От перемены мест слагаемых...

14

О некоторыхweisах в «Кванте» трудно расскаазать не потому, что они трудны сами по себе, а потому, что для их понимания хорошо бы заранее знать коe-что помимо школьной программы. Иного даже не помимо, а чуть глубже. Старшеклассники знают, например, что такое предел последовательности, но знают облично довольно поверхностно. А именно этим материалом нужно свободно владеть, чтобы разобраться в предлагаемой стате, где доказывается заменательная теорема Римана о перестановках условий сходящся рядов.

В «Кванте» № 3 за 1974 год мы предложили читательям 20 задач на пределы. Тот, кто справился с задачими, может смело приниматься за эту статью.

Впрочем, решив задачи, не откладывайте в сторону ручку и бумагу: основной текст статьи содержит многочисленные упражнения; лишь самостояльно решив их, вы сможете понастоящему во всем разобраться.

Сумма ряда

Начнем с очень простых уppaженей.

1. a) Найти сумму $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$$

6. To же для прогрессии

$$\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \dots$$

Ответ: a) $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$; 6) $S_n = \frac{1}{3} \left[ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^n \right]$.

2. Найти суммы $S^{(1)}$ и $S^{(2)}$ бесконечно убивающих геометрических прогрессий (1) и (2).

Ответ: $S^{(1)} = 1, S^{(2)} = \frac{1}{3}$.

Суммы $S^{(1)}$ и $S^{(2)}$ можно найти, используя готовую формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$ (где $b_1 = 1-1$ член, а $q$ — знаменатель бесконечного убивающего геометрического прогрессии):

$$S^{(1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 1,$$

$$S^{(2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$$.

Можно поступить иначе, воспользоваться упражнениям 1. Найдем, например, этим способом $S^{(1)}$. При $n = 1, 2, 3 \dots$ получаем частиные суммы:

$$S_1 = 1 - \frac{1}{2}, \quad S_2 = 1 - \frac{1}{2^2},$$

$$S_3 = 1 - \frac{1}{2^3}, \dots, \quad S_n = 1 - \frac{1}{2^n}, \dots$$

Послеовательность (3) стремится к пределу $S^{(1)} = 1$. Этот предел по определению называется суммой прорезссии (1).

Приведенные два решения, по сути дела, не различаются: формула $S = \frac{b_1}{1-q}$ получается из формулы

15

$S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ именно представим переходом. Мы приведем решение простого чтобы наполнить определенные суммы бесконечного убывающей геометрической прогрессии. А это нам понадобилось для того, чтобы дать следующое общее определение.

Определение. Пусть $a_1, a_2, a_3, \dots$ — произвольная числа последовательности. Выражение $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ имеет специальное название: $p$rd. Образуем последовательность частных сумм:

$$S_1 = a_1, S_2 = a_1 + a_2, S_3 = a_1 + a_2 + a_3, \dots, S_n = S_{n-1} + a_n, \dots$$

Если эта последовательность имеет предел $S$, то говорят, что $p$rd

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots = S.$$

Если $p$rd $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ не сходится, то он называется расходящимся.

Упражнения
3. Приведите примеры расходящихся рядов:
a) придумайте ряд, частные суммы которого стремятся к бесконечности;
b) придумайте ряд, для которого последовательность частных сумм не стремится ни к какому числу и не стремится к бесконечности.
4. Докажите, что ряд
$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots$$
сходится. Сумма его — значенное число $e^*$ (основание натуральных логарифмов). Докажите, что $2 < e < 3$. Докажите, что $e$ — irrationalное число.
5. Докажите, что ряд
$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots$$
сходится, и его сумма $S < 2$. При каких натуральных $k$ сходится ряд
$$1 + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k} + \dots$$?

Указание. Если все члены ряда положительных (как в упражнениях 4 и 5),

*) См. статью Л. Г. Лиманова «О числе $e$ и $n!$», «Квант», 1972, № 5.

то, чтобы доказать сходимость ряда, достаточно проверить, что все частиные суммы меньше некоторого (одного и того же) числа $C$; тогда сходимость последовательности частиных сумм следует из того, что любая возможность определения последовательности имеет предел.

6. Сходится ли ряд
   $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} + \dots$$

Можно ли порознь суммировать положительные и отрицательные слагаемые?

Вы уже нашли сумму ряда
$$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots$$

(она равна $\frac{1}{3}$). А можно ли вычислить ее так: просуммировать сначала все положительные члены ряда, потом все отрицательные, а затем сложить результаты?

Почему бы и нет? Попробуем:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \dots = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3},$$
$$-\frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} - \dots = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{1}{3},$$
$$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.$$

Ответ, во всяком случае, получается правильный. Спрашивает: всегда ли так можно действия?

Упражнения
7. Ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится. Его сумма равна $S$. Можно ли вычислить ее так: сначала просуммировать все положительные слагаемые $a_n$, потом — все отрицательные, а затем сложить результаты?
8. Ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится. Его сумма равна $S$. Дано, что если просуммировать все положительные слагаемые $a_n$ — число $q$. Можно ли утверждать, что $p + q = S$?

17

Упражнения

11. Может ли быть так, что ряд (8) сходится, а ряд (7) расходится?

12. Как сходится ряд (5) — условно или абсолютоно?

13. Докажите, что ряд из упражнения 8 сходится абсолютоно.

14. Что получится, если сумму ряда (5) вычисляется по решетty, предложенном у упражнения 7?

15. Докажите, что сумму абсолютоно сходляется ряда можно вычислять по решетty, указанному в упражнения 7.

16. Докажите следующую теорему о перестановке членов абсолютоно сходщегося ряда. Пусть ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ абсолютоно сходится. Произвольно переставим его члены. Тогда новый ряд может абсолютоно сходится, и суммы обихих рядов одинаковы.

Teorema Римана

Переставляя члены любого условия сходического ряда, можно получить расходящийся ряд и можно получить сходящийся ряд, сумма которого равна произвольному зааннее заданному числу.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая

Лемма. Если ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится условно, то ряд, составленный из его положительных членов, расходится, и ряд, составленный из отрицательных членов, может расходится.

Упражнения

17. Докажите эту лемму (вспомните упражнения 8, 13 и 15).

18. Пусть $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ — сходящийся ряд. Докажите, что тогда последовательность $\{a_n\}$ стремится к нулю:
    $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$

Доказательство теоремы Римана

А. Укажем, как нужно переставлять члены ряда $a_1 + a_2 + \dots$, чтобы получить расходящийся ряд, частные суммы которого стремятся к бесконечности.

Сначала будем выписать только положительные члены ряда — до тех пор, пока их сумма не станет больше 1 (по лемме это возможно). Затем выписем первый отрицательный член. Далее снова будем выписать положительные члены, пока сумма всех выписанных чисел не станет меньше 1, то меньше —1.

Б. Укажем теперь, как нужно переставлять члены ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, чтобы новый ряд оказался сходическим к зааннее заданному сумме S.

Сначала будем выписать только отрицательные члены ряда, пока сумма всех выписанных чисел не станет S; потом добавим один

18

несколько положительных членов, чтобы вся сумма стала большей $S$.

Продолжим выписывать отрицательные члены, пока сумма всех выписанных членов не станет опять меньше $S$; как только это произойдет, добавим вторую группу положительных членов, так чтобы вся сумма превышала $S$, и так далее.

На $n$-м этапе выписывается очередная группа отрицательных членов (пока сумма всех выписанных чисел не станет меньше $S$), а затем очередная группа положительных членов (пока вся сумма не станет больше $S$). По лемме членов каждого знака «хватит».

По построению частные суммы нового ряда ведут себя так: убивают, пока не станут меньше $S$, и тут же начинают расстил, пока не станут больше $S$; снова убивают и так далее. Всякий раз «перескок» через $S$ обеспечивает добавлением одного единственного члена. Тем самым, поскольку $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, отклонения частных сумм от $S$ тоже стремятся к нулю, то есть новый ряд сходится к $S$, что и требовалось доказать.

Пример. Ряд
$$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \dots - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^n} - \dots$$
сходится к нулю. Переставим его члены так, чтобы их номера образовали последовательность 1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, 6, … (два нечетных — одно четное). Получим ряд $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \dots$, который сходится к $-\frac{1}{2}$; это сразу становится ясно, если расставить скобки следующим образом:
$$-\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) + \dots$$

Аналоги и обобщения

Осторожнее со скобками! В последнем примере мы расставили скобки, чтобы убедиться, что ряд сходится к $-1/2$. В данном случае мы действовали правильно (это легко обосновать), но вообще расставлять скобки нужно с осторожностью. Простейший пример: расходящийся ряд $1-1+1-1+...$ после следующего расстановки скобок
$$(1-1) + (1-1) + \dots$$
превращается в ряд, сходящийся к нулю.

Этот пример не слишком интересен. Большого внимания заслуживает такой факт: существуетом расходящейся ряды, которые при подходящей расстановке скобок становятся сходящими к любому заранее заданному числу.

У праванении 19. a) Приведите пример ряда, обладающего только что указанным свойством.

6. Докажите, что любой ряд, полученный из сходического расстановкой скобок, сходится, и имеет такой же сумму, как исходный ряд.

в) Пусть $S_n$ — частные суммы расходящейся ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, который получен перестановкой членов из некоторого условиях расходящейся ряда. Пусть $a < b$ — предельные точки последовательности $\{S_n\}^*$, и пусть $S$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$: $a \leqslant S \leqslant b$. Докажите, что тогда существует расстановка скобок, при которой ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ становится сходящимся к $S$.

ЧERO можно добиться, меняя знаки. Пусть $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ — произвольный условно сходящийся ряд. Разрешим поменять знаки у части членов $a_n$ (оставив остальные $a_n$ без изменения). Другими словами, разрешим заменить ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ рядом $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots$, где $|b_n| = 1$.

У праванении 20. Докажите, что для любого числа $S$ и для любого условия ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ можно так подобрать числа $b_1, b_2, b_3, \dots$

*) Определение предельной точки см. «Квант», 1974, № 3, c. 30.