Задачи М226—М230; Ф238—Ф242

46

Задачи

M226—M230; Ф238—Ф242

M226. В трех вершинах квадрата находится три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик A прягает через кузнечика B, то после пряжака он оказывается от B на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой; рис. 1). Можно ли после нескольких пряжков один из кузнечков попасть в четвертую вершину исходного квадрата?

Ю. И. Юонин

Рис. 1.

M227. На каждой стороне параллельграма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллельграма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллельграма.

E. В. Саллинен

M228. Лист клетчатой бумаги размером $n \times n$ клеток раскрасили в $n$ цветов (каждую клетку закрыли в один из этих цветов или не закрыли вообще). Правильной называется раскраска, при которой в каждой строке и в каждом столбце нет двух клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильным образом, если первоначально были правильно закрыты

a) $n^2$ — 1 клетка;
b) $n^2$ — 2 клетки;
b) $n$ клеток?

Д. Логачев

M229. В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может быть по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Из-

47

всего, что максимальная скорость полицейского равна $u$, а гангстера — $v$. Цель полицейского — оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что

a) если $\frac{u}{v} > \frac{1}{3}$, то он может добиться своей целли;
b) если $\frac{u}{v} < \frac{1}{3}$, то гангстер может помещать ему это сделать.

А. Белкин

Рис. 2.

М230. Докажите, что из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятугольника (рис. 2).

С. Коняшин.

Ф238. Имеются две проволоки квадратного сечения, сделанные из одного и того же материалов. Сторона сечения одной provолоки — 1 мм, а другой — 4 мм. Для того чтобы расплавить первую provолоку, через нее нужно пропустить ток в 10 а. Какой ток нужно пропустить через вторую provолоку, чтобы она расплавилась?

Считать, что количество тепла, уходящого в окружающей среду за 1 секунду, пропорционально разно-

Рис. 3.

сти температур provолоки и среды и площади поверхности provолоки, причем коэффициент пропорциональности одинаков для обенных provолок.

Ф239. Колесо радиуса $R$ катится без просkalывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса постоянна.

Как известно, траекторию кривойнейного движения точки в течение малого промежутка времени всегда можно считать дугой окружности. Определить радиуса окружностей, по которым движутся точки колеса $A$ и $B$, в тот момент времени, когда радиус-вектор точки $A$ горизонтален, а радиус-вектор точки $B$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью (рис. 3).

Ф240. Шар-зонд, имеющий нерастижную оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершает малые колебания около равновесного уровня. Найти период этих колебаний, считая, что на такой высоте плотность воздуха $\rho$ убивает с высотой равномерно на величины $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2}$ $\rho$ через каждые $h = 100$ м. Треннем шара о воздушке претензь.

М. В. Казарновский

Ф241. Колесо массы $m$ может скольить по стержню длины $L$. Сила трения между ними $F$. Определить, какую минимальную скорость $v_0$ нужно сообщить стержню, чтобы он пролетел сквозь колюцо, если вначале колюцо покопится.

Опыт проводится в невесомости.

Ф242. Камера-обскура представляет собой прямогольный ящик, в одной из стенок которого имеет круглое отверстие. Освещенность изображения Солнца, которое получается на противоположной стенке камеры — экране, падает вдвое при удалении от центра изображения к краю на 0,9 радиуса изображения. Во сколько раз освещенность передней стенки камеры больше, чем освещенность в центре изображения?

Г. Л. Комкин