Максимум?

36

но и «обратить» — заранее задать ту или иную оценку для (одного или несколько) углов $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \dots, \alpha^{(N)}$ или $\phi^{(1)}, \phi^{(2)}, \dots, \phi^{(N)}$ и поставить вопрос о том, при каком числе $n$ точек плоскости или пространства эти оценки могут быть удовлетворены. Мы ограничимся здесь лишь двумя примерами подобной постановки задачи, принадлежащими, видимо, все тому же Палу Эрдешу.

Задача 15. При каком числе $n$ точек
a) на плоскости,
b) в пространстве
их можно расположить так, что все образуемые эти точки улыбны будут не больше $90^\circ$?
Задача 16. При каком числе $n$ точек
a) на плоскости,
b) в пространстве
их можно расположить так, что все образуемые эти точки улыбны будут не больше $90^\circ$?
Таким образом, в задаче 15 требуется расположить точки так, чтобы все углы $\alpha^{(i)}$ или $\phi^{(i)}$ были не больше $90^\circ$; в задаче 16 нестрогое неравенство заменяется строгим. П. Эрдеш указывает простых задачи 15a и 16a и высказал предположения об ответах к задачам 156 и 166. Задача 156 впервые была решена в 1962 году известными математиками Л. Данцером и Б. Грионбаумом; впоследствии то же решение нашел студент МГУ, член жюри Весоюзных математических олимпiad Гриша Гальперин. Задачу 166 впервые решил в 1961 году английский математик Г. Крофт; в 1963 году несколько более простые ее решения нашли тот же Б. Грионбаум и немецкий математик К. Шютте.

Максиум?

Иного бывают интересно не только решать нерешенную задачу, но и найти лучшее решение той, которая, казалось, была уже решена. Вот одна такая задача:

Возьем цифры от 1 до 9 и разделим их на четыре группы: в первой группе — три цифры, а в остальных — по две. Зафиксировав порядок цифра в этих группах, мы получим четыре числа. Переменная числа на одно из двух значений а два оставшиеся двух значных числа между собой. Например:

158 79
23 46
474 474
316 316
3634 3634

В обонх случае произведение равно 3634.

Так вот, нужно распределить те же 9 цифр по той же схеме (с равными произведениями), но получить при этом наиболее возможное произведение 584×12=96×73=7008.

Этот результат держался до 1971 года, когда в Японии было найдено новое рекордное решение этой задачи. По-видимому, оно оказется последним, хотя это еще не доказано. Попробуйте найти, чем равно это последнее рекордное произведение или увеличить его.

В. Б.