Механические свойства кристаллов

37

Механические свойства кристаллов

Такие свойства твердых тел как упругость, прочность, поверхностное наяжение определяются силими взаимодействия между atomами и строением кристаллов (типом кристаллического решетки). Изучая силы между atomного взаимодействия, можно, например, определить величины модуля упругости, предела прочности материалов, энергии связи кристалла и коэффициента поверхностного наяжения.

Таким образом оценывают характеристики любых твердых тел, но проще всего это сделать для идеальных nonhydrostatic кристаллов. В решетке таких кристаллов периодические черезют положительные и отрицательныеоны.

Для оценки прежде всего необходимо выяснить величины единичной механической связи, которая в nonhydrostatic кристаллах определяется силой взаимодействия между двумя ionами.

Силим механиного взаимодействия
Зависимость сил механиного взаимодействия *) от расстояния между центрами atomов в твердых телах схематически показана на рисунке 1.

По этому рисунку можно судить о неокоторых особенностях сил механиного взаимодействия.

1. Между atomами одновременно действуют силы прятяжения и силы отталкивания. Результирующая сила между atomного взаимодействия — сумма этих двух сил.

2. При уменьшении расстояния между atomами силы отталкивания нарастает значительное быстрее, чем силы прятяжения; поэтому существует неокоторое расстояние $r_0$, при котором силы прятяжения и силы отталкивания уравновешиваются и результатирующая сила становится равной нулю. В кристалле, предоставленном самому себе, они располагаются именно на расстоянии $r_0$ друг от друга. Если расстояние между atomами меньше равновесного ($r < r_0$), то преобладают силы отталкивания, если $r > r_0$, то преобладают силы прятяжения.

Эти свойства механических сил позволяют условно рассматривать частицы, образующие кристалл (например,оны Na и Cl в кристалле поваренной coli), как твердые прятяжие, взаимодействующие друг с другом. Деформация расстояния кристалла приводит к увеличению расстояния между центрами соседних шаров и преобладанию сил прятяжения, а деформация скатия — к уменьшению этого расстояния и преобладанию сил отталкивания.

Прочность при расяжении
Пределом прочности обычно называют наиболее направленное (*), которое

*) Подробнее о силах механиного взаимодействия можно прочитать в статье: М я ки шев Г. Я. Взанмодействие atomов и молекул. «Квант», 1971, № 11.

38

может выдержать материал, не разрушаясь. При растяжении образца предел прочитности определяется максимальной величины результирующей силы междуатомного притяжения, приходящей на единицу площади секения, перpendикулярного направления растяжения.

Результирующая сила междуатомного взаимодействия достигает максимального значения, когда центры atomов находится на расстоянии $r_1$ друг от друга (см. рис. 1). Когда растяжение еще более увеличивается, силы взаимодействия становятся настолько малыми, что связи междуатомами разрываются.

Обозначим величины наиболее сильных притяжения междуатомами (то есть величины силы единичной связи) через $F_{\text{max}}$, а число связи на единице площади секения, перpendикулярного направления внешней силы, через $N_{\text{cb}}$. тогда предел прочитности кристалла

$$\sigma = F_{\text{max}} N_{\text{cb}}.$$

На рисунке 2 показана простейшая модель инного кристалла поваренной soli (NaCl состоит из положительныхонов натрия и отрицательныхонов хлора). У каждой изтом кристалле шесть ближайших соседей с противоположным знаком заряда. При разрыве такого кристалла у каждой atomа обращается по одной связи. Разрыв кристалла схематически изображен на рисунке 3. В рассматриваемой модели число связи, разрываемых на каждом квадратом сантиметре, равно числу atomов, приходящих на эту площадь ($N_{\text{cb}} = N_{\text{at}}$). Для простоты мы пренебрегаем взаимодействием междуатомно-значением, находящимся друг от друга на расстояниях, больших $r_0$ (остальныеоны удалены на расстояния не меньше, чем $r_0\sqrt{2}$). Эти взаимодействия дают относительно небольшую поправку. Для оценки предела прочитности σ достаточно умножить набольшее значение силы взаимодействия междуатомно-значением, находящимся в единицу площади в плоскости разрыва:

$$\sigma = F_{\text{max}} N_{\text{at}}.$$

Оценка величины сил связи

Порядок величины сил связи в понных кристалках можно найти, исходя из предположения, что онны взаимодействуют по закону Кулона. В нашей модели кристалл состоит из чередушихсяонов противоположных знаков, равновесные расстояния между

39

ду которых $r_0 \approx 3 \text{\AA}$). Предположим, что деформация остается упругой вплоть до деформации, соответствующей разрыву; иначе говоря, наиболее упругой деформации соответствует напряжению, равное предлу прочитости. Но максимальной упругой деформации приблизительно соответствует максимальное значение силы механического притяжения (см. рис. 1).

Опыты с самых прочными кристаллими показали, что их максимальная относительная упругая деформация $\varepsilon_{\text{max}}$**) перед разрушением обычно не превышает 10—20%. Положим $\varepsilon_{\text{max}} = \frac{1}{6} \approx 17\%$. Это относительной деформации соответствует смешине атомов от положения равновесия на расстояние $\Delta r = \varepsilon r_0 = \frac{1}{6} 3 \text{\AA} = 0,5 \text{\AA}$.

Таким образом, при подсчете сил механиного притяжения для расстриваемой модели кристалла за расстояние между ионами следует быть величины
$$r = r_0 + \Delta r = 3 \text{\AA} + 0,5 \text{\AA} = 3,5 \text{\AA}$$
Если учесть, что заряд каждого иона по величины равен заряду электрона, то есть $q = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{\AA}$, то максимальное значение силипропионально расстояние. Козффициент пропорциональности между величиной деформации $\varepsilon$ и напряжением $\sigma$ (модуль упругости)
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$
Так как величина прит哗сти по ионай оценке
$$\sigma \approx 2 \cdot 10^{10} \text{\AA}^2$$
а максимальная упругая деформация $\varepsilon_{\text{max}} \approx \frac{1}{6}$, то модель упругости
$$E = \frac{2 \cdot 10^{10} \cdot 6}{1} \approx 10^{11} \left( \frac{\mu}{m^2} \right)$$
Результат расчета по прит哗сти соответствует экспериментальным данным. Например, модель упругости стали $2 \cdot 10^{11} \text{\AA}^2 / m^2$, аминия $0,7 \cdot 10^{11} \text{\AA}^2 / m^2$, каменной соли — $0,4 \cdot 10^{11} \text{\AA}^2 / m^2$.

40

Оценка величины энергии связи

Зная величины единной силы междуатомной связи, можно найти величину энергии взаимодействия двух atomов. Энергия связи двух atomов определяется работой, необходимой для удаления этих atomов друг от друга на такое расстояние, при котором силы взаимодействия исчезающе малы. Это расстояние (см. рис. 1) примерно равно 2 $r_0$.

Для упрощения будем считать среднее значение силы взаимодействия при изменении расстояния от $r_0$ до $2r_0$ равным $\frac{1}{2} F_{\text{max}}$. тогда энергия связи (в расчете на одну связи) равна

$$W_1 = A = F \cdot l \approx F_{\text{cp}} (2r_0 - r_0) \approx \frac{F_{\text{max}}}{2} \cdot r_0 = \frac{2 \cdot 10^{-9}}{2} \cdot 3 \cdot 10^{-10} = 3 \cdot 10^{-19} (\partial \chi).$$

Интересно сравнить полученное значение потенциальной энергии взаимодействия частиц в твердом теле (энергии связи) с кинетической энергейей их теллового движения, определяемой в среднем величины $kT$. При комнатной температуре

$$W_K \sim kT = 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 4 \cdot 10^{-21} (\partial \chi).$$

Видно, что $W_1 \gg W_K$, то есть в твердом теле энергия междуатомного взаимодействия много больше энергии теллового движения.

По известному значению энергии одной связи найдем энергию связи кристалла, то есть энергию, которое необходимо затратить, чтобы разделить кристалл на отдельные atoms, и сравним полученную величины с экспериментальными значениями. На опите величина энергии связи кристаллического вещества — это теплота испарения твердого тела.

Энергия связи одного моля вещества равна

$$W_{\text{cb}} = W_1 N' N_A,$$

где $W_1$ — энергия одной связи, $N'$ — число связи, приходящих на один atom, $N_A$ — число Авогадро.

В рассматриваемой простейшей решетке (см. рис. 2) на каждый atom приходится по одному связи. Следовательно, величина энергии связи

$$W_{\text{cb}} = 3 \cdot 10^{-19} \cdot 1 \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \approx 18 \cdot 10^4 (\frac{\partial \chi}{\text{моль}}) \approx 40 (\frac{\kappa \alpha L}{\text{моль}}).$$

Это значение близко к найденным экспериментальным значениям энергии связи различных кристаллов (несколько десятиков килокалорий на моль).

Вычисление поверхностного натяжения

Пользоваться рассмотренной моделью, можно оценить и величину удельной поверхности энергии — коэффициент поверхности энергии — коэффициент поверхности энергии, которое обладает единица поверхности на границе вещества ($\alpha = \frac{W}{S}$). При разрыве кристалла сечения $S$ образуется новая поверхность плоскости разрыва твердого тела равна $W' = W_1 \times N_{\text{cb}}$, где $W_1$ — энергия одной связи, а $N_{\text{cb}}$ — число связи, приходящих на один квадратный метр. Эта энергия принимает как сложatomов, лежащему с одной стороны плоскости разрыва, так и слою, лежащему с другой стороны.