[Ответ на вопрос читателя Н. П. Ратникова о решении неравенства с интегралом]

14

Спрашивайте — ответаем

Вы правы: по определению интеграла, данному в школьном учебнике («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 60), для существования интеграла $\int_a^b f(x) dx$ требуется, чтобы подынтерральная функция $f$ была непрерывна на отрезке с концами $a, b$ (то есть на $[a; b]$ при $a < b$ и на $[b; a]$ при $a \geq b$).

Ответ, указанный в «Кванте», получается при чересуур форматном интерировании, не учитывающим условия, при которых верна формула Ньютона — Лейбница

$$\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg|_a^b.$$

Эта формула верна, если функция $f$ непрерывна на $[a; b]$ и $F'(x) = f(x)$ всюду на $[a; b]$.

Позному

$$\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} = -\frac{1}{y+1} \bigg|_0^x$$

только при $x > -1$ и данное неравенство равносильно системе

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{9x-15}{19} < -\frac{1}{y+1} \bigg|_0^x -1 \\ x > -1. \end{array} \right.$$

Правильно ответ в задаче: $\emptyset$.

Между прочитам, из (*) следует

$$\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} = \frac{1}{x+1} -1.$$

При $x < -1$ получаем парадоксаный результат: интеграл от положительной функции, то есть вроде бы площадь, отрицатель (напомним, что $\int_a^b f(x) dx$ есть площадь при $a < b$ и $f(x) \geq 0$ на $[a; b]$).

Для тех, кто знаком с понятием несобственного интеграла, заметим, что при $x_0 < -1$ интеграл $\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2}$ не существует.