XIV математическая олимпиада школьников Украины

66

XIV математическая олимпиада школьников України

С 25 по 30 марта 1974 года в городе Днепропетровске проходила XIV Республиканская олимпиада по математике. На нее были приглашены победители областных олимпиад — те, кто на предметовавших соревнованиях продемонстрировал гибкость ума, незаурядность математического мышления, математического грамотности.

В Днепропетровском приехало 300 школьников: 54 семиклассника, 66 восемиклассников, 86 девятиклассников и 94 десяти классника.

Тепло и сердечно встречно встретил Днепропетровск будущих учених-математиков. Открытые олимпиады состоялись 25 марта во Дворце пionеров и школьников Днепропетровска. Все участники представили соревнований собратьсь в зале Дворца. С приветственной речью к ним обращался председатель жорни XIV олимпиады ректор Днепропетровского государственного университета академик АН УССР В. И. Моссаковский. Владимир Иванович подробно рассказал ребятам о Днепропетровском университете, о городе, поздравил их с началом ответственных соревнований и пожелал успеха.

I тур соревнований состоялся 26 марта. Учащимся каждой класса было представлено по три задачи, по три задачи было представлено и на второй день соревнований 27 марта. И в первый, и во второй день на решение задач ответилось по три часа.

Работой жорни как опытный директор руководил представитель министерства просвещения УССР А. П. Шатковский.

Тщательно и добросовестно были проведены все работы учащихся. Разбор задачи с глубоким анализом типичных ошибок был проведен сразу же после проверки работ.

В перерывах между турами и разборами задач школьников знакомплис с Днепропетровском. Любезные хозяйства — учащие школь Днепропетровска — сопровождали свои гости по городу, с городство показыва им все достопримечательные места. Ребята посетили музей Комсомольской славы, театр юного зрителя, побывали в школьах города.

Незаметно промелькнула неделя. Флаг олимпиады был спущен 30 марта. На закрытини были подведены итоги.

Дипломы первого степени получили по 7 классам: Владимир Вовк (Червоногradская с.ш. №1, Львовской обл.), Нерь Калика (с.ш. №32, г. Киев) и Марк Нудельман (с.ш. №50, г. Одесса);

по 8 классам: Дмитрий Лимвиенko (с.ш. №1, г. Севастополь), Серей Лифциц (с.ш. №27, г. Харьков);

по 9 классам: Алексадр Блоxa (с.ш. №27, г. Харьков), Илья Бахумутский (с.ш. №52, г. Львов), Алексадр Резников (с.ш. №145, г. Киев), Илья Юнус (с.ш. №27, г. Харьков);

по 10 классам: Григорий Скляр (с.ш. №27, г. Харьков), Николай Чернов (с.ш. №95, Кривой Рог, Днепропетровской обл.), Николай Шербина (с.ш. №80, г. Днепропетровск).

Дипломы второй степени получили 17 человек и третьей — 29. 242 человек получили дипломы участников XIV олимпиады школьников України. Кроме того, многое ребята получили дипломы, премии и памятные подарки, учрежденные высшими учебными заведениями г. Днепропетровска.

Приводим неокотые из задач, предлагавшихся на олимпиаде.

8 класс

1. Найти минимум выражения
   $$\frac{a_1}{1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{1974}} + \frac{a_2}{1 + a_1 + a_3 + \dots + a_{1974}} + \dots + \frac{a_{1974}}{1 + a_1 + \dots + a_{1973}},$$
   если $a_i \geq 0$ и $a_1 + a_2 + \dots + a_{1974} = 1$.

2. На плоскости заданы четыре прямы общего положения (то есть каждые три них образуют треугольник). Одна из них параллельна медиане треугольника, образованного треяму другими прямыми. Доказать, что эти свойством обладают и все остальные прямы.

9 класс

3. Доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел, не представимых в виде
   $$a_1^6 + a_2^6 + \dots + a_7^6,$$
   где $a_1, a_2, \dots, a_7$ — натуральные числа.

10 класс

4. Из точки в пространстве проведено $n$ лучей так, что любые два из них образуют угол не менее 30°. Доказать, что лучей не более 58.

Л. В. Кованцова