Таджикский государственный университет им. В. И. Ленина

43

2. Решите уравнение
   $(\sin x + \cos x)^2 = \mathrm{tg} x \cdot \cos 2x$.

3. Найдите область определения функции
   $$y = \sqrt{\log_{0.3} |x-2|} / |x|.$$

4. Упростите выражение
   $$f(x, y) = \left( \frac{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} + \frac{1 + \sqrt{xy}}{4\sqrt{xy}} \right)^{-2} \times \left( 1 + 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{2}}$$
   и вычислите при $x=9, y=0,04$.

Вариант 4
(экономический факультет)

1. Диагональ прямогольного параллелепида имеет длину $d$ и образует с двумя смежными боковыми гранями конгрузные углы, величины которых равна $a$. Найдите объем параллелепида и указыва значение $a$, при котором этот объем будет максимальным.

2. Решите уравнение
   $$2 \cos 2x - \sin x + 1 = 0.$$

3. Решите неравенство
   $$\log_3 \frac{4x^2 - 1}{x} \leq 1.$$

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$, касательной к ней в точке с абсциссой 2 и осью абсцисс.

Вариант 5
(геологический факультет)

1. Найдите длину высоты цилиндра максимального объема, если цилиндр в шар радиуса $R$.

2. Решите уравнение
   $$3 \cos^2 x - \sin^2 x - \sin 2x = 0.$$

3. Найдите область определения функции
   $$f(x) = \sqrt[6]{x+x^2-2x^3}.$$
   Публикацию подготовили
   H. Karapetянц, H. Kovalenko,
   B. Шутко

Таджикский государственный университет им. В. И. Ленина
Matematika
Писменный экзамен

Вариант 1
(механико-mатематический факультет)

1. Сечение конуса, параллельное его основанию, проходит через центр описанного около конуса шара. Объем отсеченного конуса равен половине объема конуса. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

2. Исследуйте и построите график функции $y=3x^2-x^3$.

3. Найдите знаменатель и сумму семи членов геометрической прогрессии, если $a_1=36, a_7=\frac{4}{81}$.

4. Решите уравнение
   $$25\sqrt{x}-124 \cdot 5\sqrt{x}=125.$$

5. Решите неравенство
   $$\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x < 6.$$

Вариант 2
(физическая факультет)

1. В равноведренной трапеции $ABCD$ $|AB|=|CD|=a$ см. Диагональ делит угол при нижнем основании, величины которого равна $a$, пополам. Найдите площадь трапеции.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$, касательной к ней в точке с абсциссой 2 и осью абсцисс.

3. Решите систему
   $$\begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\ x \cdot y = 27. \end{cases}$$

4. Решите уравнение
   $$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\cos^2 x} = 1.$$

5. Решите неравенство
   $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+2}} < 3^{-x}.$$

Вариант 3
(геологический факультет)

1. Дан терраэд $ABCD$, ребро которого равно $a$. Через вершину $B$ и середину ребер $AD$ и $DC$ проведена плоскость. Найдите перimeter фигуры, получаются в секции.

2. Исследуйте функцию $y=(5+\cos x) \times (12-\cos x)$ на экстремум.

3. Найдите величины $x$, если
   $$\left( 6 \frac{3}{7} - \frac{3}{4} \cdot x - 2 \right) \cdot 2,8 - 1 \frac{3}{4} : \frac{1}{20} = 35.$$

4. Решите систему
   $$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 972 \\ \log_{\sqrt{3}} (x-y) = 2. \end{cases}$$

5. Решите неравенство
   $$\sin x + \sin 2x < 0.$$

Вариант 4
(планово-экономический факультет)

1. В треугольнике $ABC$ проведите прямую $A_1B_1$, параллельную основанию $AB$, так, чтобы площадь прямого угла $A_1B_1C_1D_1$ оказалась наибольшей ($C_1$ и $D_1$ лежат на $AB$).

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=-x^2+2x+8$ и осью абсцисс.

3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-x-y = 6 \\ x-2y = 3. \end{cases}$$

4. Решите уравнение
   $$2 \sin^2 x - 3 \cos x = 3.$$

5. Решите уравнение
   $$x^{1-\frac{1}{3}} \lg x^2 = 10^{-\frac{2}{3}}.$$
   Публикацию подготовили
   B. Алиев