[Đáp số cho câu hỏi của độc giả N.P. Ratnikov về các bất đẳng thức lời giải với tích phân]

14

Hỏi - chúng tôi trả lời

Bạn nói đúng: theo định nghĩa của tích phân được đưa ra trong sách giáo khoa (“Đại số và phần đầu của phân tích 9-10”, đoạn 60), để tồn tại tích phân $\int_a^b f(x) dx$ thì hàm bên trong $f$ phải liên tục trên đoạn có điểm cuối $a, b$ (nghĩa là trên $[a; b]$ cho $a < b$ và trên $[b; a]$ cho $a \geq b$).

Đáp số, được chỉ định trong «Kvant», thu được bằng phép nội suy được định dạng quá mức không tính đến các điều kiện mà công thức Newton-Leibniz là đúng

$$\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg|_a^b.$$

Công thức này đúng nếu hàm $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $F'(x) = f(x)$ ở mọi nơi trên $[a; b]$.

Pozny

$$\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} = -\frac{1}{y+1} \bigg|_0^x$$

chỉ với $x > -1$ và bất đẳng thức này tương đương với hệ

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{9x-15}{19} < -\frac{1}{y+1} \bigg|_0^x -1 \\ x > -1. \end{array} \right.$$

Đúng đáp số trong bài toán: $\emptyset$.

Nhân tiện, từ (*) nó suy ra

$$\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} = \frac{1}{x+1} -1.$$

Với $x < -1$, chúng ta thu được một kết quả nghịch lý: tích phân của hàm dương, nghĩa là, dường như là diện tích, là âm (hãy nhớ rằng $\int_a^b f(x) dx$ là diện tích của $a < b$ và $f(x) \geq 0$ trên $[a; b]$).

Đối với những người quen với khái niệm tích phân suy rộng, hãy lưu ý rằng với $x_0 < -1$ tích phân $\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2}$ không tồn tại.