Тайны совершенных чисел и дружественных пар

71

А. С. Варпаховский
Тайны совершенных чисел и другиественных пар

В восемом номере нашего журнала за 1971 год была опубликована заметка И. Я. Делмана об истории так называемых совершенных чисел — чисел, равных сумме своих делителей. В продолжение этой темы мы помещаем переработную статью М. Гарднера *), в которой расссказывается о замечательных свойствах этих чисел. Публикация для «Кванта» подготовлена А. С. Варпаховским.

Пожалуйста, ни один числа не имеет такой захватывающей историю, как числа совершенные и их близжайшие родственники — другиественные числа.

Первый важный шаг в построении теории совершенных чисел был сделан еще Евклидом, который установил, что формула $2^{n-1} (2^n-1)$ дает совершенное число всякий раз, когда множитель в скобках оказывается простым (для этого необходимо, чтобы $n$ было простым, хотя далеко не для всякого простого числа $n$ число $2^n-1$ также является простым).

Вот доказательство теории Евклида. Пусть у числа $2^{n-1} (2^n-1)$ множество в скобках простой. тогда делители этого числа, отличными от самого числа, будут

$$1, 2, 4, \dots, 2^{n-1},$$
$$2 (2^n-1), 4 (2^n-1), \dots, 2^{n-2} \times (2^n-1).$$

Возьем сумму всех этих делителей:

$$(1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n-1}) + (1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n-2}) \times (2^n-1) = (2^n-1) + (2^{n-1}-1) \times (2^n-1) = 2^{n-1} (2^n-1)$$

Следовательно, число $2^{n-1} (2^n-1)$ — совершенное.

Спустя 2000 лет Леонард Эйлер доказал, что формула Евклида определяет все четные совершенные числа. Любопытно, что до сих порникому не удалось найти нечетное совершенное число, и, возможно, такого вообще не существует. Поэтому в дальнейшем, говоря о совершенных числа, мы будем подразумать четные совершенные числа. Удивительная формула Евклида тесно связана с общим геометрическим прогрессий со значенателем 2 (1, 2, 4, 8, 16, . . .).

Вспомним древнюю историю о персидском царе и авторе шахматной игры. Восхшенный этой игрой, царь предложил автору самому выбрать себе нагруду. Тот, на первый взгляд, изъявил очень скромное желание, попросив положить на первую клетку шахматной доски одно зернышко пшеницы, на вторую — два зернышка, на третью — четыре и таким способом заполнить все 64 клетки. Оказылось, что число зерен в последней клетке равно 9 223 372 036 854 775 808, а удвоенное это число без 1 равно суммарному числу зерен на доске, что в несколько тысяч раз превышает годовой уровень пшеницы во всем мире. Написав в каждой клетке шахматной доски число зерен, которое должно быть в ней, и забрав из каждой клетки по одному зернышку, увидим, что оставшееся в клетке

72

Рис. 1.

число зерен в формуле Евклида определяется выражением $2^n - 1$. Если это число простое, то, умножив его на число зерен в предыдущей клетке, то есть на $2^{n-1}$, получим совершенное число. (см. рис. 1).

Простые числа ряда $2^n - 1$ называют числа Мерсенна по имени французского математика XVII века, занимающегося их изучением *). На

*) См. также «Квант», 1971, № 8, с. 3.

писуне 1 закрашены те клетки, в которых после вычитания 1 получаются числа Мерсенна. Таких клеток на доске 9 — им соответствуют первые две севершенных чисел.

Севершенные числа обладают рядом тиннстевных и вместе с тем замечательных свойств. Например, все совершенные числа «треугольные». Это означает, что если взять, допустим, шарики в количестве, равном совершенном числу, то их можно расположить так, что они образуют равносторонний треугольник.

Иначе говоря, каждое совершенное число есть сумма вида $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n$.

Также легко можно заметить, что каждое совершенное число, за исключением 6, есть частная сумма ряда из кубов нечетных чисел $1^3 + 3^3 + 5^3 + ...$.

А вот еще одно свойство совершенных чисел: сумма обратных значений делитель совершенного числа, включая и само число как делитель, всегда равна 2. Так, для числа 28 имеем

$$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = 2.$$

Do сегодняшего дня остаются без ответа для важных вопроса: существует ли нечетное совершенное число и существует ли наибольшее четное совершенное число? Do схх пор не найдено ни одного нечетного совершенного числа, но вместе с тем и не доказано, что такое числа не существует. Ответ на второй вопрос зависит от того, является ли ряд простых чисел Мерсенна бесконечным, так как каждое простое число этого ряда приводит к совершенном числу. Было замечено, что при подстановке первых четырех чисел Мерсенна (3, 7, 31, 127) вместе $n$ в формулу $2^n - 1$ снова получаются числа Мерсенна. Более 70 математики найдены, что такая закономерность должна привести к заключению о бесконечности ряда простых чисел Мерсенна. Однако в 1953 году вычислительная машина разрушила их надежды. Было обнаружено, что

73

в случае $n = 2^{13} - 1 = 8191$ (простое число Мерсенна) число $2^{8191} - 1$ не просто. Так до сих пор и не известно, является ли ряд Мерсенна бесконечным или в нем имеется самое большое число.

Оре в книге «Теория чисел и ее истории» читрует забавное высказывание Питера Барлоу из его книги «Теория чисел», выведейв в 1811 году. Барлоу, вычислив девятьсоценное число, заявил, что «это наиболее число, которое когда-либо будет найдено, потому что совершенные числа не более чем любопытны и вред ли кому-либо придет в голову пытается найти больше совершенное число». Оdnako в 1876 году французский математик Эдвард Луксас, автор классической четырехтомной работы по заиматательной математике, объявил об открытии двенадцатого совершенного числа $2^{126} (2^{127} - 1)$. Позднее у Луксас появился сомнения в том, что $2^{127} - 1$ есть простое число Мерсенна, но впоследствии его простота подтвердилась. $2^{127} - 1$ — наиболее число Мерсенна, найденное без помощи вычислительной машины. В таблице 1 приведены выражения по формуле Евклида для 23 известных совершенных чисел, выписаны первые всемы из них (дальнейшие числа содержат список много знаков) и указано число десятичных знаков для каждой из этих чисел. Последнее известное совершенное число, которое имеет 22 425 делители, появилось на свет в 1963 году после того, как вычислительная машина Иллинойского университета обнаружила 23-e число Мерсенна. В честь этого события на почтовых отправлениях математического отделения университета ставили шитамп с надписью: «$2^{11213} - 1$ — простое число».

Обобщением совершенных чисел является дружественные числа. Возьмем любое число и просуммируем его делители для получения второго числа. Затем просуммируем делители второго числа и так далее в надежде, что в конце концов мы приdem к исходному числу. Если исходное число получается на первом шаг, то, значит, целочка имеет лишь одно звено, а само число — совершенное. При двузвененной целочке два числа образуют дружественную пару: сумма делительей одного из чисел равна другому числу. Наименьшие дружественные числа, образующие пару, равны 220 и 284.

В 1636 году Пьер Ферма нашел другую дружественную пару чисел: 17 296 и 18 416. Он и Рене Декарт независимо друг от друга для правильного образования дружественных пар, не подозревая, что это правильное сформировано еще в IX веке одним арабским астрономом *. Третью пару нашел Декарт: 9 363 584 и 9 437 056. В XVIII века Эйлер опубликовал

*) Жителем местопотамского города Харрана — Абу-л-Хасаном Сабитом ибн Корра ибн Марван ac-Cаби ал-Xаррани (ок. 830—901). (Прим. ред.)

74

список 64 другихственных пар, однако, как показала позднейшая проверка, в двух случаях он ошибся. В 1830 году Адриен Мари Лежандр нашел еще одну другихственный пару, а в 1867 году шестнадцатилетний итальянский юноша В. И. Паганини удивил математический мир, объявив, что числа 1184 и 1210 — другихственные. Это была вторая по величины пара, которую все проглядели. И хотя, возможно, Паганини нашел эту пару методом проб и ошибок, имя его называется вошло в историю теории чисел.

Сегодня известны более 600 другихственных пар; многие числа пар состояят более чем из 30 цифр. Последняя известная пара была вычислена на ЭВМ в 1964 году. В таблице 2 приведены других других пары в диапазоне чисел от 0 до 100 000.

Все известные другихственных пары состояят либо из двух четных чисел, либо (что гораздо реже) из двух нечетных. Но никто не доказал, что не существует другихственной смесиной пары. Брэтли и Мак-Кэй выдвинули гипотезу, что все нечетные другихственных числа кратны 3, а сумма чисел, образующих другихственных пару, кратна 9. Никто еще не предложил общей формулы для всех другихственных пар, и неизвестно, конечно или бесконечно число таких пар.

В настоящее время известны только две цепочки чисел, которые приводят к исходному числу и имеют