Ростовский государственный университет им. М. А. Суслова

42

8. Решите систему уравнения
   $$\begin{cases} |x-y|=1 \\ |x|-|y|=1. \end{cases}$$

9. Исходя из определения предела последовательности, доказите, что последовательность $a_n = \frac{n^2+1}{n^2+2}$ имеет предел 1.

10. Найдите промежутки монотности и точки экстремумов функций $y = |2-x^2| - 2|$. Построите график этой функции.

11. Найдите промежутки monotности и точки экстремумов функций $a)$ $y = x \cdot e^{-3x}$;
    $6)$ $y = \frac{x}{\ln x}$.

12. Докажите, что функция $y = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 + ax + b$ при любых $a$ и $b$ имеет только одну экстремальный точку.

13. В какой точке промежутка ] 0; $\frac{\pi}{2}$ [
    функция $y = \mathrm{tg} x + \frac{3}{4} \text{ctg } x$ принимает наименьшее значение?

14. Для каких значений параметра $a$ функция $y = (\sqrt{3} \text{ctg } x + a^2)^3 \cdot \text{ctg } x$ достигает наименьшего значения на промежутке ] 0; $\frac{\pi}{2}$ [
    в точке $x = \frac{\pi}{3}$?

15. При каком значении параметра $a$ минимальное значение функции $y = x^2 - 4ax - a^4$ наиболее?

16. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите
    $$\int_0^2 \sqrt{2x-x^2} \, dx.$$

17. Вычислите объем пространственной функции, образованной вращением вокруг оси абсцисс плоской функции, ограниченной графиком функции $y = 1 - e^{-|x|}$ и прямой $y = \frac{2}{3}$.

18. Точки $M$ и $N$ — середины сторона $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$, а точки $M_1$ и $N_1$ — середины сторона $A_1C_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Если $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$, то векторы $\overrightarrow{M_1}, \overrightarrow{N_1}$ и $\overrightarrow{C_1}$ компланарны. Докажите это.

19. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CM$. Примяем $l$, параллельная $(CM)$, пересекает прямые $BC$, $CA$ и $AB$, соответственно, в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что в линиях сторона треугольника $a < b < c$ образуют арифметическую прогрессию, то $ac = 6rR$, где $r$ и $R$ — соответственно, радиусы вписанной и описанной окружности. Докажите это.

20. Если длины сторона треугольника $a < b < c$ образуют арифметическую прогрессию, то $ac = 6rR$, где $r$ и $R$ — соответственно, радиусы вписанной и описанной окружности. Докажите это.

21. Через точку $B$ хорды $AB$ проведена к окружности касательная, а из точки $A$ на нее опущен перpendикуляр $AC$. Докажите, что в линияна $\frac{|AB|^2}{|AC|}$ не зависит от хорды $AB$.

22. Предположим, что в $n$-угольник можно вписать окружность. Пусть $r$ — радиус этой окружности, а $P$ — перimeter $n$-угольника. Докажите, что площадь $n$-угольника $S = \frac{1}{2} Pr$.

23. Если в многогранник можно вписать шар, то его объем $V$ и площадь его поверхности $S$ связаны соотношением $V = \frac{1}{3} Sr$ ($r$ — радиус вписанного шара). Докажите это.

24. Если точка $(x; y; z)$ лежит на плоскости $x+y+z=3$, то $x^2+y^2+z^2 \geq 3$. Докажите это.

Публикацию подготовили
В. Вышенский, Н. Пересток,
А. Самойленко

Ростовский государственный университет им. М. А. Суслова

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1
(отделение математики механико-mатематической факультета)

1. В равноведенную грапцию с тупым углом вличины $a$ вписка окружность радиуса $r$. Найдите длину окружности, описанной около той же грапции.

2. Напшите уравнения касательных к графику функции $y(x) = -x^2 - 2x$, если известно, что касательные проходят через точку с координатами $(0; a)$.

3. Решите уравнение
   $$5 \sin \frac{x}{2} + \cos x - 3 = 0.$$

4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между боковым граями правильной треугольной прямыми, если двугранный угол, образующий боковой граью с основанием, равен $a$.

5. Два тела совершают прямолинейное движение по законам $s_1(t) = \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{1}{2} t + 4$, $s_2(t) = \frac{2}{3} t^3 + \frac{5}{2} t^2 + 12t + 3$, где $t$ — время в секундах, $s_1(t)$ и $s_2(t)$ — пути в метрах, проиденные, соответственно, первым и вторым телами. В каждой момент времени, считая от $t=0$, скорость движения первого тела будет в четые раза меньше скорости второго тела?

6. Решите уравнение
   $$\cos 7x + \sin^2 2x = \cos^2 2x - \cos x.$$

7. Решите неравенство
   $$\log_{\frac{x+3}{x-3}} 4 < 2(\log_2 \frac{1}{2} (x-3) - \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt{x+3}).$$

Вариант 3
(физическая факультет)

1. Цилиндр, высота которого имеет длину $H$, а радиус основания равен $r$, вписан в конус. Найдите величины угла при вершине осевого сечения конуса, при которой объем конуса будет наименьшим.