Что такое волна?

Квант 1982, №6 с. 2, 3, 4, 6, 7 Тег TQ25

Л. Асламазов, И. Кикоин

Что такое волна?

Бросая в воду каменики, смотри на круziи, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустого забавого.
Козьма Прутков. Плоды разделы

Понятие волны нам кажется оченьным, и мы интуитивно связываем его с каким-то движением. Бросим в воду камень — по поверхности воды побежит волна. Но если на воде в это время плавает ветка, то мы заметим, что она вовсе не смешается в направлении распространения волны, а совершает колебательное движение вверх-вниз. Что же перемещается при распространиении волны? Расмотрим несколько примеров.

Говорят, что импертица Елизавета, doch Петра I, пожелала, чтобы торжественный момент ее коронации был отмечен артиллерийским сальтом с Петропавловской крепости в новой столике — Петербург. А по закону коронация русских царей проходила в Успенском соборе в Москве. В нашей время передать любую информацию из Москвы в Ленинград просто: достаточно послать по радио сигнал, и пушка выстрелит вовремя. А тогда нужно было придумать другой способ оповещения о моменте возникления патриархом короны на голову импертицы.

И вот на всем пути (примерно 650 км) от собора в Москве до крепости в Петербурге были выступены солдаты на расстоянии прямой видимости (около 100 м) друг от друга. Для этого, как легко подсчитать, она добавилось приблизительно 6500 солдат. У каждой солдата в руке был флажок. В момент коронания перый солдат взмахнул флажком, следующий повторил его движение, за ним — все остальные. Время реакции человека составляет десять секунды, и, следовательно, через 10—20 минут известное о коронации должно до артиллерия в Петропавловской крепости.

Что же перемещалось от Москвы до Петербурга? Каждый солдат остался стоять на своей месте. Единственное, что он сделал — взмахнул флажком. На научном языке можно сказать, что, подняв и опустив руку с флажком, он на некоторое время изменил свое состояние. Это изменение состояния и перемещалось вдоль цепи солдат.

Переменные в пространстве изменения состояния называется волной.

В 1905 году в Петербурге начались забастовки, и тогда печать письма, что волна забастовок распространилась по всей России и достигала самых дальних окран. В этом случае распространялось состояние, в котором рабочие бросали работу на промышленных предприятиях и предъявляли политические и экономические требования.

А вот пример о том, как распространяются слухи. Известно, что слух, пущенный даже одним человеком, может распространиться в городе в течение короткого времени. Она значительное меньше времени, необходимого для того, чтобы этому человеку обойти (или обзвонить) всех людей в городе. Ясно, что носители слуха сами могут и не перемешаться. Перемешается состояние освещенности. Так облично и говорят — по городу распространяется волна слухов.

Разберем, наконец, физический пример. На билиардном столе выстроена цепочка шаров (рис. 1, а). На нее налетает еще один шар так, что его скорость направлена вдоль цепочки. После удара налетаются шар оставentries, а последний шар отскочит (рис. 1, б). Мы сообщаем импульс первому шару, а получает его — последний. Это происходит потому, что вдоль цепочки шаров распространяется волна деформации. При ударе первый шар сплющается и деформарует соседний, тот — следующий и т. д. На любой промежуточной шар слева и справа действуют равные по модулю, но противоположные по направлению силы упругости (рис. 1, в), и он остается на месте. Посленему шару действующая только с одной стороны сила упругости сообщает импульс, и он отскакивает.

Такие волны деформации, распространиющиеся в упругих средах, называют звуковыми волнами. Следовательно, в результате удара по цепочке шаров пробежала звуковая волна. Она может распространяться в любом упругом теле. Например, если по закрепленному стержню (рис. 2, а) ударить с одной конца молотком, по стержню побежит волна деформации (звуковая волна). Когда эта волна doit do противоложного конца стержня, высший там шарик отскочит (рис. 2, б). Аналогично можно возбудить звуковую волну в жидкости или в газе, только вместе молотка удобнее, конечно, воспользоваться поршнем.

Попытаемся подобрать в механизме распространяния звуковых волн в упругих телах. В частности, выясим, от чего зависит скорость распространения волны. Сначала решим упрощенную задачу для модели упругого тела. Будем считать, что у нас имеется целочка шарков массой $m$ , соединенных пружинками жесткостью $k$ (рис. 3). Размеры шарков малы по сравнению с

рассстоянием между ними, а масса пружинок пребрежимо мала по сравнению с массой шариков. По существу это та же цепочка билиарных шаров, у которой мы «разделили» инертность (массу) и упругость (жесткость).

Такая модель близка к реализации в твердом теле. В кристаллической решетке atoms располагаются так, что в состоянии равновесия векторная сумма сил, действующих на каждой atom со стороны всех других, равнется нулю. При отклонении atomов от положения равновесия возникают силы пряжения и отталкивания, которые похожи на силы упругости*).

Давайте сообщим какому-либо шарику, например первому слева, импульс, направленный вдоль цепочки (толкнем его). Тогда, как и в примере с билиарными шарами, по цепочке побежит волна упругой деформации, которая через какое-то время достигнет правого конца цепочки. Так как последний шарик связан с цепочкой пружинкой, отскочить совсем он не сможет. Растянутая пружинка вынудет его вернуть назад, а затем, вследствие своей инертности, шарик созмет пружинку. Тепер волна деформации побежит справа налево. В таком случае говорят, что волна отразилась от конца цепочки и начала распространять в обратном направлении. По тем же причинам она отразится от противоположного конца и т. д. Эти отраженные волны условия наше рассмотрение, и, чтобы избавиться от них, рассмотрим «бесконечную» (то есть без концов) цепочки. Ее можно реализовать, замкнуть цепочку из большого числа шариков в колюцо (рис. 4). По такой «бесконечной» цепочке волна упругой деформации будет дивгаться по кругу без отражений, пока не затухнет.

*) На далеких рассстояниях между atomами действияют премущественно силы пряжения, а на близких — силы отталкивания (квантовая механика запрещает atomам пронКАТЬ друг в друга). Лишь при некоторых равновесном, расстоянии (примерно равном размеру atoms) силы взаимодействия между atomами обращаются в нуль.

Отклоним один из шариков от положения равновесия (например, сметтим по часовой стрелке) и отпустим. Тогда под действием подсоединенных к нему пружин положение шарика в пространстве будет периодически изменяться. Такое движение называют колебательным.

Колебания играют важную роль в природа и технике. Колебательное движение совершает мятник в часах; в бытовых электроприборах колеблотся сила тока и напряжение; смена дня и ночи, времен года — это тоже колебательный процесс, обусловленный движением Земли. Всевращаются механизмы вызывают колебания фундамента, которые не обходимо обязаательно учитывать при конструкировании.

Простейший тип колебательного движения — это гармоничское колебание, когда смещение тела от положения равновесия меняется со временем по закону

$\alpha = \alpha_m \sin(2\pi t/T) = \alpha_m \sin 2\pi vt = \alpha_m \sin \omega t,$

где в случае колебовой цепочки $\alpha$ — угловое отклонение шарика от положения равновесия. Как видно, гармоничское колебание характеризуется двумя величины (параметрами): максимальным отклонением (амплитудой) $\alpha_m$ и периодом колебаний $T$ (промежутком времени, через которой колебание полностью повторяется). Частота vравна числу колебаний в единицу времени, циклическая частота $\omega = 2\pi v$ вводится для упрощения математической записи колебательного движения, а величины $\varphi = \omega t$ , определяющая положение шарика в данной момент времени $t$ , называется фазой колебаний.

Приведем пример. Пусть шарик совершает полное колебание за время $T = 4$ с, в начальной момент он находится в положении равновесия, а его максимальное отклонение $\alpha_m = 0,1$ рад. Тогда, если он совершает гармоничное колебание, то зависимости отклонения от времени дается формулой

$\alpha = 0,1 \sin(\pi t/2).$

В момент $t_1 = 1$ с фаза колебаний равна $\varphi_1 = \pi/2$ , в момент $t_2 = 2$ с фаза

Рис. 6.

пространства в цепочке, имеет длину $\lambda_1 = L$ . Следующая, более короткая, $\lambda_2 = L/2$ , следующая $\lambda_3 = L/3$ и т. д. Какая же самая короткая волна может распространяться в цепочке?

Чем меньше длина волны, тем больше сдвиг фаз прихождения на соседние шарики. Максимальный «разнобой» происходит при сдвиге фаз между соседними шариками, равном п. В таком случае шарики колеблются в противофазе (рис. 6), и соответствуют длине $\lambda_{\min} = 2a$ .

Давайте рассчитаем, с какой частотой происходит колебания, соответствующие минимальной длине волны (это позволяет оценить скорость распространения волны в цепочке). Если положить, что средний шарик колеблется по закону
$\alpha_n = \alpha_m \sin \omega t$
то колебания предыдущего шарика описывается формулой
$\alpha_{n-1} = \alpha_m \sin (\omega t + \pi),$
а последующей —
$\alpha_{n+1} = \alpha_m \sin (\omega t - \pi).$

Зная, как движутся концы пружин, легко найти, как зависит от времени их деформация, и по закону Гука $F = kx$ расчитать силы упругости, действующие на средний шарик. Результирующая сила
$F = kx_m (\sin (\omega t - \pi) - \sin \omega t) + \sin (\omega t + \pi) - \sin \omega t) = -4kx_m \sin \omega t$
где $x_m = R\alpha_m$ — максимальное линейное отклонение шарика ( $R$ — радиус колба, в котором замкнут цепочка). Как видно, средний шарик колеблется так, как если бы он был присоединен к одной пружинке, но с учетверенной жесткостью. Подставляя в формулу (*) значение $k_0 = 4k$ , получаем, что при распространении по цепочке волны с минимальной длиной $\lambda_{\min} = 2a$ частота колебаний $\omega = 2\sqrt{k/m}$ . Это — максимальная частота колебаний шариков в замкнутой цепочке.

В результате твердом теле также имеется максимальная частота, с которой могут колебаться атомы.

Какова при этом скорость распространения волны? Если частота колебаний $\omega$ , то их период $T = 2\pi/\omega$ . При скорости распространения $v$ волна за время $T$ проходит пути $l = vT = 2\pi v/\omega$ . Этот путь и равен длине волны, так как сдвинуть во время на период $T$ колебания будет проискодить в фазе. Таким образом,
$\lambda = vT = 2\pi v/\omega,$
и, следовательно,
$v = \frac{\lambda \omega}{2\pi} = \frac{2}{\pi} a \sqrt{\frac{k}{m}}.$

А каковы скорость распространения и частота колебаний для волн с большей длиной? Их можно подсчитать, например, таким же способом (хотя это и несколько более сложная задача). При этом оказывается, что с увеличением длины волны частота колебаний уменьшается, а скорость распространения волны увеличивается, но незначительно. Для больших длин волн ( $\lambda \gg a$ ) скорость распространения становится постоянной и равной
$v_0 = a \sqrt{\frac{k}{m}}.$

Так что выведенное нами выражение с хорошей точностью даетеличину скорости распространения волн в цепочке связанных шариков и для других длин волн.

Вернемся к твердому телу. Чем определяется скорость распространения в нем звуковых волн? Проведяя анализо с цепочкой шаров, можно понять, что скорость зависит от упругих свойства материалов, массы atoms, из которых состоит вещество, и расстояния между ними. Чем меньше расстояние между atomами и чем больше их масса, тем больше плотность вещества $q$ . Жесткость $k$ в нашей модели можно считать пропор-

циональный модулю Юнга Е. Точная формула для скорости звука в твердом теле такое:

$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$

Например, для стали с помощью этой формулы получаем $v \approx 5000$ м/с. Так нам удалось разобраться в явлении распространения звука в упругих телах, то есть в распространении колебаний смещений атомов, из которых состоит эти тела.

В пространстве могут распространяться колебания и других физических величины. Если периодические измененияются значения напряженности электрического и индукции магнитного полей, то говорят, что распространяется электромагнитная волна. Могут распространяться колебания температуры — температурные волны, колебания индукции магнитного поля в веществе — волны намагничания и т. д. Образно говоря, все здание современной физики пронизывают разные типы волн.

Приложение

Представим себе, чторужина надета на стержень AB, расположенный по диаметру колца (рис. 7). Один конецружины связан с шариком, а второй закреплен у края стержня A. Шарик может свободно перемешаться вдоль стержня, причем в состоянии равновесия он находится в центре колца O. Приведем колью во врашение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega_0$ . Тогда шарик отключится от центра. Если его смешение равно $r$ , то со стороныружины на шарик будет действовать сила, равная по закону Гука $F = k_0 r$ и направленная к центру колца. Согласно второму закону Ньютона, эта сила должна создавать центростремительное ускорение $a_ii = \omega_0^2 r$ :

$m\omega_0^2 r = k_0 r.$

Следовательно, для того чтобы шарик находился в устойчивом состоянии при врашении колца, необходимо, чтобы скорость врашения была равна $\omega_0 = \sqrt{k_0/m}$ .

При этом проекция шарика на неподвижную ось совершает гармоничное колебание с циклической частотой, равной угловой скорости врашения. Например, $x = r \sin \omega_0 t$ . Таким образом, частота гармоничных колебаний шарика массой $m$ наружные жесткости $k_0$ определяется формулой

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_0}{m}}.$

Уражнения

«Почувствовать», что такое волна, можно, сделав следующее упражнение. Вставьте