О сокращении показателей

40

О сокращении показателей

В ныне действующем учебном пособии «Алгебра 8» (М., «Просвещение», издания 1979 г. и позже) корнем n-й степении из a называется такое число, n-я степень которого равна a. (Здесь n — произвольное натуральное число, в частиности 1.) Поэтому у положительного числа a при четном n имеются два корня n-й степении из a — положительный (именно он обозначает через $\sqrt{a}$) и отрицательный (-$\sqrt{a}$). При нечетном n у любого числа a имеется один корень (он обозначает через $\sqrt{a}$). Наконец, при любом натуральном n $\sqrt{0} = 0$.

Сокращение показателей для неотрицательных a не вызывает никаких затруднений: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^m}$ (п. 26 упомянутого пособия). А вот для произвольных a (в частиности, когда a — выражение, содержащое переменную) дело обстоятель хитрее. Вы хорошо знаете, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (здесь m=n=1, k=2). В обшем случае,

$$\sqrt[n]{a^m} = \begin{cases} \sqrt[n]{|a|}^m, \text{ если } mk \text{ четно и } m \text{ нечетно} \\ \sqrt[n]{a^m} \text{ во всех остальных случаях} \end{cases}$$

Например, $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{|a|}$ и $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{|a|}$ (равенство $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ верно только при a≥0, хотя оба выражения $\sqrt[6]{a^2}, \sqrt[3]{a}$ определяены при любом a!).

Покажем, как применяется правило сокращения показателей на примере системы ирациональных уравнений

$$\begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[3]{x-y} = 6 \\ \sqrt[6]{(x+y)^3(x-y)^2} = 8 \end{cases}$$

При любых x и y получаем два решения системы (5): (12; 4), (34; -30).

Решая вспомогательную систему

$$\begin{cases} u+v = 6 \\ u \cdot v = 8 \end{cases}$$

получаем два решения: $u_1 = 4$, $v_1 = 2$ и $u_2 = 2$, $v_2 = 4$. Решая системы

$$\begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ \sqrt[3]{x-y} = 2 \end{cases}$$

решений не имеет (почему?),

$$\sqrt[3]{(x+y)^3(x-y)^2} = \sqrt[6]{(x+y)^3(x-y)^2}$$

Поправка

В статье Л. Понтрягина «Комплексные числа» («Квант», 1982, № 3) в доказательство формулы (11) по вине редактики вкрасились опечатки, затрудняющие его понимание. Мы воспроизвольной форме эту часть доказательства (с. 5-6): «Из формулы (9) непредседательно вытекает

$$iz = i \cdot (x+iy) = x \cdot i + y(-1) = xR_d(1) + yR_d(i) = R_d(x \cdot 1 + y \cdot i) = R_d(x+iy) = R_d(z).$$

Таким образом, формула (11) доказана при a = $\frac{\pi}{2}$.

Пусть теперь a — произвольное действительное число. При z = cos a + i sin a получаем

$$z \cdot i = i \hat{z} = R_d(\hat{z}) = R_d(\cos a + i \sin a) = \cos(a + \frac{\pi}{2}) + i \sin(a + \frac{\pi}{2}) = R_a(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = R_a(i).$$

Таким образом, формула (11) доказана при z = i. Кроме того, в статье того же автор «Основная теорема алгебры» («Квант», 1982, № 4) по вине типографии на с. 9 напечатано $f(z) = f(\bar{z})$ вместе правильно $f(z) = f(\bar{z})$.