Задачи М746—М750; Ф758—Ф762

Квант 1982, №6 с. 19-21 Тег R9B5

Задачи
M746 — M750; Ф758 — Ф762

M746. Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой l, проходящей через центр, в (невыпуклый) девятугольник. Как нужно проводить прямую l, чтобы:
a) полученный девятугольник имел наибольшую площадь?
b) В нем помещалась окружность наибольшего возможного радиуса (рис. 1)?

К. Вульфсон

M747. a) Сумма n чисел равна 0, сумма их моделей равна a. Доказите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.
b) Внутри выпуклого n-угольника $A_1A_2...A_n$ выбрана точка O так, что сумма векторов $\vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + ... + \vec{OA}_n$ равна нулю вектору, а сумма их длины равна d. Доказите, что перimeter этого n-угольника не меньше 4d/n.
b) Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

В. Прасолов

M748. a) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней область параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которого служит эта парабола — см. рис. 2)
b) В пространстве расположено несколько непересекающихся конусов. Доказите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли все пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате врашення неокоторого угла вокруг его биссектрисы.)

О. Кузьминых

M749* a) Доказите, что если $x_1, x_2, x_3$ — положительные числа, то
$\frac{x_1}{x_2+x_3} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_1+x_2} \geq \frac{3}{2};$
при каком условия это неравенство превращается в равенство?

Доказите, что если $x_1, x_2, \ldots, x_n$ — положительные числа, то
$\frac{x_1}{x_2+x_n} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \ldots + \frac{x_{n-1}}{x_n+x_{n-2}} + \frac{x_n}{x_1+x_{n-1}} \geq 2,$
причем равенство возможно только при $n=4$ .
в) Доказите, что при $n>4$ неравенство пункта
является точным в том смысле, что ни при
каком $n$ число 2 в правой части нельзя заменить
на большее.

А. Прокопьев

М750. Доказите, что, как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в $N$ цветов, найдется
a) прямогольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линяем сетки — по вертикальным и горизонтальным прямым — рис. 3, а);
б) $l$ горизонтальных и $m$ вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах $lm$ клеток одного цвета ( $l$ и $m$ — любые натуральные числа — рис. 3, б);
в) равнобедренный прямогольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при $N=2$ (рис. 3, θ);
г)* то же для $N=3$ .

С. Беспамятных

Ф758. Жесткая заготовка зажата между двумя параллельными направляющими, движущимися в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ (рис. 4). В некоторых момент времени точки касания заготовки с направляющими лежат на прямой, перpendикулярной вектором $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ . Какие точки заготовки имеют в этот момент скорости, равные по абсолотной величины $v_1$ и $v_2$ ?
С. Кротов

Ф759. Невесомыйстержень длины $l$ с небольшим грузом массы $m$ на конце шарниро закреплен в точке $A$ (рис. 5) и находится в строго вертикальном положении, касаясь при этом тела массы $M$ . От небольшого толка системы приходит в движение. При каком соотношения между $m$ и $M$ стержень в момент «отрыва» от тела $M$ будет составлять с горизонтом угол $\alpha=\pi/6$ ? Чему будет равна в этот момент скорость тела $M$ ? Треннем претензь.

К. Сердеев

Ф760. В теплопозоливной сосуд, содержащий $m_1=20$ г гелия, влагает со скоростью $v=100$ м/с стальной шарик массы $m_2=1$ г. Найти изменение температуры в сосуд. Удары шарика о стенки сосуда и атомов о шарик считать абсолотно упругими.

Р. Алексадров

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications.

The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than August 31, 1982 to the following address: USSR, Moscow, 117071, Москва.

Ф761. Схему собирают из батарейки, двух одинаковых амператоров и двух одинаковых волтметров (рис. 6). Амператоры $A_1$ и $A_2$ показывают, соответствие $I_1=1,1$ мА, $I_2=0,9$ мА; волтметр $B_2$ показывает $U_2=0,25$ В. Что показывает волтметр $B_1$ ? Чему равно напряжение батарей?

З. Рафаилов

Ф762. На рисунке 7 приведена волтметрная характеристика лампы накаливания, номинальное напряжение которого $U_H=220$ В, номинальная мощность $P_H=100$ Вт. Лампу подключит к сети переменного тока (220 В, 50 Гц) последовательно

Рис. 7.

с конденсатором емкости $C=10$ мкФ. Определить ток в лампе и напряжение на ней. Считать, что в течение периода сегвого напряжения температура нити практически не меняется.

А. Зильберман

Problems

M746 — M750; P758 — P762

M746. A paper square is folded in half along a line $l$ , passing through its centre, into a (non-convex) nine-sided polygon. How should the line $l$ be chosen in order to:
a) make the area of the polygon maximal?
b)* construct a circle of maximal radius contained in the polygon (see figure Рис. 1)?

K. Vulfson

M747. a) The sum of $n$ numbers is zero, the sum of their absolute values is $a$ . Prove that the difference between the largest and smallest number is no less than $2a/n$ .
b)* The point $O$ is chosen inside the polygon $A_1A_2...A_n$ so that the sum of vectors $\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} + ... + \overrightarrow{OA_n}$ is the zero vector and the sum of their lengths is $d$ . Prove that the polygon’s perimeter is no less than $4d/n$ .
c)* Can this estimate be improved (for certain $n$ )?

V. Prasolov

M748. a) Can a finite number of parabolas be placed on the plane so that their inner domains cover the entire plane? (The inner domain of a parabola is the convex figure bounded by it — see figure Рис. 2).
b)* Several non-intersecting cones are placed in space. Show that they cannot be moved so as to cover the entire space. (By a cone here we mean the unbounded convex figure obtained by rotating an angle about its bisector).

O. Kuzminykh