Уральский электромеханический институт инженеров железнодорожного транспорта

51

Московский
технологический институт
легкой промышленности
Matematika
Писменный экзамен
Вариант

1. Упростите и вычислите при $x=3$ выражение
   $$\frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x}}{1 + 6\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}.$$

2. Определите значение первого члена арифметической прогрессии, если ее разность составляет 25% от значения последнего члена, являющегося девятнадцатым. Значение разности прогрессии равно 12.

3. Решите уравнение
   $$\frac{x^2 - 3,5x + 1,5}{x^2 - x - 6} = 0.$$
   Ответ запишите в виде десятичной дроби.

4. Найдите наиболее целое $x$, удовлетворящее неравенству
   $$\frac{2x+1}{3} - \frac{3x-1}{2} > 1.$$

5. Решите уравнение
   $$x-1 = \sqrt{\frac{x}{2}}.$$

6. Найдите наиболее целое положительное $x$, удовлетворящее неравенству
   $$\sqrt{x^2 + 16x + 64} > 20.$$

7. Из $A$ в $B$ со скоростью 3,6 km/ч вышел пешекод; через 1 ч 15 мин настручу ему из $B$ вышел другой пешекод со скоростью 4,8 km/ч. Чему равно расстояние $AB$, если вторый пешекод приближел в $A$ одновременно с приходом первого в $B$?

8. При пionерских звена собрали для библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которые собрали первого и второе звено вместе. Сколько книг собрало второе звено?

9. В магазина привезли 1600 кг яблок. В первый день было продано 30% всех яблок. Во второй день — 40% от оставшегося на второй день количества яблок. В третьий день было продано 25% от оставшегося на третьий день количества яблок. Сколько яблок осталось в магазина после трех дней продажи?

10. Решите уравнение
    $$5^{2x} \cdot 6^{2x} = 900.$$

11. Решите уравнение
    $$\log_4 2^{4x} = 2^{\log_2 4}.$$

12. Найдите целое число, удовлетворящее неравенству
    $$\log_{0.3}(4x+1) < \log_{0.3}(x^2+4).$$

13. Упростите выражение
    $$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin x + \sqrt{3 \cos x}}{\sin(x + 60^\circ)}$$
    до числового ответа с двумя знаками после запятой, учитывая правила округления.

14. Вычислите без таблиц с трея знаками после запятой
    $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$$

15. Найдите корень уравнения
    $$3 \mathrm{tg}^2 2x + \sqrt{3} \mathrm{ctg}(270^\circ + 2x) = 0,$$
    принадлежащий интервалу $]0^\circ; 90^\circ[$; вычислите его в градусах.

16. Найдите наименший корень уравнения
    $$\tg 2x + \tg 4x = 0,$$
    принадлежащий интервалу $]0^\circ; 90^\circ[$; ответ зашиите в градусах.

17. Определите период трансции с отношением оснований 8:3, если тангенсы углов при большем основании равны 4/3 и 3/4, а высота трапецива 12 единицам.

18. В круглые правильный треугольник и квадрат. Найдите с точностью до треугольника после запятой, используя правила округления, относение площади треугольника к площади квадрата, приняв cos $30^\circ = 0,866$.

19. Найдите площадь боковой поверхности правильно четырехугольной признамы, если известны ее объем 36 и высота 4.

20. Определите объем шара, выписанного в цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Объем цилиндра 128π. Принять $\pi = 3,14$. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой, используя правила округления.
    Публикацию подготовил В. Юрдов

Уральский
электромеханический
институт инженеров
железнодорожного транспорта

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Через вершину конуса под углом $\varphi$ к его основанию проведена плоскость сечения. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно $d$ и составляет поливну образующей. Найдите объем конуса.
2. Решите уравнение
   $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(x + \frac{7}{6} \pi\right) = 2 \left(\cos \frac{5}{3} \pi - \sin^2 x\right).$$
3. Решите уравнение
   $$\lg(3^2 \sqrt{x+5}-x) = 1 - \lg 2.$$
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линями $y=x^2-2x+3$ и $y=3+4x-x^2$.

Вариант 2

1. Высота правильной треугольной признамы равна $h$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой стороны нижнего основания, составляет плоскостью основания угол $a$. Найдите полную поверхность признамы.

52

2. Решите неравенство
   $$1 < \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} \leq 2.$$
3. Найдите объем фигуры, образованной вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которого задана уравнениями $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$ и $y = 0$.
4. Доказите точность
   $$\sin^2 2\alpha - \cos \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) \cdot \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4}.$$
   Задачи устного экзамена
5. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность ее равна — 22. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равна 3069?
6. Найдите область определения функции
   $$y = \frac{\sqrt{4-x}}{\lg(x-2)}.$$
7. Решите уравнение
   $$\sqrt{5 - \log_2 x} = 3 - \log_2 x.$$
8. Найдите решение уравнения $\cos^2 x = 1$, для которых $x^2 \leq 20$.

Плоскость в пространстве

(Начало см. на с. 38)

На этот раз искомый угол $\alpha$ мы найдем при помощи угла $\beta$ между вектором, перpendикулярным к $(BC_1D)$, и вектором $\overrightarrow{BD}_1$. По определению («Геометрия 9—10», §37) $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$. Очевидно (рис. 3 на с. 39), $\alpha = 90^\circ$ — $\beta$ или $\alpha = 90^\circ$ — $(180^\circ$ — $\beta)$ = $\beta$ — $90^\circ$. Поэтому $\sin \alpha = |\cos \beta|$. Ответ. arc $\sin \frac{\sqrt{6}}{9}$.

Задача 9 (МИФИ, 1981). Уравнение плоскости $\alpha$ и $\beta$ есть $2x + 3y + 4z - 8 = 0$ и $4x + y + 3z - 6 = 0$, $p = \alpha \cap \beta$. а) Определите координаты точки пересечения прямой $p$ с плоскостями $xOy$ и $yOz$. б) Определите величины между прямой $p$ и плоскостью $xOz$.

Координаты точки $A = p \cap xOy$ являются решением системы
$$\begin{cases} 2x + 3y + 4z - 8 = 0 \\ 4x + y + 3z - 6 = 0 \\ z = 0. \end{cases}$$

Координаты точки $B = p \cap yOz$ — решением системы
$$\begin{cases} 2x + 3y + 4z - 8 = 0 \\ 4x + y + 3z - 6 = 0 \\ x = 0. \end{cases}$$

Теперь, если $\alpha$ — искомый угол и $\beta$ — угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{n} = (1; 0; 1)$, то $\sin \alpha = |\cos \beta|$. Ответ. а) $A(1; 2; 0)$, $B(0; 0; 2)$. б) arc $\sin \frac{2}{3}$.

Уражнения
1 (МИНХ, 1980). Точка $P(2; -1; 1)$ служит основанием перpendикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.
2 (МИНХ, 1980). Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точки $(2; -3; 3)$ параллельно плоскости $xOy$.
3 (МИНХ, 1979). Нашите уравнение плоскости, проходящей через точки $A(4; 0; 0)$ и $B(0; 0; 4)$ и параллельной оси $Oy$.
4 (МЭСИ, 1981). Вычислите расстояние от плоскости $2x + 2y - z + 15 = 0$ до сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0$.
5 (МИФИ, 1978). Данные четырех точки: $A(1; -2; 2)$, $B(1; 4; 0)$, $C(-4; 1; 1)$ и $D(-5; -5; 3)$. а) Доказите, что эти точки лежат в одной плоскости. б) Определите величины угла между прямой $AC$ и $BD$.
6 (МИСИС, 1980). В пространстве даны векторы $\overrightarrow{MA} = (2; 1; -1)$, $\overrightarrow{MB} = (-2; 3; 5)$ и $\overrightarrow{MC} = (3; 5; 1)$. Найдите величины двумерного угла, образованного плоскостями, проходящими соответствующим через векторы $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC}$.