Московский архитектурный институт

48

Московский архитектурный институт

Математика

Задание устного экзамена

1. Доказать тождество
   $$\sin^2 \alpha \cdot \cos^4 \alpha = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \cos 2\alpha - \frac{1}{16} \cos 4\alpha - \frac{1}{32} \cos 6\alpha.$$
2. Выражение
   $$\log_m A \cdot \log_n A + \log_p A \cdot \log_m A$$
   представить в виде произведения.
3. Построить график функции $y = \frac{|x|}{x}$.
4. Решить уравнение
   a) $\lg(2^x + x - 41) = x(1 - \lg 5)$;
   b) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 5x = 0$.
5. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} x - \sqrt{x+y} = 2\sqrt{3} \\ (x+y) \cdot 2^{y-x} = 3. \end{cases}$$
6. Решить неравенство
   a) $0,11^{\log_3 \frac{4x-1}{3x+2}} > 1$;
   b) $3\sqrt{6+x-x^2} > 4x-2$.
7. Найти
   a) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$;
   b) $\lim_{x \to -1} \frac{\cos 2-\cos 2x}{x^2-|x|}$.
8. Найти наиболее объем треугольной прямоды $MABC$, в основании которого лежит равнобедренный прямогольный треугольник $ABC$ ($|AB| = |BC|$), если $[MB] \perp (ABC)$ и $|MA| = \sqrt{3}$.
9. Вычислить объем функции, полученной при врашении вокруг оси абсцисс плоской функции, ограниченной кривой $y = \cos x$ и осью абсцисс, $x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Физика
Задание устного экзамена

1. Груз массой $m = 50$ кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы $F = 500$ Н, направленной под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Козффициент треягура о плоскости $\mu = 0,5$. Определите ускорение движения груза.
2. Шарик, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определите скорость шарика и перiod его врашения по окружности, если длина нити $l = 1$ м, а ее угол с вертикальной составляется $\alpha = 45^\circ$.
3. Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он оставался на ней в покое? Масса бруска $m = 4$ кг, длина наклонной плоскости $l = 1$ м, высота $h = 0,6$ м. Козффициент треягура о плоскость $\mu = 0,4$.
4. Два шара массой $m_1 = 4$ кг и $m_2 = 6$ кг скреплены стержнем, масса которой $m_3 = 2$ кг.

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Работий $A$ может окончить некоторую работу на 5 дней позже, чем рабочий $B$, и на 9 дней позже, чем рабочий $C$. Работие $A$ и $B$, работающие вместе, могут окончить эту работу за столько дней, за сколько ее может закончить рабочий $C$. За сколько дней каждой работы в отдельности может закончить эту работу?
2. Решите уравнение
   $$\sin 2x - \sin x = \cos x - \frac{1}{2}.$$
3. Найти наиболее и наиболее значения функции $y = \ln(2x) - x^2 + x$ на промежутке $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$.
4. Вычислите (сделав рисунок) площадь функции, ограниченной линиими $y = x - \frac{x^2}{2}$,