в этом процессе?

6. Какой заряд прошел черезечение проводника, если известно, что электрический ток в этом проводнике равномерно возрастал от нуля до $I=5$ А в течение $t=10$ с?

7. Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}=1,5$ В замкнут на сопротивление $R=3$ Ом. При этом по цепи протекает ток $I=0,15$ А. Определите ток короткого замкнения.

8. В камере Вильсона, помещенной в однородное магнитное поле с индуцией $B=1,5$ Тл, альфа-частица, влетая перpendикулярно направленное поля, оставляет след в виде других окружностей радиусом $R=2,7$ м. Найдите импульс и кинетическая энергию частицы Масса альфа-частицы $m=6,7 \cdot 10^{-27}$ кг, ее заряд $q=3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл.

9. Предмет находится на расстоянии $d=40$ см от coincipation линзы с фокусным расстоянием $F=20$ см. Определите местоположение изображения. Полностью охарактеризуйте изображение.

10. Атом водорода при перехождение из одного Staционного состояния в другое испускает последовательное два кванта с длинами волны $\lambda_1=40510$ Å и $\lambda_2=972,5$ Å ($1$ Å = $10^{-10}$ м). Определите изменение энергии.atoma водорода. Постоянная Планка $h=6,62 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Публикация подготовили
В. Виноградов, В. Закалокин

Московский авторомильно-дорожный институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(первый экзамен)

46

47

$$\frac{x \cdot (\sqrt{4})^3}{\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3} = 4^2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{4})^3}.$$

2. Решите уравнение
   $$\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5.$$

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{x+5} + \sqrt{10x-5} = 12 = 0.$$

4. Решите уравнение
   $$\sqrt{5x-5} + \sqrt{10x-5} = \sqrt{15x-10}.$$

5. Решите уравнение
   $$\lg 8 - \lg (x+7) = \lg 2 - \lg \sqrt{x+7}.$$

6. Вычислите $A$, если $A = 2^B$ и
   $$B = 3 \log_8 9 - 4 \log \frac{1}{16}.$$

7. Найдите середину отрезка, в котором выполено неравенство
   $$2x^2 - 7(\sqrt{x})^2 \leq 4.$$

8. Дано: $\cos 3\alpha = \frac{1}{4}$. Вычислите $A = 49 \text{ ctg}^2 \left(6\alpha - \frac{\pi}{2}\right).$

9. Найдите 25-й член арифметической прогрессии 3, 8, …

10. В равноедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а перimetр равен 48. Найдите боковую сторону.

Вариант 2
(второй экзамен)

1. Найдите в градуах, если $45^\circ < x \leq 90^\circ$ и $\sin (270^\circ + 3x) = \cos 5x$.

2. Вычислите значение произвольной $f'(0)$ для
   $$f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}} + \frac{5}{2}x.$$

3. Найдите на отрезке $[-1; 2]$ наиболее и наиболее значения функции
   $$f(x) = (x+1)^2(x-2)+2.$$

4. Вычислите интеграл
   $$\int_0^1 \left(1 - \frac{\pi}{\cos^2 \pi x}\right) dx.$$

5. Найдите площадь функции, ограниченной линиями $y=x^2$, $y=2-x$.

6. Даны вершины треугольника $A(0; 0)$, $B(1; -3)$, $C(2; -2)$. Найдите квадрат длины его медианы, проведенной из вершины $B$.

Физика
Писменный экзамен

Вариант

1. С высоты $h=100$ м над поверхностью Луны вертикально вниз брошено тело с начальной скоростью $v_0=2$ м/c. Через сколько времени тело достигнет поверхности Луны? Ускорение свободного падения на Луне $g_{\perp}=1,6$ м/c².

2. Чтобы тело массой $m=5$ кг не скскальзывало с вертикальной стены, его следует придавить к ней с минимальной силой $F=500$ Н, направленной перpendикулярно плоскости стены. Найдите коэффициент треяния тела о стену. Ускорение свободного падения $g=10$ м/c².

3. На одном конце неподвижной длиной тележки массой $m_T=20$ кг стоит человек массой $m_y=60$ кг. С какой скоростью будет движаться тележка, если человек появляется со скоростью $v=2$ м/c относительно тележки?

4. На какой глубине в воде давление в 5 раз больше атмосферного, которое равно $p=10^5$ Pa? Плотность воды $\rho=10^3$ кг/m³, ускорение свободного падения $g=10$ м/c².

5. Какое количество теплоты надо затратить, чтобы $m=0,1$ кг воды, взятой при температуре $T=273$ K, довести до кипения и обратить в пар? Температура кипения воды $T_k=373$ K, удельная темпераность $c=4200$ Дж/(кг·К), удельная температура $r=22,6 \cdot 10^5$ Дж/кг. Ответ даь в кДж ($1 \cdot 10^3$ Дж).

6. При нагревании газа получена зависимость давления от абсолотной температуры, приведенная на рисунке. Как изменяется при этом объем газа? Указите номер правильно ответа: 1) увеличился, 2) не изменился, 3) уменьшился, 4) для решения задачи данных недостаточно.

7. Расстояние от точечного заряда увеличилось в 7 раз. Во сколько раз уменьшилось направление электрического поля в данной точке?

8. Два проводника включаны в цепь параллельно; сопротивление первого проводника в 10 раз больше второго. Найдите отношение мощности, потребляемой первого проводником, к мощности, потребляемой вторым.

9. Определите длину волны света, энергия кванта которого $W=3,6 \cdot 10^{-19}$ Дж. Постоянная Планка $h=6,6 \cdot 10^{-34}$ Дж·с, скорость света в вакууме $c=3 \cdot 10^8$ м/c. Ответ даь в нанометрах ($1 \text{ nm}=10^{-9}$ м).

10. Перед двояковыпуклой линзой с фокусным расстоянием $F=1$ м находимся предмет высотой $h=2$ м на расстоянии $d=3$ м. Найдите высоту изобравжения предмета.

Публикацию подготовили
О. Мишина, Ю. Рябов, А. Соловье, А. Тимофеев