Bài toán M746—M750; F758—F762

19

Bài toán
M746 — M750; F758 — F762

M746. Một hình vuông bằng giấy được gấp đôi dọc theo một đường thẳng nào đó đi qua tâm thành một hình ngũ giác (không lồi). Cách vẽ đường thẳng l để:
a) hình ngũ giác thu được có diện tích lớn nhất?
b) Nó có chứa một hình tròn có bán kính lớn nhất có thể không (Hình 1)?

K. Wolfson

M747. a) Tổng của n số bằng 0 thì tổng mô hình của chúng là a. Chứng minh rằng hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong chúng không nhỏ hơn 2a/n.
b) Bên trong n-giác lồi $A_1A_2...A_n$, chọn một điểm O sao cho tổng các vectơ $\vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + ... + \vec{OA}_n$ bằng vectơ 0 và tổng chiều dài của chúng bằng d. Chứng minh rằng chu vi của n-giác này không nhỏ hơn 4d/n.
b) Có thể cải thiện ước tính này (đối với một số n) không?

V. Prasolov

M748. a) Có thể đặt một số hữu hạn parabol trên một mặt phẳng sao cho diện tích bên trong của chúng bao phủ toàn bộ mặt phẳng không? (Chúng ta gọi vùng bên trong của parabol là hình lồi, ranh giới của nó là parabol này - xem Hình 2)
b) Có một số hình nón không giao nhau nằm trong không gian. Chứng minh rằng chúng không thể di chuyển sao cho chúng bao phủ toàn bộ không gian. (Ở đây chúng ta gọi hình nón là một hình lồi không giới hạn thu được bằng cách quay một góc nhất định quanh phân giác của nó.)

O. Kuzminykh

M749* a) Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2, x_3$ là số dương thì
$$\frac{x_1}{x_2+x_3} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_1+x_2} \geq \frac{3}{2};$$
Trong những điều kiện nào thì sự bất bình đẳng này biến thành sự bình đẳng?

20

6. Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là số dương thì
   $$\frac{x_1}{x_2+x_n} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \ldots + \frac{x_{n-1}}{x_n+x_{n-2}} + \frac{x_n}{x_1+x_{n-1}} \geq 2,$$
   Hơn nữa, sự bình đẳng chỉ có thể xảy ra với $n=4$.
   c) Chứng minh rằng với $n>4$ bất đẳng thức điểm
7. là chính xác theo nghĩa là không
   $n$ số 2 ở bên phải không thể thay thế được
   để biết thêm.

A. Prokopyev

M750. Chứng minh rằng, dù bạn tô màu các ô của tờ giấy ca rô vô hạn bằng màu $N$ như thế nào thì vẫn có
a) một hình chữ nhật, các đỉnh của nó nằm ở tâm của các ô cùng màu (và các cạnh chạy song song với các đường của lưới - dọc theo các đường thẳng đứng và nằm ngang - Hình 3, a);
b) $l$ các đường ngang và $m$ đường dọc cắt nhau tại tâm của $lm$ ô cùng màu ($l$ và $m$ là các số tự nhiên bất kỳ - Hình 3, b);
c) một tam giác vuông cân, các đỉnh của nó là tâm của các ô cùng màu, tại $N=2$ (Hình 3, θ);
d)* tương tự cho $N=3$.

S. Bespamyatnykh

F758. Phôi cứng được kẹp giữa hai thanh dẫn hướng song song di chuyển theo hướng ngang với tốc độ $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ (Hình 4). Tại một thời điểm nào đó, các điểm tiếp xúc của phôi với các thanh dẫn hướng nằm trên đường thẳng vuông góc với các vectơ $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$. Những điểm nào của phôi có vận tốc tại thời điểm này có giá trị tuyệt đối bằng $v_1$ và $v_2$?
S. Krotov

F759. Một thanh không trọng lượng có chiều dài $l$ với tải trọng khối lượng nhỏ $m$ ở cuối bản lề được cố định tại điểm $A$ (Hình 5) và ở vị trí thẳng đứng, chạm vào vật có khối lượng $M$. Với một cú đẩy nhẹ, hệ thống bắt đầu di chuyển. Với tỷ lệ nào giữa $m$ và $M$ thì thanh tại thời điểm “tách” khỏi vật $M$ sẽ tạo một góc $\alpha=\pi/6$ với đường chân trời? Tốc độ của cơ thể $M$ lúc này sẽ là bao nhiêu? Hãy đưa ra yêu cầu bồi thường.

K. Serdeev

F760. Một quả cầu thép có khối lượng $m_2=1$ g được đặt vào một bình chứa nhiệt chứa $m_1=20$ g helium với tốc độ $v=100$ m/s. Tìm sự thay đổi nhiệt độ trong bình. Tác động của quả bóng lên thành bình và tác động của các nguyên tử lên quả bóng được coi là đàn hồi tuyệt đối.

R. Aleksadrov

21

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications.

Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng muộn nhất vào ngày 31 tháng 8 năm 1982 tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 117071, Moscow.

F761. Mạch được lắp ráp từ một cục pin, hai ampe giống hệt nhau và hai vôn kế giống hệt nhau (Hình 6). Các ampe $A_1$ và $A_2$ thể hiện sự tương ứng của $I_1=1,1$ mA, $I_2=0,9$ mA; vôn kế $B_2$ hiển thị $U_2=0,25$ Q. Vôn kế $B_1$ hiển thị gì? Điện áp pin là gì?

Z. Rafailov

F762. Hình 7 thể hiện đặc tính vôn kế của đèn sợi đốt, điện áp định mức là $U_H=220$ V, công suất định mức là $P_H=100$ W. Đèn sẽ được mắc nối tiếp vào nguồn điện xoay chiều (220 V, 50 Hz)

Hình 7.

với công suất tụ $C=10$ µF. Xác định cường độ dòng điện trong đèn và điện áp trên nó. Giả sử rằng trong thời gian điện áp không đổi, nhiệt độ của dây tóc thực tế không thay đổi.

A. Zilberman

Problems

M746 — M750; P758 — P762

M746. A paper square is folded in half along a line $l$, passing through its centre, into a (non-convex) nine-sided polygon. How should the line $l$ be chosen in order to:
a) make the area of the polygon maximal?
b)* dựng một đường tròn có bán kính cực đại chứa trong đa giác (xem hình 1)?

K. Vulfson

M747. a) The sum of $n$ numbers is zero, the sum of their absolute values is $a$. Prove that the difference between the largest and smallest number is no less than $2a/n$.
b)* The point $O$ is chosen inside the polygon $A_1A_2...A_n$ so that the sum of vectors $\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} + ... + \overrightarrow{OA_n}$ is the zero vector and the sum of their lengths is $d$. Prove that the polygon’s perimeter is no less than $4d/n$.
c)* Can this estimate be improved (for certain $n$)?

V. Prasolov

M748. a) Có thể đặt một số hữu hạn parabol trên mặt phẳng sao cho miền bên trong của chúng bao phủ toàn bộ mặt phẳng không? (Miền bên trong của parabol là hình lồi được giới hạn bởi nó - xem hình 2).
b)* Several non-intersecting cones are placed in space. Show that they cannot be moved so as to cover the entire space. (By a cone here we mean the unbounded convex figure obtained by rotating an angle about its bisector).

O. Kuzminykh